2.10 Satz von der Erhaltung der Masse

Wir denken uns ein abgeschossenes System aus mehreren Teilchen. Die x-Koordinate eines Teilchenimpulses nennen wir p₁. Für die Summe Sp₁ aus den Impulskoordinaten p₁ aller  Teilchen gilt:

Aus der letzten Gleichung können wir unter Berücksichtigung des Impulssatzes folgenden Schluss ziehen:

Die Gesamtmasse eines abgeschlossenen Systems bleibt konstant.

Die Gleichung E = Dm · c² ist demnach nicht nur für die kinetische Energie, sondern für jede Energieart gültig.

Wird z.B. ein fliegender Körper von einer Feder abgebremst, dann bleibt die Gesamtmasse vom fliegenden Objekt und der Feder konstant. Während die Masse des einen Gegenstandes zunimmt, nimmt die des anderen ab.

Der Massenzuwachs einer Spiralfeder während einer Stauchung kann auch anhand des in der Abb. 1 dargestellten Gedankenexperiments bestimmt werden. 

Abb. 1

In einem mit der Geschwindigkeit v gleichförmig bewegtem System wird aus der Sicht eines mitbewegten Beobachters B’ in dem Zeitabschnitt Δt’ eine Spiralfeder um s’ gestaucht (siehe Abb. 16). Die dabei verrichtete Arbeit errechnet er nach F’·s’ unter der Annahme, dass s’ sehr klein ist und somit die Kraft F’ während der Verformung als konstant angesehen werden kann. F’·s’ ist die Energiezunahme ΔE’ der Feder aus der Sicht von B’. Die am linken Rand fixierte Feder erhält aus seiner Sicht  im bewegten System keinen Impuls, da die auf sie von links und rechts wirkenden Kraftstöße gleich groß sind. Anders sieht dies ein ruhender Beobachter A. Für ihn sind die Wirkungszeiten Δt_L und Δt_R der links und rechts angreifenden Kräfte verschieden. Die Kräfte sind in beiden Systemen gleich groß.

Die zur Stauchung führende Kraft F wirkt aus der Sicht von A am linken Ende vom Zeitpunkt  t_1L  bis zum Zeitpunkt t_2L und am rechten Ende von t_1R bis t_2R. Aus der Sicht von B’ erfolgt die Stauchung zwischen den Zeitpunkten t’₁ und t’₂.

Δt_L = t_2L – t_1L ; Δt_R = t_2R – t_1R

t_1L = t’₁ /k; t_2L = t’₂ /k    →   Δt_L = Δt’/k;   k² = (1 – v² / c²)

t_1R  = [t’₁ + (v/c²) ·x’₁]/ k ¸   t_2R  = [t’₂ + (v/c²) ·x’₂]/ k

x’₁ und x’₂: x’-Werte  vom rechten Ende der Feder vor und nach der Stauchung.

Δt_R = t_2R - t_1R = [(t’₂ - t’₁ ) + (v/c²) · (x’₂ - x’₁)   ]/ k  →   Δt_R = [Δt’ – (v/c²) · s’]/ k 

s’ = x’₁ -  x’₂:  Stauchung aus der Sicht von B’.

F = F’

Impuls Δ(m·v)  auf die Feder  aus der Sicht eines ruhenden Beobachters B  =  F· Δt_L – F · Δt_R  = F · (Δt_L – Δt_R )

F · (Δt_L – Δt_R ) = F · (v/c²) ·s’/ k

Da sich v nicht ändert gilt: Δ(m·v)   = v · Δm

→    v · Δm = F · (v/c²) · s’/ k

→     Δm · k  = (1/c²) · s’ ·F’;   (F’ = F)

Δm · k  ist die Änderung der Ruhemasse Δm’ im bewegten System.

Somit gilt: Δm’ ·c² = s’ · F’ = ΔE’