2.3 Masse und Energie

Die Masse eines Körpers nimmt mit seiner kinetischen Energie zu. Anhand des im  Kapitel 2.2 beschriebenen Gedankenexperiments (Abb.1 ) kann leicht eine Beziehung zwischen dem Massenzuwachs und der kinetischen Energie hergeleitet werden .

Abb. 1

Wenn die Kugel K auf die Hinterwand der Rakete stößt, dann wird sie aus der Sicht des Raumschifffahrers B elastisch reflektiert. Der irdische Beobachter  sieht diesen Vorgang als eine Beschleunigung aus der Ruhe auf die Geschwindigkeit u und ordnet ihm eine Beschleunigungsarbeit W in der Zeit Δt mit der Kraft F zu. Während der Beschleunigung durch den linken Rand wird K unter der Kraft F um v · Δt verschoben. 

F = (m ·u / k) /Δt  ;   k² = 1 – u²/c²

m·u/k beschreibt die Impulsänderung in der Zeit Δt (Anfangsimpuls = 0);  m ist die Ruhemasse und m/k die bewegte Masse der Kugel K.  Für die gegen K verrichtete Arbeit gilt demnach:

W = F ·v ·Δt      →     W = [(m ·u / k) /Δt ]·v · Δt     →     W = m ·u ·v / k

Unter Berücksichtigung der in Kapitel 2.2 hergeleiteten Gleichung v = u / (1 + k)   erhält man für W:

W = m·u² /[k·(1+k)]

Die Erweiterung des Bruchterms mit (1-k) führt zu:

W = m·u²·(1-k)/ [k·(1- k²)]    →     W = m·u²·(1-k)/(k·u²/c²)    →      W = (m/k – m)·c²

k² = 1 – u²/c² !

m/k: Kugelmasse nach der Beschleunigung,       m Ruhemasse der Kugel

m/k – m: Massenzuwachs Δm

→    W = Δm · c²

Es wird noch bewiesen, dass die Beziehung zwischen Masse- und Energieänderung nicht nur für kinetische- , sondern für jede Energieart gültig ist. So kann man mit ihr z.B. die Energie berechnen, die bei der Spaltung oder der Verschmelzung von Atomkernen frei wird. Voraussetzung für eine solche Rechnung ist die Kenntnis der Gesamtmassen von Ausgangs- und Endprodukten.

Da die Masse eines Körpers unendlich groß wird, wenn seine Geschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit zustrebt, kann er niemals auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden, da hierzu eine unendlich hohe Energie erforderlich wäre.

Die Lichtgeschwindigkeit ist eine Grenzgeschwindigkeit.

 Mit E = m· u²/ 2 wurde bisher die kinetische Energie eines Körpers der Masse m mit der Geschwindigkeit u berechnet. Wir erwarten, dass E = m· u²/ 2  für u <<c ( u erheblich kleiner als c) aus E = Δm·c² hergeleitet werden kann.

Δm · c² = (m/k – m)·c² =  m · (1/k – 1)·c² = (1-k)/ k · m · c²

m = Ruhemasse,  m/k = Masse des bewegten Körpers

(1-k)/ k wird mit 1+k erweitert.

Δm · c² = [ (1-k²) / (k + k²) ] · m · c²

k² = 1 – u²/c²

→  Δm · c² = ( u² / c² ) / ( k + k²) · m · c²

→  Δm · c² =   u²  / ( k + k²)  · m

Für u<<c kann k und k² gleich 1 gesetzt werden.

→  Δm · c² = m· u²/ 2