Berechnung einer Bewegung in einem rotierenden System unter Berücksichtigung der Zentrifugal- und Corioliskraft

Die Bewegung in einem rotierenden System wird nur dann richtig berechnet, wenn man neben den wirklichen Kräfte auch noch die Zentrifugal- und die Corioliskraft  in die Rechnung eingehen lässt.

Beispiel:

Wir stellen uns einen Punkt P vor, der sich im ruhenden System auf einem Strahl nach s = v· t gleichförmig bewegt. Aus der Sicht eines mit der Winkelgeschwindigkeit ω links herum rotierenden x,y-Systems wird dieser Strahl mit der Winkelgeschwindigkeit ω nach rechts gedreht und bildet zum Zeitpunkt t den Winkel ω· t mit der x-Achse. In der Abb. 2 ist die Bahn im rotierenden System dargestellt.

Nach Eingabe von „30“ und „START“ erfolgt eine Vorführung.

x = v · t · cos(ω· t) ;  y = - v · t · sin(ω ·t)

Abb. 1

Abb. 2

 



Nach Eingabe von „162“ und „START“

 kann  das nebenstehende Programm zur Darstellung der  in Abb. 2 sichtbaren Bahn nach x=v·t·cos(ω·t) und y=- v·t ·sin(ω·t) ausgeführt werden .

Anfangsbedingungen

|x|y|t|h|v|w|=|0|0|0|0.001|0.5|4|

 

wiederhole bis t>6

x=v*t

x =cos(w*t)*v*t

y=-v*t*sin(w*t)

t=t+h

_x;y;;10

zurück


Für einen Beobachter im rotierenden System ist die  Zentrifugal- und die Corioliskraft für die Bahn maßgebend. Er berechnet mit Hilfe dieser Kräfte die gleiche Bahn.

Die Zentrifugalkraft hat den Betrag m·ω2 · r und  die Koordinaten  Zx = ω2 · x und Zy = ω2 · y (siehe Abb. 3). Die Corioliskraft hat den Betrag 2·m·ω·v und die Koordinaten Cx = 2 · m· ω· vy und  Cy = - 2 · m· ω· vx (siehe Abb. 4).

 

Abb. 3

Abb. 4


Die Coriolis- und die Zentrifugalkraft haben zusammen die Kraftkoordinaten:

 Fx = 2·m·ω·vy + m·ω2 · x;  Fy = -2·m·ω·vx + m·ω2 · y.

→       ax = 2·ω·vy + ω2 · x;  ay = -2·ω·vx + ω2 · y

Nach Eingabe von „162“ und „START“ kann nicht nur das oben stehende Programm, sondern auch noch das nächste Programm  ( es steht unter dem ersten Programm) ausgeführt werden. Mit ihm wird die Bahn unter der Einwirkung der Zentrifugal- und Corioliskraft berechnet.

 



|x|y|t|h|v|V|m|w|f|=|0|0|0|0.001|0.5|0|1|4|0|

 

wiederhole bis t>6

b=a

a=2*w*V+ w*w*x

c=a+(a-b)/2*f

B=A

A=-2*w*v+w*w*y

C=A+(A-B)/2*f

f=1

x=0.5*c*h^2+v*h+x

y=0.5*C*h^2+V*h+y

v=c*h+v

V=C*h+V

t=t+h

_x;y;;1

zurück

 



v = vx ; V = vy  ; a = ax ; A = ay ; w = ω;  h = Δt

Anfangsgeschwindigkeit vx = 0,5m/s

Anmerkungen zum Programm:

Wird zur Berechnung der Änderungen von v, und x (Geschwindigkeit und Ort) während eines kleinen Zeitabschnitts h (Δt)  die Beschleunigung a zu Beginn des Zeitabschnitts genommen, dann führt dies zu kleinen Fehlern, da sich die Beschleunigung innerhalb von h (Δt) ein wenig ändert. Zur Verringerung dieses Fehlers wird im Programm die Beschleunigung c in der Mitte des Zeitabschnitts h (Δt) zur Berechnung von Δx und Δv eingesetzt.

Für die Änderung  Δa der Beschleunigung in Δt/2 kann geschrieben werden:

Δa ≈ (avor Δt – anach Δt )/2 

Da  anach Δt zunächst unbekannt ist, wird das zum letzten Zeitabschnitt gehörende Δa  genommen.

Δa = (a – b)/2     →   C = a+ (a – b)/2

b = Beschleunigung zu Beginn des letzten Zeitabschnitts der Dauer h.

 

Die Variable f (Anfangswert = 0) wurde eingeführt, damit a – b wegen des zunächst noch undefinierten b nicht in den ersten Rechenschritt eingeht .

 

Abb. 5

 





In Abb. 5 ist die mit dem letzten Programm berechnete Bahn (schwarz) zusammen mit der Bahn zu sehen, die in Abb. 2 dargestellt ist (rot). Die schwarze Bahn liegt auf der roten Bahn.