1.7.2 Fallbewegung in einer Flüssigkeit

Wir stellen uns eine in Öl fallende Eisenkugel vor (Fallbeginn zum Zeitpunkt t = 0). Der Gewichtskraft m · g wirkt eine der Geschwindigkeit proportionale Reibungskraft F_R = k ·v entgegen.. Die Geschwindigkeit wächst solange bis die Gewichtskraft gleich der Reibungskraft ist.

Wie ändert sich die Geschwindigkeit v mit der Zeit ?

F_R /v = k (Konstante)   →   F_R = k·v 

Für die Beschleunigung a gilt demnach:   m· a = m· g – k · v    →    a = g – k· v/m

Die Geschwindigkeit wird durch das folgende Programm in Abhängigkeit von der Zeit dargestellt.

Mit „17“ und „START “ zur Ausführung des Programms 

Die Endgeschwindigkeit v_Ende ist dann erreicht, wenn die Reibungskraft gleich der Gewichtskraft ist.

↓

  m ·g = k · v_Ende     →     v_Ende = m ·g / k

Hiernach ist das Verhältnis v/ v_Ende = v·k /(m· g) ein Wert f der mit der Zeit von 0 auf 1 ansteigt. Für die Geschwindigkeit v kann  v = m·g/k ·f  geschrieben werden.  Der Term (1 - e ^{– c ·t} ) mit einer noch unbekannten Konstanten c  kommt als Faktor f in Frage. Je größer c ist, desto schneller wird die Endgeschwindigkeit erreicht. Es ist davon auszugehen, dass eine große Reibungskraft und eine geringe Gewichtskraft in kurzer Zeit zur Endgeschwindigkeit führen.

Vermutung: c = k/m    →  v = m · g/k · (1- e^{-(k/m) · t})

Im Tabellenfenster findet man  unter dem obigen Programm die Gleichung f(t)=m*g/k*(1- exp(k/m*t)) 

f(t) steht für v und  exp(k/m*t)  für e^{-(k/m) · t}.

Will man sich von der Gültigkeit dieser Gleichung überzeugen, dann muss man sie doppelt anklicken. Genau auf der vom Programm erzeugten Kurve wird der zugehörende Funktionsgraph entwickelt.

Wie ändert sich der Weg s in Abhängigkeit von der Zeit ?

Hätte der Körper schon zu Anfang  die Höchstgeschwindigkeit m ·g/k,  dann wäre  s = m · (g/k) ·t . Für s gilt jedoch  s < m·(g/k)·t. Die Differenz d zwischen m·(g/k)·t und dem wahren Weg s wird sich vermutlich ähnlich wie die Geschwindigkeit zu einem Maximalwert entwickeln (siehe Abb. 2).

Abb. 2

Vermutung : m · (g/ k) · t – s = j · (1 - e ^{– k · t/m} )

Der unbekannte Faktor j  muss  von m, g und k abhängen und die Einheit eines Weges haben. Vermutlich ist  j = m² / k² · g , denn m² / k² · g  hat die Einheit eines Weges.

→  s = m · g/ k · t -  m² / k² · g ·  (1 - e ^{– k · t/m} )

Zur Prüfung dieser Annahme wird der Vorgang mit dem folgenden Programm berechnet und das hierbei gewonnene t-s-Diagramm mit dem Funktionsgraphen von s = f(t) = m*g/k t – m^2/k^2*g*(1-exp(k/m*t)) verglichen.

|v|s|a|t|h|k|g|m|n|=|0|0|0|0|0.001|10|10|1|0|: Anfangsbedingungen

wiederhole bis n=1

_t;s

a=g-k/m*v

s = 0.5*a*h^2 + v*h +s

v=a*h+v

t=t+h

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 Mit „18“ und „START “ zur Ausführung des Programms