Herleitung der Transformationsgleichungen für die Masse und den Impuls

1. Transformation der Massen

m ist die Masse eines Körpers K  im ruhenden System S und m’ die Masse von K im bewegten System S’. Für das Verhältnis der beiden Massen gilt:

K hat in S die Geschwindigkeit u und in S’ die Geschwindigkeit u’.

Die Geschwindigkeit u im Term 1 – u² / c²  = 1 – ( u_x² + u_y² ) / c²  wird nach dem Additionstheorem durch  u_x’ und u_y’ ersetzt. Nach einer umfangreichen algebraischen Umformung erhält man:

→       m = (m’ + p’_x ·v /c²) /k ,     p’_x  = m’· u’_x ,     k² = 1 – v²/ c²

Werden die x-Achsen des bewegten und ruhenden Systems umgekehrt, dann gilt nach dem Relativitätsprinzip:

m’ = (m + p_x ·v /c²) /k

Gibt man nun den  x-Achsen wieder ihre ursprüngliche Richtungen, dann wechselt p_x sein Vorzeichen.

m’ = (m -  p_x ·v /c²) /k

2. Transformation der Impulse

Nun können Transformationsgleichungen für die Impulse hergeleitet werden:

m = (m’ + p’_x ·v /c²) /k ,  m’ = (m -  p_x ·v /c²) /k      →       m = [(m -  p_x ·v /c²) /k  + p’_x ·v /c²] /k

→   m · k² =  m -  p_x ·v /c²  + k · p’_x ·v /c²

Für den Impuls p_y , p’_y quer zur Bewegungsrichtung gilt: p_y = p’_y

Beweis:

Zum Beweis der Gleichung m·v_y = m’·v’_y wird m’ durch (m -  p_x ·v /c²) /k = m’ und v’_y  durch v_y ·k / (1 - v ·v_x/c²) = v’_y  (Additionstheorem der Geschwindigkeiten) ersetzt.

m’·v’_y = [(m -  p_x ·v /c²) /k] · v_y ·k / (1 - v ·v_x/c²) =  m · [(1 -  v_x ·v /c²) /k]  · v_y ·k / (1 - v ·v_x/c²) = m· v_y

p’_y = p_y