2.2 Lösung einer Aufgabe auf deduktivem Wege



Wie lang ist die Schwingungszeit T eines Federpendels ?

Wie groß ist die Zentralkraft auf einen kreisenden Körper ?

Wie lang ist der Bremsweg eines bremsenden Autos ?



Dies sind Fragen, wie sie im Physikunterricht gestellt werden. Nur manchmal ist eine Gleichung bekannt, welche die Berechnung der gesuchten Größe x sofort ermöglicht. In der Mehrzahl aller Fälle müssen zunächst geeignete Gleichungen aus bekannten physikalischen Gesetzen hergeleitet werden. Wie schon zu Beginn des 2. Kapitels gesagt wurde, müssen Informationen zum Gegenstand G der Frage gesammelt werden. Hier werden vor allem passende Gleichungen zusammengestellt, aus denen nach Möglichkeit weitere Gleichungen gefolgert werden können. Gewünscht wird eine Gleichung, die als unbekannte Größe nur x enthält. Zum Auffinden passender Gleichungen ist zunächst eine genaue Beschreibung von G erforderlich, eine Skizze mit Kenngrößen von G ist angebracht. Da diese Kenngrößen zum Aufstellen von Gleichungen anregen, sollte man sich beim Anlegen der Skizze nicht auf die in der Aufgabe angegebenen und gesuchten Kenngrößen beschränken. Auch hier muss wieder betont werden, dass Gedankenexperimente mit G zu hilfreichen Einfällen führen können. Als ein Gedankenexperiment kann auch die Änderung der Betrachtungsweise – Änderung des Beobachtungsstandortes - gesehen werden (siehe Beispiel 3).



Anmerkung:

Als Experiment gilt hier entsprechend der Wortbedeutung jede Handlung mit ungewissem Ergebnis, die dem Erkenntnisgewinn dienen soll.



Sind Gleichungen zu den Kenngrößen dargestellt, dann werden Folgerungen aus ihnen gezogen und geprüft, ob diese näher ans Ziel führen.

„Was kann ich mit der gesuchten Größe x berechnen ?“

Diese Frage hilft bei der Suche nach einer Gleichung mit x. Findet man eine, in der neben x noch andere unbekannte Größen y,z.... enthalten sind, dann müssen weitere Gleichungen mit x,y,z.. aufgestellt werden, damit die unerwünschten Unbekannten ersetzt werden können. Wird eine Gleichung zur Beschreibung einer bestimmten Bedingung gesucht, dann sollte man die Entwicklung zur Bedingung hin untersuchen.



Beispiel:

Es solle der Umkehrpunkt eines nach oben geworfenen Körpers berechnet werden. Verfolgt man die Entwicklung zum Umkehrpunkt hin, dann fällt auf, dass die Geschwindigkeit v bei Annäherung an den Umkehrpunkt 0 wird. Als Bedingungsgleichung wird daraufhin v = vStart - g·t = 0 aufgestellt.

Oft ist es sinnvoll nach einer ähnlichen Aufgabenstellung zu fragen. Vielleicht findet man Anregungen an dem dabei gewonnenen Ergebnis und dem eingeschlagenen Lösungsweg. Besonders in der Mathematik – Geometrie – ist es immer wieder anzuraten, das zu untersuchende Objekt solange zu ändern – auch zu ergänzen – bis bekannte Gesetze anwendbar sind. Im Folgenden werden einige Aufgaben unter Berücksichtigung der hier angegeben Ratschläge behandelt.



1. Beispiel:

Es soll die Schwingungszeit T berechnet werden, nach der eine bestimmte Wassermenge in einem U-Rohr zu schwingen vermag.

Abb. 1

Abb. 2



Die hierzu passenden Kenngrößen sind die Länge L des mit Wasser gefüllten Rohrabschnitts, der Rohrquerschnitt A, die Masse m und die Dichte ρ des Wassers (siehe Abb. 1). Als ähnliche Aufgabe ist die Berechnung der Schwingungszeit an einem Federpendel mit dem Ergebnis T = 2·π·(m/D)½ zu nennen.

Bei gedanklichen Umgang mit dem U-Rohr wird an das Hineinblasen gedacht. Bei einem solchen Experiment steigt die Flüssigkeit in einem Schenkel um 2·s über die des anderen Schenkels (siehe Abb. 2). s ist die Abweichung von der Ruhelage.



Überlegungen zu diesem Experiment:

Die Flüssigkeitssäule der Höhe 2 ·s bewirkt eine zurücktreibende Kraft F. Es kann eine der Federkonstanten D entsprechende Größe D = F/s berechnet werden.

F = 2·s·A ·ρ·g    →     D = 2·ρ·A·g

Unter Berücksichtigung der Gleichungen T = 2·π ·(m/D) ½ und m = L ·A·ρ finden wir:

T = 2· π ·[L/ (2·g)] ½



2. Beispiel:

Auf einen großen Zylinder mit dem Radius r werde ein Klötzchen aufgesetzt, welches an einem Zylinder reibungsfrei abgleite. Bei einem bestimmten Wert des Drehwinkels φ löst sich dieses Klötzchen vom Zylinder.

Wie groß ist dieses φ ?

Abb. 3

Abb. 4

Der Radius r, der Drehwinkel φ, die Höhendifferenz h zwischen dem Ablösepunkt und dem Scheitel des Zylinders, die Gewichtskraft m·g, die Zentrifugalkraft FZ = m·v2 / r, welche aus der Sicht eines Beobachters wirkt, der das Klötzchen begleitet und die resultierende Kraft F, werden vermerkt. Auf der Suche nach einer Bedingungsgleichung für die Ablösung, fällt uns auf, dass die resultierende Kraft F bei Annäherung an den Ablösepunkt in Richtung der Bahn weist.

Bedingungsgleichung: cos (φ) = FZ / (m·g)     →     cos(φ) = m·v2 /( r ·m·g)

cos (φ ) = m·v2 /( r ·m·g) ;     m·v2/2 = m·g ·h (Ekin = Epot ! ) ;     h = r - r·cos(φ) = r ·(1 – cos(φ))

↓

cos(φ) = 2·g·r ·(1 – cos(φ)) /( r ·g)    →     cos(φ) = 2 - 2·cos(φ)

↓

cos(φ) = 2/3    →    φ = 48,2°

3. Beispiel:

Wird ein beiderseits straff eingespanntes Seil angeschlagen, dann zieht die hierdurch verursachte Verformung als Welle über das Seil.

Wie groß ist die Geschwindigkeit v der Seilwelle ?

Die Berechnung der Geschwindigkeit, mit der sich eine Seilwelle ausbreitet erscheint zunächst sehr schwierig.

Wie soll F= m·a angewandt werden ?

Abb. 5

Abb. 6


Eine Änderung in der Betrachtungsweise bringt bekanntlich oft völlig unerwartete Einsichten. Dies ist auch hier der Fall. Man muss mit den Augen eines Beobachters schauen, der die Verformung (Wellenberg) mit der Wellengeschwindigkeit v begleitet. Er sieht das Seil unter dem Einfluss von Zentralkräften mit v durch einen Bogen fließen (Abb. 5).

Wir betrachten das Bogenstück s mit der Masse m, welches im Winkelfeld des Winkels φ liegt (siehe Abb. 6). Die Zentripetalkraft Fz = m·v2 /r auf dieses Bogenstück ist die Resultierende der an den beiden Enden des Bogens angreifenden Fadenzugkräfte F. r ist der sogenannte Krümmungsradius von s, hierunter verstehen wir den Radius des Kreises, der dem Bogenstück s angepasst werden kann.

Fz / 2 = F· sin(φ / 2)   →     Fz = 2·F· sin(φ /2)

Unter Berücksichtigung von Fz = m·v2/r kann nun geschrieben werden:

2·F· sin(φ /2) = m·v2/r

Längenbezogene Dichte σ = m / s   →    m = s·σ

s = φ·r   (φ = Winkel im Bogenmaß)

↓

m = φ·r ·σ

Setzt man für die Masse m den Term    φ ·r ·σ in 2·F· sin(φ /2) = m·v2 /r    ein, dann gelangt man zu:

2·F· sin(φ /2) = φ·r ·σ ·v2/r    →     2·F· sin(φ /2) = φ·σ · v2

Bei kleinen Winkeln φ kann geschrieben werden:    sin(φ /2) = φ /2

2·F· sin(φ /2) = φ·σ·v2     →     2·F· φ /2 = φ·σ·v2     →     F = σ · v2


v = (F/ σ )1/2



Es wurde darauf hingewiesen, dass besonders in der Mathematik es immer wieder anzuraten ist, das zu untersuchende Objekt solange zu ändern – auch zu ergänzen – bis bekannte Gesetze anwendbar sind. Die Schüler lernen in der Mittelstufe die Lösung einer quadratischen Gleichung mittels quadratischer Ergänzung und finden zu einer Gleichung für den Flächeninhalt eines Dreiecks, indem sie zwei kongruente Dreiecke zu einem Parallelogramm zusammenfügen. Ein besonders schönes Beispiel ist eine Herleitung des Satzes von Pythagoras. Ein rechtwinkliges Dreieck D wird durch drei weitere, mit D kongruente Dreiecke zu einem Quadrat ergänzt.

Abb. 7

(a+b)2 = c2 + 2·a ·b

a2 + b2 + 2·a·b = c2 + 2·a ·b

↓

a2 + b2 = c2