Ableitung von y = xn



Beispiel y = x0 :

 yx = 1,   y x+Δx = 1  

 

yx ist der y-Wert, welcher dem Wert x zugeordnet ist.

 

→  Δy = yx+Δx - yx = 0      →    Δy/Δx = 0  

→   lim Δy/Δx = 0 ( Δx → 0)

→   dy/dx = 0 (Ableitung von y = x)

Beispiel y = x1 :

 yx = x,   y x+Δx  = x + Δx    

→   Δy = y x+Δx  - yx = Δx   →     Δy/Δx = 1  

→ lim Δy/Δx = 1 ( Δx → 0) 

→   dy/dx = 1 (Ableitung von y = x)

 

Beispiel y = x2 :

 yx = x2 ,   y x+Δx = (x + Δx )2   

→    Δy = y x+Δx  - yx = (x + Δx )2   - x2  

→    Δy = x2 + 2 · x · Δx + Δx2 – x2

→    Δy = 2 · x · Δx + Δx2  = Δx · (2· x + Δx)

→   Δy/Δx = (2· x + Δx) 

→  lim Δy/Δx ( Δx → 0)   = 2 · x    

→ dy/dx = 2·x  (Ableitung von y = x2 )

 

 

Beispiel y = x3 :

 yx = x3 ,   y x+Δx  = (x + Δx )3   

→ Δy = y x+Δx  - yx = (x + Δx )3   - x3  

→ Δy = x3 + 3 · x2 · Δx + 3 · x ·Δx2  + Δx3 – x3

→ Δy = 3 · x2 · Δx + 3 · x ·Δx2  + Δx3

→ Δy = Δx · (3 · x2 + 3 · x ·Δx + Δx2  )

→ Δy/Δx = (3 · x2 + 3 · x ·Δx + Δx2  ) 

→ lim Δy/Δx ( Δx → 0)   = 3 · x2 

→   dy/dx = 3·x2  (Ableitung von y = x3 )

 

Vermutung:  y = xn,    y’ = dy/dx = n · x n-1

Beweis

 

Die Ableitung von  y = a·f(x)

yx = a · f(x),   yx+Δx  =  a· f(x+Δx)

Δy/Δx = [a· f(x+Δx) - a · f(x)] / Δx  =  a ·[ f(x+Δx) -  f(x)] / Δx

lim Δy/Δx  =  a · lim ·[ f(x+Δx) -  f(x)] / Δx 

y’ =  a · f ‘(x)

 

Ableitung einer Summe y = f(x) + g(x) 

 

yx = f(x) + g(x),   yx+Δx  =  f(x+Δx) + g(x+Δx)

Δy/ Δx = [ f(x+Δx) + g(x+Δx) - f(x) - g(x)]/ Δx

Δy/ Δx = [f(x+Δx) – f(x)]  /Δx  + [ g(x+Δx) - g(x)]/ Δx

lim Δy/ Δx = lim [f(x+Δx) – f(x)]  /Δx  + lim[ g(x+Δx) - g(x)]/ Δx

f ’(x) = lim [f(x+Δx) – f(x)]  /Δx  ,   g’(x) = lim[ g(x+Δx) - g(x)]/ Δx

→ dy/dx = f ’(x) + g’(x)





Die Kettenregel

y = f(u); u = g(x)

y’ = f ’(u) · g’(x) = df(u)/du · du/dx

Bleibt Δu ≠0, wenn Δx gegen 0 strebt, dann ist der Beweis sehr einfach.

In Diesem Fall gilt: Δy/Δx = Δy/Δu  · Δu/Δx

Im Fall Δu = 0 wäre Δy/Δu nicht definiert !

lim (Δy/Δx) = limΔy/Δu · lim Δu/Δx  = dy/du · du/dx

Wenn Δu = 0 nicht ausgeschlossen werden kann, dann ist ein etwas aufwendigerer  Beweis nötig.

Die von Δu abhängige Differenz Δy/ Δu – dy/du, wir bezeichnen sie mit  ρ(Δu),  strebt mit kleiner werdendem Δu gegen 0.

Δy/ Δu – dy/du = ρ(Δu) 

→ Δy/ Δu  = dy/du  + ρ(Δu) →  Δy  = [dy/du  + ρ(Δu)] · Δu

→ Δy/Δx = [dy/du  + ρ(Δu)] · Δu/Δx

→  lim Δy/Δx = lim [dy/du  + ρ(Δu)] · lim Δu/Δx     (Δx →0)

→ dy/dx = dy/du · du/dx

 

Produktregel der Differentiation

y = f(x) · g(x)

yx = f(x) · g(x),   yx+Δx = f(x+ Δx) · g(x+Δx)

Δy/Δx = [ f(x+ Δx) · g(x+Δx) - f(x) · g(x) ] / Δx

Δy/Δx = [ f(x+ Δx) · g(x+Δx) - f(x) · g(x+ Δx) + f(x) · g(x+ Δx) - f(x) · g(x)  ] / Δx

Δy/Δx = [f(x+ Δx) - f(x)] / Δx  · g(x+ Δx) + f(x) · [g(x+ Δx) - g(x)] / Δx

lim Δy/Δx =  lim  [f(x+ Δx) - f(x)] / Δx  · lim g(x+ Δx) + f(x) · lim [g(x+ Δx) - g(x)] / Δx

dy/dx = df(x)/dx · g(x) + f(x) · dg(x) / dx





Quotientenregel

 

y = f(x)/g(x)

yx = f(x) · g(x),   yx+Δx = f(x+ Δx) / g(x+Δx)

Δy/Δx = [ f(x+ Δx) /g(x+Δx) - f(x) / g(x) ] / Δx

Δy/Δx = [f(x+ Δx)·g(x) – f(x)·(g(x+Δx)]/ [g(x+Δx) · g(x) · Δx]

Δy/Δx = [ f(x+ Δx) · g(x) - f(x) · g(x) + f(x) · g(x) - f(x) · g(x+ Δx))  ] / [g(x+Δx) · g(x) · Δx]

Δy/Δx =  {[ f(x+ Δx)  - f(x) ]/Δx · g(x) - f(x) · [g(x+Δx) - g(x)]/ Δx  } / [g(x+Δx) · g(x) ]

lim Δy/Δx =  { g(x) · lim [ f(x+ Δx)  - f(x) ]/Δx - f(x) · lim[g(x+Δx) - g(x)]/ Δx  } / [g(x) · g(x) ]

dy/dx = [df(x)/dx · g(x) - f(x) · dg(x) / dx]/ g(x)2