2.2 Die Änderung der Masse infolge Bewegung

Im Kapitel 2.1 wurde die Vermutung geäußert, dass mit bewegten Messmitteln  (Uhren, Messlatten....) andere Messergebnisse erhalten werden als mit ruhenden, weshalb die folgenden Behauptungen nicht widersprüchlich seien:

1.) Die Relativgeschwindigkeit des Lichtes in Bezug auf das Raumschiff aus der Sicht des irdischen Beobachters beträgt 200000 km/s .

2.) Die Relativgeschwindigkeit des Lichtes in Bezug auf das Raumschiff aus der Sicht des Raumschiffpassagiers beträgt 300000 km/s .

Wir suchen eine Bestätigung für diese Vermutung .

Wie ?

Wir müssen uns Experimente mit schnell fliegenden Objekten ausdenken, die eine Entscheidung für oder gegen die Behauptung zulassen. Es müssen Experimente sein, deren Verlauf für oder gegen die Behauptung sprechen.Wir beginnen mit einem Gedankenexperiment und überlegen uns den Gang dieses Experimentes unter der Voraussetzung, dass das Relativitätsprinzip gültig ist.

Gedankenexperiment (siehe Abb. 1):

In einer mit der Geschwindigkeit v = 100000 km/s fliegenden Rakete beschleunigt ein Passagier B in der Mitte M der Rakete zwei gleiche, zunächst in der Rakete ruhende Kugeln K und K’  völlig gleichartig nach links und rechts ( in und entgegen der Flugrichtung ), so dass sie sich von M  mit gleichen Geschwindigkeitsbeträgen entfernen. Aus seiner Sicht sind K und K´ zu jeder Zeit von M gleich weit entfernt und haben immer gleiche Massen.

Abb. 1

L und L’ seien die Abstände der beiden Kugeln von der Mitte M aus der Sicht eines irdischen Beobachters A.

Wie verhalten sich L und L’ zueinander ?

Zunächst erscheint L = L’ selbstverständlich.

Zweifel hieran stellen sich ein, wenn man anstelle der Kugeln zwei Lichtsignale von M aus nach beiden Seiten schickt.  L und L’ haben eine Sekunde nach dem Start die Werte:

L = 400000 km, L’= 200000 km    →   L’< L

Möglicherweise gilt auch für die Kugeln L’< L.

In Fall L’< L wird der irdische Beobachter der Kugel K’ eine größere „Masse“ zuordnen als der Kugel K , denn der Schwerpunkt der beiden Kugeln bleibt trotz der Beschleunigung in der Raketenmitte  (Schwerpunktsatz).  Wenn er die Massen von K’ und K mit m’ und m bezeichnet, dann gilt aus seiner Sicht:

m · L = m’· L’       →      m / m’ = L’ / L = k < 1     →       m < m’  

Wir setzen voraus, dass sich K und K’  aus der Sicht des in der Rakete arbeitenden Experimentators B mit der Raketengeschwindigkeit  v  von M aus entfernen. K ist dann in Bezug auf die Erde in Ruhe, denn K hat aus der Rakete betrachtet die gleiche Geschwindigkeit wie die Erde.  Aus der Sicht eines irdischen Beobachters steht ein ruhende Kugel K im Vergleich mit einer Kugel K’, die mit der Geschwindigkeit u nach rechts fliegt.

Der Experimentator B in der Rakete prüft seine Abstände zu K und K’, indem er nach links und rechts Lichtsignale aussendet. Kehren diese Signale nach Reflexion an den Kugeln gleichzeitig bei ihm zurück, haben somit gleiche Laufzeiten, dann sieht er die Abstände  der Kugeln von M  als gleich an.

Es wird nun gezeigt, dass unter diesen Bedingungen aus der Sicht des irdischen Beobachters    L’ < L  zutrifft.

Der Ausgangspunkt für die Untersuchung mit dem Ergebnis L’ < L ist folgende Überlegung:

Die Laufzeiten der beiden Lichtsignale stimmen auch aus der Sicht des irdischen Beobachters überein. Es ist denkbar, dass diese Zeiten T_links und t_rechts mit Hilfe von L und L’ bestimmbar sind. In diesem Fall könnte man die für t und T gültigen Terme einander gleich setzten und hätte somit eine Gleichung, die den Vergleich von L und L’ zulässt.

Für das  auf K’ gerichtete Lichtsignal gilt:

Hinweg: c · t₁ = L’+ u · t₁     →      t₁ = L’/(c-u)

c: Lichtgeschwindigkeit

u: Geschwindigkeit von K’ in Bezug auf einen irdischen Beobachter

L’: Abstand der Kugel K’ von M beim Start des Lichtsignals

t₁: Zeit für den Hinweg

Während des Hinweges nimmt der Abstand von  K’ zum Startpunkt der Lichtsignals um u · t₁ zu; somit ist der Hinweg des Lichtsignals nicht gleich L’, sondern L’+u·t₁ .

Rückweg: c · t₂ = L’ + u · t₁ - v · (t₁ + t₂)

 v: Geschwindigkeit des Raumschiffs,  t₂: Rücklaufzeit des Lichtsignals

Während des Hin- und Rücklaufs kommt M dem Lichtsignal um v·(t₁+t₂) nach, somit erhält man den Rückweg,  indem man den Hinweg L’+ u ·t₁ um v·(t₁ +t₂) verkürzt.

Aus den Gleichungen für Hin- und Rückweg folgt:

c · t₁ + c · t₂  = 2 · (L’+ u · t₁) - v · (t₁ + t₂)  

↓

c · (t₁ + t₂)  + v · (t₁ + t₂) =  2 · (L’+ u · t₁)    →      t₁ + t₂ = (L’ + u · t₁) · 2 / (c + v) 

Im rechten Teil der Gleichung wird für t₁ der Term L’ /(c-u) eingesetzt.

t₁ + t₂ = [L’ + u · L’ /(c-u)]   ·   2 / (c + v)     →    t₁ + t₂ = L’ ·   c/(c-u)  ·  2/ (c + v)

→   Laufzeit   t   = t₁ + t₂ = L’ ·c   ·   2/ [(c + v) · (c - u)]

Für das nach links  auf  K  gerichtete Signal gilt:

Hinweg: c · T₁ = L

Rückweg: c · T₂ = L + v · (T₁+T₂);   T₁: Hinlaufzeit ; T₂: Rücklaufzeit

Während des Hin- und Rücklaufs entfernt sich M von K zusätzlich um v·(T₁+T₂)

Aus den beiden Gleichungen für den Hin- und Rückweg folgt:

 c · (T₁ + T₂) = 2·L + v · (T₁+T₂)    →    c · (T₁ + T₂) - v · (T₁+T₂) = 2·L

  →   Laufzeit T   =  T₁+ T₂ = 2 · L / (c-v)

Wegen  T₁ + T₂ = t₁ + t ₂    gilt:    2·L/(c - v) = 2 · L’· c / [(c - u)·(c + v)]

L’ / L = k =  (c-u) · (c + v) / [c · (c-v)]

Für L’/L schreiben wir k .        

Es wird eine Gleichung gewünscht, welche die Abhängigkeit des Verhältnisses k = L’/L von der Geschwindigkeit u der Kugel K’ zeigt. Deshalb muss die Raketengeschwindigkeit v durch einen von u abhängigen Term ersetzt werden.

Es gilt:

(L + L’)/L = u / v      →      1 + L’ / L = u / v

→    v = u/ ( 1+ L’/L)   →     v = u / (1+k)

L + L’ ist der Weg aus der Sicht des irdischen Beobachters,  den K’ nach dem Anstoß  bis zum Senden des Lichtsignals zurücklegt  (Abstand zwischen K und K’). L beschreibt die Wegänderung des Raumschiffs in der gleichen Zeit. L’+ L und L verhalten sich wie die entsprechenden Geschwindigkeiten u und v zueinander. 

Unter Berücksichtigung von v = u / (1+ k) kann nun geschrieben werden:

k = [(c-u) · (c+ u / (1+k)] / [c · (c-u / (1+k)]

→   k = [(c-u) · (c + c · k + u)] / [c · (c - u + c · k)]

Der Bruchterm wurde mit 1+k erweitert.

k · c² - k · u · c + c² · k²   =   c² - u² + c² · k - u · c · k     

Beide Seiten wurden mit [c · (c - u + c · k)] multipliziert

→   k² = 1 - u²/c²

Aus k = L’/L =  m/m’ folgt:           

↓

m’: Masse der bewegten Kugel K’ ;      m: Masse von K = Ruhemasse von K’

Schlussfolgerung:

Wenn das Relativitätsprinzip richtig ist, dann muss die Masse neu definiert werden nach m= Ruhemasse/ (1-u²/c²)^(1/2), damit auch bei schnellen Teilchen die Gesetze der Mechanik wie z.B. der Schwerpunktsatz und der Impulssatz gültig bleiben. Es ist anzumerken, dass unter Masse bisher nur die Ruhemasse verstanden wurde.

An schnellen Elektronen konnte nachgewiesen werden, dass nur mit m= Ruhemasse/ (1-u²/c²)^(1/2) der Bewegungsverlauf richtig berechnet wird.

Diese Tatsache spricht für das Relativitätsprinzip.

Das nachfolgende Diagramm ( Abb. 2) zeigt an wie sich die Masse eines Körpers (Ruhemasse = 1kg) mit zunehmender Geschwindigkeit ändert. Erst bei Geschwindigkeiten in der Größenordnung der Lichtgeschwindigkeit sind deutliche Abweichungen von der Ruhemasse zu erkennen.

Abb. 2