1.3.5 Vektoren

Man stelle sich nun einen mit der Geschwindigkeit v rollenden Wagen vor (siehe Abb. 1), der nach allen Seiten frei beweglich ist, so wie das in Abb. 2 sichtbare Rollbrett. In den auf diesem Wagen liegenden Schwamm schlage ein Luftgewehrgeschoss der Masse m_G mit der Geschwindigkeit u ein. Der Einschlag des Geschosses ändert in diesem Fall auch die Bewegungsrichtung des Wagens. Damit die Anwendung der an eindimensionalen Bewegungen gewonnenen Gesetze möglich ist, wird das Geschoss und der Experimentierwagen auf die beiden Achsen des Koordinatensystems senkrecht projiziert. Die Projektionen bewegen sich vor dem Einschlag der Kugel in x-Richtung mit u₁ und v₁ und in y-Richtung mit u₂ und v₂. Nach dem Einschlag der Kugel bewegt sich der Wagen zusammen mit der Kugel mit der Geschwindigkeit w₁ in x- und w₂ in y-Richtung.

Abb. 1: Draufsicht                                    Abb. 2

Der Impulssatz gilt für beide Bewegungsrichtungen !

m_G · u₁ + m_W · v₁ = (m_G + m_W) · w₁;   m_G · u₂ + m_G · v₂ = (m_G + m_W) · w₂

Aufgabe: Gegeben sei m_G = 0,5 g, α = 30°, u = 60 m/s und m_W = 200g, β = 20°, v = 0,5 m/s

Welche Geschwindigkeit und welche Bewegungsrichtung hat der Wagen nach dem Stoß durch die Kugel ?

Zur Anwendung des Impulssatzes müssen anhand der Angaben die Geschwindigkeiten u₁, u₂, v₁, v₂ beider Gegenstände in x und y-Richtung berechnet werden. Zu diesem Zweck werden die Geschwindigkeiten vor dem Stoß durch Pfeile veranschaulicht. Die Pfeile werden so angelegt, dass sie nicht nur die Bewegungsrichtungen der Gegenstände, sondern auch noch deren Geschwindigkeiten mit ihren Längen anzeigen (siehe Abb. 3 ). Die Länge L eines Pfeils kann z.B. gleich dem Weg sein, den ein Körper in 1s, in 0,1s oder in 0,01s zurücklegt. Je nach gewählter Zeit repräsentiert ein solcher Pfeil die Geschwindigkeiten v = L/1 s bzw. v = L/0,1 s bzw. v = L/0,01 s. Man sollte sich den Pfeil wie einen Zahlenstrahl skaliert vorstellen, so dass man an der Spitze den zugeordneten Wert ablesen kann.

Abb. 3

Derartige Pfeile setzt man immer dann ein, wenn neben der Angabe eines Maßes noch eine Richtungsbeschreibung nötig ist, man nennt sie Vektoren.

u₁ = u · cos α;        u₂ = u · sin α

Auf gleiche Weise erhält man für den Wagen: v₁ = v · cos β;         v₂ = v · sin β

Für die Geschwindigkeiten des Wagens nach dem Stoß in x- und y-Richtung gilt:

(m_W + m_G ) · w₁ = m_G· u · cos α + m_W · v · cos β

(m_W + m_G ) · w₂ = m_G· u · sin α + m_W · v · sin β

↓

w₁ = ( m_G· u · cos α + m_W · v · cos β ) / (m_W + m_G) = 0,598 m/s

w₂ = ( m_G · u · sin α + m_W · v · sin β ) / ( m_W +m_G ) = 0,245 m/s

Wiederholung zum Thema „Winkelfunktionen“

Mit den Ergebnissen für w₁ und w₂ ist die Aufgabe fast gelöst. Es fehlen nur noch Angaben über die Bewegungsrichtung und die Gesamtgeschwindigkeit w des Wagens nach dem Stoß. Zu diesem Zweck wird der zu w₁ und w₂ passende Geschwindigkeitsvektor dargestellt (siehe Abb. 4). Die Gesamtgeschwindigkeit w(Länge des Pfeils = Betrag des Vektors ) erhält man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras (Herleitung dieses Satzes).. w₁ und w₂ beschreiben die Wege, die nach dem Einschlag der Kugel vom Wagen in einer Sekunde in x- und y-Richtung zurückgelegt werden. Der Pfeil zeigt die Gesamtgeschwindigkeit nach Größe und Richtung an.

w² = w₁² + w₂²  →   w = √ (w₁² +w₂²) = 0,646 m/s

Abb. 4

Vektorkoordinaten und Vektorkomponenten

Abb. 5

Die Geschwindigkeiten in x und y - Richtung werden Vektorkoordinaten genannt. Allgemein versteht man unter den Koordinaten eines Vektors die Größen, die den senkrechten Projektionen des Vektors auf die Achsen des Koordinatensystems zugeordnet werden (siehe Abb. 5 ). Ist eine solche Projektion der Koordinatenachse entgegen gerichtet, dann ist die zugehörende Vektorkoordinate negativ. Die genannten Projektionen heißen Vektorkomponenten.

Die Beschreibung eines Vektors geschieht meistens mit der Angabe seiner Koordinaten, die man normalerweise zu einer mit Klammern eingefassten Säule (oben die x-Koordinate, dann die y-Koordinate und schließlich bei räumlichen Vorgängen noch die z-Koordinate ), manchmal aber auch aus drucktechnischen Gründen in einer Reihe anordnet, z.B. {w₁ ; w₂; w₃}. Aus dieser Beschreibungsform geht hervor, dass man Vektoren dann als einander gleich ansieht, wenn sie in diesen Koordinaten übereinstimmen. Dies bedeutet Übereinstimmung in Richtung und Länge, nicht jedoch im Anfangspunkt. Als Zeichen für Vektoren sind Buchstaben mit einem kleinen aufgesetzten Pfeil oder fett gedruckte Buchstaben üblich. Wird ein solcher Buchstabe in Betragszeichen gesetzt, dann meint man das dem Vektor zugeordnete Maß (Vektorbetrag).

Vektorsumme, skalares Produkt und Vektordifferenz

Mit Vektoren können viele physikalische Gesetze kürzer und übersichtlicher formuliert werden.

Beispiel:

Bei Anwendung des Impulssatzes auf den Zusammenstoß zweier Körper mit den Massen m₁ und m₂ im Raum mussten bisher drei Gleichungen geschrieben werden:

Aus dieser Darstellung kann leicht herausgelesen werden, was unter einer Vektorsumme und dem Produkt eines Vektors mit einer Zahl m zu verstehen ist.

{m₁· v₁ ; m₁· v₂ ; m₁· v₃ }+ {m₁· u₁ ; m₁· u₂ ; m₁· u₃ } = {(m₁· v₁ + m₁· u₁) ; ( m₁· v₂ + m₁· u₂ ); (m₁· v₃ + m₁· u₃)}

Die Vektorsumme zweier Vektoren a und b erhält man demnach, indem man die entsprechenden Koordinaten von a = {a₁; a₂; a₃} und b ={b₁; b₂; b₃}addiert.

a + b = {a₁ + b₁ ; a₂ + b₂ ; a₃ + b₃}

Abb. 6

Zur geometrischen Darstellung einer Vektorsumme a+b wird der Vektor b mit seinem Fuß auf die Spitze des Vektors a gesetzt. Der Summenvektor a + b zeigt vom Fuß des Vektors a zur Spitze des Vektors b (siehe Abb. 6).

Für {m₁· v₁ ; m₁· v₂ ; m₁· v₃ } wird m₁ ·{v₁ ; v₂ ; v₃ } geschrieben.

Hieran ist erkennbar, wie das Produkt aus einem Vektor a und einer Zahl m definiert ist.

m · a = m·{a₁ ; a₂ ; a₃} = {m ·a₁ ; m· a₂ ; m·a₃}

Man nennt die hier beschriebene Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl skalare Multiplikation. Sie bewirkt eine Streckung des Vektors a um m (siehe Abb. 7).

Abb. 7

Da in einem abgeschlossenen System die Summe aus den Impulsvektoren der Systemteile konstant ist (Impulssatz), erscheint eine Änderung dieser Summe als Maß für eine äußere Einwirkung geeignet. Handelt es sich um ein einziges Teilchen K, dessen Impuls sich von m· v₁ zu m·v₂ ändert, dann haben wir mit Δ(m· v) = m·v₂ - m· v₁ eine Beschreibung der äußeren Einwirkung. Zur Bildung der Differenz werden entsprechende Koordinaten von m· v₂ und m· v₁ subtrahiert.

Man erhält den Differenzvektor a - b , zweier Vektoren a und b indem man b mit seiner Spitze an die Spitze von a fügt (siehe Abb. 8). Der Vektor vom Fuß des Vektors a zum Fuß des Vektors b ist a – b.

a – b = {a₁ – b₁ ; a₂ – b₂ ; a₃ – b₃ }

Abb. 8

Ist Δ(m· v) der Bewegungsrichtung von K parallel (siehe Abb. 9), dann steht sein Betrag für die Änderung von m · v_K. v_K ist die Bahngeschwindigkeit von K.

Abb. 9

In Abb. 10 ist ein Experiment skizziert, bei dem sich der Impuls eines Teilchens K auf seinem Weg von A nach B unter einem seitlich wirkenden Luftstrom um Δ(m·v) = m· v₂ - m· v₁ ändert.

In diesem Fall steht der Betrag von Δ(m· v) für die Änderung von m · v_P, v_P ist die Geschwindigkeit der orthogonalen Projektion P des Körpers K auf eine zu Δ(m·v) parallele Strecke s. Bei einer geradlinigen Bewegung ist v_P = v_K . Es ist somit gleichgültig, ob die Bewegung geradlinig oder auf einer gekrümmten Bahn abläuft, in jedem Fall zeigt die orthogonalen Projektion P des Körpers K auf eine zu Δ(m·v) parallele Strecke s die Beschleunigung an.

Die Projektionen von m· v₂ und m· v₁ auf eine den Vektor Δ(m · v) rechtwinklig schneidende Ebene E unterscheiden sich nicht. Dementsprechend erfährt die Projektion P' von K auf E keine Impulsänderung.

Abb. 10

Das Skalarprodukt

Bei dem in der Abb. 1 skizzierten Experiment hat der Wagen vor dem Einschlag der Kugel die Geschwindigkeit v und nach dem Einschlag die Geschwindigkeit w. Der Winkel γ, den die Vektoren w und v einschließen, beschreibt die Richtungsänderung des Wagens infolge des Einschlags.

Abb. 11

Wie groß ist γ ?

γ kann mit Hilfe des Kosinussatzes berechnet werden. Der Kosinussatz kann als eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras a² + b² = c² aufgefasst werden.

Herleitung des Kosinussatzes

Zieht man von a² + b² das Produkt 2·a·b· cos(γ) ab, dann erhält man eine Gleichung, die auch dann gilt, wenn a und b keinen Winkel γ = 90° miteinander bilden.

a² + b² - 2·a·b· cos(γ) = c²

|w-v|² = |w|² + |v|² – 2·|w| · |v| · cos(γ)

↓

(w₁ - v₁)² + (w₂ - v₂)² + (w₃ - v₃)² = w₁² + w₂² + w₃² + v₁² + v₂² + v₃² - 2·|w| · |v| · cos(γ)

↓

{w₁² + w₂² + w₃² +v₁² + v₂² +v₃² } - 2·w₁ · v₁ - 2·w₂ · v₂ - 2·w₃ · v₃ = {w₁² + w₂² + w₃² + v₁² + v₂² + v₃² } ^– 2·|w|·|v|·cos(γ)

↓

w₁·v₁ + w₂·v₂ + w₃·v₃ = |w|·|v|·cos(γ) → cos(γ) = (w₁·v₁ + w₂·v₂ + w₃·v₃) / (|w|·|v|)

w₁ · v₁ + w₂ · v₂ + w₃ · v₃ heißt Skalarprodukt w · v der Vektoren w und v.

Unter dem Skalarprodukt zweier beliebiger Vektoren versteht man die Summe aus den Produkten entsprechender Koordinaten. Es gleicht dem Produkt der Vektorbeträge und dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels.

(w₁ · v₁ + w₂ · v₂ + w₃ · v₃ ) = |w| · |v| · cos(γ) !)

Nach Eingabe von „158“ und „START“ wird ein Programm zur Berechnung des Skalarprodukts aufgerufen.

Die orthogonale Projektion des Vektors w auf eine zu v parallele Strecke (siehe Abb. 12) erhält man nach: |w| · cos(γ) = (w₁ · v₁ /|v|+ w₂ · v₂/|v| + w₃ · v₃/|v| )

{v₁ /|v|; v₂/|v|; v₃/|v| } = e ist ein in Richtung von v weisender Einheitsvektor. Hierunter versteht man einen Vektor e mit dem Betrag 1.

Abb. 12

Beispiel: v = {4 cm/s; 3 cm/s} ; |v|² = (16 + 9 ) ·(cm/s)² → | v| = 5 cm/s

→ v / |v| = e = { 4/5; 3/ 5}

Das hier vorliegende Beispiel zeigt auch, was unter einem Quotienten a/m zu verstehen ist.