Beweis durch Schluss von n auf n+1.

 

Wir zeigen, dass die Behauptung für n +1 gilt, wenn sie für n gilt.

Trifft dies zu, dann gilt sie für n = 4 , weil sie für n = 3 zutrifft und sie gilt dann auch für n = 5, weil sie für n = 4 gültig ist usw..

 

Diese Schlussweise, die wir bis zu jedem beliebigen n fortsetzen können, nennen wir Schluss von n auf n+1.

 

Bei der Voraussetzung  y’ = n×xn-1 im Fall y = xn erwarten wir y’ = (n+1)× xn im Fall y=x(n+1)

 

yx = xn+1 ,  yx+Δx = (x + Δx )n+1 

                                                                                                               

→    Δy = yx+Δx  - yx = (x + Δx )n+1   - xn+1      →    Δy/Δx =  [(x + Δx )n+1   - xn+1 ] / Δx

 

→  Δy/Δx  = [(x + Δx )n  · (x + Δx) –   xn · x] /Δx     = {x · [(x + Δx )n  - xn] + Δx · (x + Δx )n  } / Δx

 

→Δy/Δx = {x · [(x + Δx )n  - xn] + Δx · (x + Δx )n  }/ Δx   =  x · [(x + Δx )n  - xn]/ Δx + (x + Δx )n

 

→ lim Δy/Δx =  lim  x · [(x + Δx )n  - xn]/ Δx    + lim (x + Δx )n

 

→ lim Δy/Δx = x ·  lim  [(x + Δx )n  - xn]/ Δx    + lim (x + Δx )n 

 

lim  [(x + Δx )n  - xn]/ Δx    ist die Ableitung von y = xn 

 

→ lim Δy/Δx  = x · n · x(n-1) + xn     = (n+1) · xn

 

→ dy/dx = (n+1)·xn