2.12 Das Brechungsgesetz der Optik und das Gesetz von de Broglie

Eine Herleitung mit  Mitteln der Relativitätstheorie

Fällt ein Lichtstrahl auf eine Grenzfläche z.B. die zwischen Luft und Glas, dann wird er gebrochen. Das Verhältnis aus dem Sinus des Einfallswinkels α und dem Sinus des Brechungswinkels ß ist konstant. sin α / sin ß heißt Brechungsindex n. n ist von den Materialien abhängig, welche die Grenzfläche bilden.

Abb. 1

Das Brechungsgesetz kann mit Hilfe der Relativitätstheorie hergeleitet werden.

In einem ruhenden System S stellen wir uns einen Quader aus Glas vor, auf dessen Unterseite ein Lichtstrahl (Welle ) eindringt (siehe Abb. 2.).

Abb. 2

Der Wellenberg, der gerade mit der Lichtgeschwindigkeit c_L (Lichtgeschwindigkeit in Luft) den Punkt P erreicht, sei zum Zeitpunkt t = 0 durch den Nullpunkt des x-y-Koordinatensystems gegangen. Für die Koordinaten aller Punkte P dieses Wellenbergs gilt zum Zeitpunkt t > 0 : y = c_L ·t / cosα – x·tanα .

Wir denken uns nun ein in Richtung der x-Achse mit der Geschwindigkeit v bewegtes System S’. Die Achsen des zu diesem System gehörenden x’-y’-Koordinatensystem liegen zum Zeitpunkt t=t’=0 auf denen des in der Abb. 2 sichtbaren Systems. v kann so gewählt werden, dass die Wellenberge in S’ parallel zur x’-Achse verlaufen.

t = (t’+x’·v/c²) / k,    x = (x’ + v·t) / k,    y = c_L ·t / cosα – x·tanα

↓

y = y’ = (c_L / cosα) ·(t’+x’·v/c²) / k – tanα · (x’ + v·t’) / k

↓

y’ = (c_L / cosα -tanα · v)·t’/ k + [(c_L / cosα) ·v/c² – tanα ]· x’ / k

Die Wellenberge verlaufen dann parallel zur x, x’-Achse, wenn y’ von x’ unabhängig ist.

(c_L / cosα) ·v/c² – tanα = 0    →     sin α = v · c_L/ c²

Entsprechendes gilt auch für die gebrochene Welle im Glas.

sin ß = v · c_G/ c² ,    c_G = Lichtgeschwindigkeit im Glas

In S’ bleiben die Wellenberge und Wellentäler auch nach dem Eintritt in das Glas parallel zur x-Achse.

Deshalb gilt: sin ß = v · c_G/ c² .

sin α = v · c_L/ c², sin ß = v · c_G/ c²    →     sin α / sin ß = c_L / c_G = n

Neben der Wellengeschwindigkeit des Lichtes ist noch die Photonengeschwindigkeit c_p zu erwähnen. Im Vakuum stimmt c_p mit der Wellengeschwindigkeit c überein.

In einem Medium gilt fast immer: c_p > c.

Beweis:

Nach den Ausführungen im Kapitel 2.11 besteht das Licht aus Wirkungseinheiten ( Lichtquanten) mit der Energie h·f. Experimente mit Licht haben gezeigt, dass diese Lichtquanten bei Wechselwirkung mit Materie als Teilchen in Erscheinung treten können. In der Abb. 2 ist eine Welle dargestellt, in der die Photonen aus der Sicht eines Beobachters in S’ senkrecht auf die Grenzfläche auftreffen. Aus der Sicht eines Beobachters in S habe diese Photonen in x-Richtung die Geschwindigkeit v.

↓

sin α = v/c_P

Abb. 3

Unter Berücksichtigung von sin α = v · c_L/ c² gilt: v/c_P = v · c_L/ c²     →     c_P = c²/ c_L

Unter der Bedingung   c_L < c   ist   c_p > c.

Die Photonen müssten der Welle vorauseilen. Da dies nicht zutrifft ist die Vorstellung von einem Lichtquant als dauerhaftem Teilchen unzulässig. Das Teilchen ist eine Wechselwirkungsform des Lichtquants.

Was lässt sich über den Impuls p eines Photons sagen ?

p = (h · f / c² ) · c_p ,    h·f / c² ist die Masse eines Photons.

h·f / c² = m, c² = c_p · c_L     →    m = h·f / (c_p · c_L )    →    p = m · c_p = h ·f / c_L

p = h ·f / c_L , c_L = λ · f    →    p = h/λ (Beziehung von de Broglie )