2.8 Das Additionstheorem der Geschwindigkeiten

Ein System S’ bewege sich mit der Geschwindigkeit v in Bezug auf ein ruhendes System S. Ein Gegenstand P fliege mit der Geschwindigkeit u’ in S’. Zum Zeitpunkt t = t’ = 0 durchlaufe P den Nullpunkt beider Systeme.

Wie kann die Geschwindigkeit u im System S anhand von u’ bestimmt werden ?

Abb. 1

Der Geschwindigkeitsvektor u hat im System S die Geschwindigkeitskoordinaten u₁ und u₂ und in S’ die Koordinaten u’₁ und u’₂.

u₁ = x/t = [(x’ + v ·t’)/k]/[(t’ + v ·x’/c²)/k]

k² =(1- v²/c²)

 u₁  = (x’ + v · t’)/(t’ + v · x’/c²)   =    (x’/t’ + v)/(1 + v ·(x’/t’)/c²) 

u₁ =   (u₁’ + v)/(1 + v ·u₁’/c²)

u₂   =   y/t    =   y’/[(t’ + v·x’/c²)/k]   =   u’₂ ·k/(1 + v ·u₁’/c²)

In entsprechender Weise erhält man für u’₁ und u’₂:

u’₁ = (u₁ - v)/(1 - v ·u₁/c²);   u’₂ = u₂ ·k/(1 - v ·u₁/c²)

Ausbreitung von Licht in fließendem Wasser

Nach Herleitung eines Gesetztes ist ein Anwendungsbeispiel wünschenswert. Führt ein solches Beispiel zu einem nachweisbaren Ergebnis, dann hat meine einen Beleg für die Richtigkeit des Gesetzes.

Mit dem Additionsgesetz der Geschwindigkeiten kann die Geschwindigkeit berechnet werden, mit dem sich Licht in fließendem Wasser in Fließrichtung ausbreitet (siehe Abb. 2).

Die Fließgeschwindigkeit des Wassers ist v. Das Licht hat in Bezug auf einen im Wasserstrom treibenden Beobachter  die Geschwindigkeit c_W.

Das Verhältnis c / c_W  (c = cVakuum) heißt Brechungsindex n des Wassers.     →     c_W = c/n .

Abb. 2

Nach dem Additionsgesetz der Geschwindigkeiten finden wir für die Lichtgeschwindigkeit  im Wasser in Bezug auf einen ruhenden Beobachter:

c_W’ = (c/n + v)/[1+ (c/n · v)/ c²] = (c/n + v)/[1+ (v/c)/ n]

Für die durch die Fließgeschwindigkeit v verursachte Geschwindigkeitsänderung des Lichtes erhalten wir:

Δc = c_W' – c/n = (c/n + v) / [1+ (v/c)/ n] – c/n

Δc = (c/n + v - c/n - v/n²) / [1+ (v/c)/ n]

Δc = v· (1 - 1/n² ) / [1+ (v/c)/ n]

Unter Berücksichtigung von v<<c (v gegenüber c vernachlässigbar klein)  können wir auch schreiben:

Δc = v· (1 – 1/n² )

Die letzte Gleichung wurde von dem französischen Physiker Fizeau im 19. Jahrhundert anhand von Messdaten aufgestellt.