2.5 Längenkontraktion

Die Gleichungen über die Massenänderung sind experimentell bestätigt worden. Das Relativitätsprinzip kann somit als richtig gelten.

Es wurde darauf hingewiesen, dass dieses Prinzip nur dann der Wirklichkeit entsprechen kann, wenn sich Längenmaße und Uhren Bewegung anders verhalten als in Ruhe.

In diesem Zusammenhang muss deutlich gemacht werden, dass die Feststellung, ein System sei in Ruhe, willkürlicher Natur ist. Wird ein System als Ruhesystem definiert, dann nennen wir ein anderes System bewegt, wenn sich der Abstand der Systeme ändert.

Es soll nun der Frage nachgegangen werden: Wie ändern sich Längenmaße und Uhren , wenn sie von einem ruhenden- in ein bewegtes System gebracht werden?

Wir stellen uns vor, die beiden Kugeln K und K’ der Abb.1  würden aus der Sicht des in der Rakete arbeitenden Experimentators zwei gleich lange Messlatten direkt hinter sich herziehen. Die Messlatte an K ruht für den irdischen Beobachter . Der Messlatte an K’ ordnet er die Geschwindigkeit u zu.

Abb. 1 

Die Enden dieser Meßlatten erreichen gleichzeitig die Mitte M der Rakete. Aus der Sicht eines ruhenden Beobachters sind sie nicht gleich lang, sondern verhalten sich wie die Abstände L und L' der Kugeln zur Bahnmitte.

Wenn die Lattenenden die Raketenmitte M erreichen, dann ist L gleich der Länge der ruhenden Latte und L’ ist die Länge der mit u bewegten Latte. Die bewegte Latte ist demnach um den Faktor √(1- u²/c²) kleiner als die ruhende Messlatte. 

Wir sehen: Einem bewegten Gegenstand wird in Bewegungsrichtung eine geringere Länge zugeordnet als in Ruhe (Längenkontraktion).

Einem Stab, der mit der Geschwindigkeit u quer zur Bewegungsrichtung fliegt, werden von dem ruhenden- und  mitbewegten Beobachter gleiche Längen zugeordnet. Wie in Abb.2 angedeutet, misst der mitbewegte Beobachter B die Länge L’ des Stabes [EF] in folgender Weise.

Abb. 2                                 Abb. 3

Er schickt von E ein Lichtsignal nach F. Bei F wird dieses Signal von einem Spiegel reflektiert und kehrt wieder zu E zurück. B gibt als Streckenlänge L’ den Wert c·t’ an. t’ ist die halbe Laufzeit des Lichtsignals.

Aus der Sicht des ruhenden Beobachters A bewegt sich das Lichtsignal auf der in Abb. 3 dargestellten Bahn. Während das Lichtsignal von E nach F und wieder zurück gelangt, bewegt sich der Stab [EF] mit der Geschwindigkeit u nach rechts. A berechnet die Länge L von [EF] nach dem Lehrsatz des Pythagoras:

c² ·t² - u² ·t² = L² → L = c ·t ·√( 1 – u²/c² )

t ist die vom ruhenden Beobachter gemessene halbe Laufzeit des Lichtes.

Wegen t =t' / √( 1 – u²/c² ) → t' = t ·√( 1 – u²/c² )

L = c ·t' = L'