2.6 Über die Einstellung von Uhren, die an verschiedenen Orten aufgestellt sind (Synchronisation)

Mehrere an verschiedenen Orten aufgestellte Uhren sollen nach einer Uhr Q eingestellt werden. Es erscheint zunächst empfehlenswert nach folgender Anweisung vorzugehen: Man nehme die Uhr Q, fahre mit ihr zu den verschiedenen Orten und stelle jeweils die dort vorhandenen Uhren nach Q ein. Überdenkt man diese Verfahren, dann erweist es sich als mangelhaft, da der Gang der Uhr Q von der Reisegeschwindigkeit abhängt. Besser ist folgendes Verfahren: Zur Einstellung einer Uhr R nach einer anderen Uhr Q wird ein Ort P gesucht, der genau zwischen R und Q liegt. Von diesem Ort werden Lichtblitze ausgesandt. Hierbei wird die Uhr R so eingestellt, dass ein von P kommendes Lichtsignal bei R und Q gleichzeitig eintrifft. Werden die Uhren eines zur Erde bewegten Systems in gleicher Weise synchronisiert, dann wird man erfahren, dass Ereignisse, die aus der Sicht eines mitbewegten Beobachters gleichzeitig stattfinden, für einen irdischen Beobachter nicht immer gleichzeitig sind. Dieser Sachverhalt soll hier eingehend anhand der Abb. 1 untersucht werden.

Abb. 1

S sei ein in bezug auf die Erde ruhendes, S’ ein mit der Geschwindigkeit v zur Erde bewegtes Koordinatensystem. Die beiden mitbewegten Uhren Q und R seien so eingestellt, dass ein von P ausgehendes Lichtsignal Q und R in gleicher Zeigerstellung antrifft.

d: Abstände in Bezug auf einen irdischen Beobachter A.

x’; d’: Abstände in Bezug auf einen mitbewegten Beobachter B.

Von A aus gesehen benötigen die Lichtsignale zu den Uhren Q und R die Zeiten t₁ und t₂.

t₁ · c = d – v· t₁    →    t₁ = d/(c + v),     t₂ · c = d + v· t₂    →    t₂ = d/(c-v)

Demzufolge erreicht es Q vor R mit dem Zeitunterschied Dt = t₂ – t₁. Aus der Sicht des irdischen Beobachters geht infolgedessen die Uhr Q gegenüber der Uhr R vor. Wenn das Lichtsignal die Uhr Q erreicht hat, dann läuft diese Uhr aus der Sicht von A bis zum Eintreffen des Lichtsignals bei R um Dt’ = Dt· k,  k² = (1 - v²/c²) weiter.

Dt = t₂ - t₁ =  d/(c-v) - d/(c + v)  =  2 ·d ·v/(c² - v²)  =  2 ·d ·v/(c² ·k²)

Unter Berücksichtigung der Zeitdilatation Δt = Δt’/k   und der Längenkontraktion  2 ·d = x’ ·k finden wir:

Δt’/k = x’ ·k · v/(c² ·k²)    →   Dt’ = x’·v/c²

Wenn das Lichtsignal um 12 Uhr R erreicht, dann zeigt die Uhr Q für den ruhenden Beobachter die Zeit 12 Uhr + Dt’ an.