2.11 E = h·ν

Herleitung der Planckschen Beziehung anhand eines Gedankenexperimentes

.Wir denken uns, wie in der nachfolgenden Skizze angedeutet, einen gleichförmig mit der Geschwindigkeit v bewegten Spiegel, auf den Licht der Frequenz ν fällt.

Abb. 1

Das Licht hat bekanntlich Energie und somit auch eine Masse, übt dementsprechend eine Kraft auf den bewegten Spiegel aus und verrichtet hierbei eine Arbeit, die zu einem Energieverlust des Lichtes führt. Neben der Energie nimmt auch die Frequenz ab; dies ist leicht einzusehen, wenn man bedenkt, dass durch die Bewegung des Spiegels das reflektierte Signal und somit auch die Periodenlänge gestreckt wird. Mit der größeren Wellenlänge stellt sich nach λ · ν = c eine kleinere Frequenz ν’ ein.

Meistens sind Energieverluste des Lichts nicht mit einer Frequenzänderung verbunden. Man denke z.B. an die Lichtschwächung durch einen Graufilter oder durch Wolken.

Warum wird im einen Fall der Energieverlust von einer Frequenzänderung begleitet, im anderen Fall aber nicht ?

Zur Beantwortung dieser Frage sollte man sich nach ähnlichen Phänomenen umschauen.

Man stelle sich ein Gas in einem senkrechten Zylinder unter einem beweglichen Kolben vor, der mit Gewichten belastet ist. Werden die Gewichte entfernt, dann dehnt sich das Gas aus, wobei seine Temperatur und seine Energie  infolge der von ihm verrichteten Arbeit abnimmt. Hier ist anstelle der Frequenz die Temperatur eine energieabhängige Größe. Man kann die Energie des Gases aber auch dadurch verringern, indem man einen Teil des Gases aus seinem Behälter ausströmen lässt.

Während im ersten Fall die Zahl der Gasatome konstant bleibt und die Energie der einzelnen Atome abnimmt, verhält es sich im zweiten Fall genau umgekehrt. Die Zahl der Atome wird kleiner, die Energie der einzelnen Atome bleibt konstant.

Unter dem Eindruck der erwähnten Tatsachen erscheint nun eine Deutung des zu Anfang vorgestellten Gedankenexperiments leicht möglich.

Die Lichtenergie ist in Wirkungseinheiten (Photonen, Quanten) eingeteilt. Der bewegte Spiegel vermindert die Energie der einzelnen Photonen, ein Filter schluckt Photonen, ohne deren Energie zu beeinflussen.

Die Frequenz des Lichtes ist offensichtlich von der Energie der Photonen abhängig.

Welche Beziehung besteht zwischen der Frequenz und der Energie der Photonen ?

Die Frequenz- und Energieänderung während der Lichtreflexion werden nun berechnet.

1. Änderung der Frequenz

Ein Wellenzug der Länge n ·λ wird in der Reflexionszeit t auf die Länge n ·λ’ gestreckt. Während der Reflexion legt das Ende des ankommenden Wellenzuges die Strecke n ·λ + v·t zurück.

n ·λ + v · t = c · t   →     t = n ·λ /(c-v)

Der Anfang des reflektierten Wellenzuges entfernt sich in dieser Zeit vom Spiegel um:

c · t + v · t   =  t·(c + v)   =   n·λ’

t·(c + v)   =   n·λ’;  t = n ·λ /(c-v)    →      (c + v)·n·λ /(c-v) = n·λ’

↓

  (1.) λ/λ’ =  ν’/ν  = (c-v)/(c+v)

2. Änderung der Energie

Der Spiegel erfährt die Kraft F = [ m · c - (-m’ · c)] / t =  c · (m + m’) / t.  m und m’ sind die Lichtmassen vor und nach der Reflexion. [ m · c - (-m’ · c)] ist die Impulsänderung während der Reflexion.

Für die Lichtarbeit gilt:

W = F · v · t   = [c · (m + m’) / t] · v · t =  v · c · (m + m’) ;   (v · t  beschreibt die Verschiebung des Spiegels in der Zeit t)  

Für die Arbeit des Lichtes gilt auch:   W = (m – m’) ·c²

Somit können wir schreiben: v · c · (m + m’) = (m – m’) ·c²

→     v · (m + m ') = c·(m - m')    →        m ' · (c + v)   =   m · (c - v)

→   (2.) m'/m   =    (c-v)/(c+v)

(1.)   ν’/ν  = (c-v)/(c+v) ;  (2.)  m'/m   =    (c-v)/(c+v)   →   ν’ / ν   =   m’ / m  

m’ / m   =    E’/E

m’ / m   =    E’/E;   ν’ / ν   =   m’ / m   →   E’/ν’ = E/ν 

Für die Energien E_P und E_P’ der Photonen gilt dann auch:

E'_P/ν’ = E_P/ν = Konstante

Diese Konstante heißt Wirkungsquantum h.

→   E_P = h · ν

Mit diesem Gesetz kann der Photoeffekt erklärt werden. Dieser Effekt liefert für h den Wert h = 6,62617·10^-34 J·s