Hauptträgheitsachsen

Abb. 1

Abb. 2

Abb. 3

Bei  Rotation nach Abb. 1 hat  L die Richtung von ω . Dies ist bei der Rotation nach der Abb. 2 nicht der Fall. Sind L und ω gleich gerichtet, dann nennt man die Rotationsachse eine Hauptträgheitsachse. Zu jedem Körper gibt es drei senkrecht zueinander stehende Hauptträgheitsachsen. In der Abb. 3 sind die zu einem Quader gehörenden Hauptträgheitsachsen dargestellt.

Werden die Hauptträgheitsachsen als Koordinatenachsen gewählt und sind  J₁ , J₂ und J₃ die zu diesen Achsen gehörenden Trägheitsmomente, dann erhält man den Drehimpuls L bei einer Drehung um den Schwerpunkt mit ω =  {ω₁ ; ω₂ ; ω₃ } nach 

L = {J₁ ·ω₁ ; J₂ ·ω₂ ; J₃ · ω₃ }.

Zur Berechnung der Drehimpulskomponenten L_ω in Richtung von ω wird L mit dem Einheitsvektor e_ω  in Richtung von ω multipliziert (Skalarprodukt).

|L_ω | = (J₁ ·ω₁ ·e₁ + J₂ ·ω₂ · e₂ + J₃ · ω₃ · e₃)

ω₁ = |ω| · e₁ ,     ω₂ = |ω| · e₂ ,    ω₃ = |ω| · e₃

↓

|L_ω | = (J₁ ·e₁² + J₂ · e₂² + J₃ · e₃²) · |ω|

(J₁ ·e₁² + J₂ · e₂² + J₃ · e₃²) ist das zur Rotationsachse gehörende Trägheitsmoment J.

J = (J₁ ·e₁² + J₂ · e₂² + J₃ · e₃²)    →     J₁ ·(e₁ / J ^½ )²   + J₂ · (e₂ / J ^½ )²    + J₃ · (e₃ / J ^½ )²  = 1 

{ e₁ / J ^½   ; e₂ / J ^½    ; e₃ / J ^½  } ist ein Vektor in Richtung von ω mit dem Betrag  1 / J ^½  .

Wenn wir den Fuß eines solchen Vektors auf den Körperschwerpunkt setzen, dann zeigt er auf einen Punkt mit den Koordinaten x, y und z.

Dieser Punkt liegt auf dem Ellipsoid  (Trägheitsellipsoid)  zu   J₁ · x²   + J₂ · y²    + J₃ · z²  = 1 .

Die Halbachsen a, b und c dieses Ellipsoids sind a = 1 / J₁ ^½ , b = 1 / J₂ ^½ und c = 1 / J₃ ^½  .

Abb. 4 : Trägheitsellipsoid

Hier soll nun noch ohne Beweis angemerkt werden, dass L am Punkt {x ; y ;z } senkrecht auf dem  Ellipsoid steht.