1. Der Weg zur Frage

Wenn eine Frage nicht aus einer Gewohnheit heraus gestellt wird, dann ist sie normalerweise durch Unstimmigkeiten in der Welt unserer Vorstellungen oder durch eine Vermutung bedingt.

Wenn jemand nach der Größe eines Hauses fragt, dann geschieht dies, weil er sich unterschiedliche Bilder über dieses Haus gemacht hat. Wird nach der Dauer eines Vorgangs gefragt, dann zeigt dies an, dass die fragende Person mit dem Vorgang eine Uhr im Sinne hat, zu der sie sich verschiedene Zeitangaben vorstellt. Unstimmigkeiten können bestehen in der Beschaffenheit eines Gegenstandes oder seiner Anwendbarkeit, in einer Zuordnung, in den Ursachen, dem Verlauf, den zugehörenden Bedingungen und den Folgen eines Ereignisses. Sie lösen Fragen aus, die mit wie, welche, was, wer, wann und wo oder mit einem Verb oder einem Hilfsverb beginnen.

Wenn Vorstellungen nicht ständig neu entwickelt, wenn sie nicht variiert und ergänzt werden, dann kommt es zu keinen Unstimmigkeiten in der Welt unserer Vorstellungen, die Fragen veranlassen. Geistig schwerfällige Menschen bleiben meistens bei einer einfachen Vorstellung und stellen demgemäß keine oder wenige Fragen.

Wenn eine Vermutung besteht, dann wird entweder nach ihrer Richtigkeit gefragt oder aber es wird eine Frage mit warum gestellt, wenn die aus einer Vermutung resultierende Erwartung nicht erfüllt wird (siehe Beispiel 2).

Eine Vermutung ist oft das Ergebnis eines Vergleichs ähnlicher Wahrnehmungen A und B. Was bei A erkannt wurde, wird zu B hinzu gedacht (vermutet). Es ist somit sinnvoll, zu einer interessanten Erscheinung A Ähnliches zu suchen, damit sich Vermutungen einstellen können. Begünstigt wird eine solche Suche, indem man zu A gehörende Merkmale hervorhebt. Es werden Modelle entwickelt und Gleichungen gesucht, in denen diese Merkmale zum Ausdruck kommen (siehe Beispiele 5 und 6). Unter einem Modell versteht man ein erdachtes Gebilde, welches mit einem Gegenstand der Natur charakteristische Merkmale gemeinsam hat. So wird eine Vielzahl hin und her fliegender kleiner Kugeln als Modell für ein Gas gewählt (siehe Beispiel 3). An einem solchen Modell können Naturgesetze entdeckt werden. Hier ist anzumerken, dass man sich davor hüten soll, eine Modellwelt mit der Natur gleichzusetzen, denn diese würde dann beängstigend öde erscheinen.

Vermutungen stellen sich bei einem Vergleich manchmal erst dann ein, wenn wir mit Vergleichsobjekten Gedankenexperimente durchführen, sie machen uns unauffällige Merkmale bewusst. Jedermann kann z.B. erleben, wie im gedanklichen Umgang mit einer Person Erinnerungen an diese geweckt werden. Er kann z.B. in Gedanken eine Bitte an diese Person richten, wobei ihm möglicherweise einfällt, wie wenig hilfsbereit sie ist. Unser Geist wird offensichtlich durch reale und imaginäre Tätigkeiten angeregt, damit wir eine Handlung vorbereiten bzw. korrigieren können. Jedem Schüler ist bekannt, wie schwer es fällt, den Anfang eines Schulaufsatzes zu finden und wie sich dann die Einfälle häufen, wenn seine Arbeit in Gang gekommen ist.

Eine Vermutung hat im Gegensatz zu einem Glauben keinen emotionalen Hintergrund. Oft glauben wir an die Redlichkeit von Leuten schon bei der ersten Begegnung. Dieser Glaube beruht auf einer rein gefühlsmäßigen Einschätzung.

Die Entwickelung von Vermutungen macht einen Unterricht spannender. Einige Beispiele aus dem Unterricht sind im Folgenden beschrieben.

1. Beispiel:

In der Abb.1 sind zwei Dinge zum Vergleich dargestellt. Links ist ein geladener Plattenkondensator skizziert, dessen Platten über einen geöffneten Schalter miteinander verbunden sind. Rechts ist ein U-Rohr zu sehen, dessen Schenkel durch einen zunächst geschlossenen Hahn getrennt sind. Der eine Schenkel ist mit Wasser gefüllt. Wird der Hahn geöffnet, dann schwingt das Wasser zwischen den beiden Schenkeln hin und her.

Abb. 1

Vermutung: Die Elektronen schwingen nach dem schließen des Schalters zwischen den beiden Kondensatorplatten hin und her.

2. Beispiel:

Ein Schüler erfährt, dass der elektrische Widerstand eines Drahtes bei einer Dehnung zunimmt und vermutet bei einer Biegung ebenfalls eine Zunahme des Widerstandes. Da dies nicht zutrifft, fragt er mit warum nach dem Grund für die Abnahme des Widerstands.

3. Beispiel:

Sand strömt auf eine Hand und gleitet zwischen den Fingern hindurch. Die auf die Hand stoßenden Körner üben eine Kraft aus. Auf die Öffnung einer Luftpumpe wird ein Daumen gedrückt, so dass die Luft nicht ungehindert ausströmen kann. Der Daumen erfährt eine Kraft.

Vermutung: Ein Gas besteht aus unsichtbaren, fliegenden Teilchen, die ständig gegen die Behälterwände stoßen und diese damit unter Druck setzen.

Hieran schließt sich die Frage: Wie groß ist der Druck p, den n Moleküle der Masse m, die mit der Geschwindigkeit v in einem quaderförmigen Gefäß mit dem Volumen V regellos hin und her fliegen auf die Wände ihres Behälters ausüben ?

Wenn die Berechnung zu schwierig erscheint, wird ein einfacheres Gasmodell entwickelt, für das die gestellte Aufgabe lösbar ist. Man kann z.B. eine Hohlkugel mit dem Radius r nehmen, in der n Moleküle mit der Geschwindigkeit v an der Innenseite entlang gleiten. Die Kraft eines Moleküls auf die Wand ist m· v² / r . n Moleküle üben somit die Kraft F = n· m· v² / r aus. Für den Druck p auf die Gefäßfläche A = 4· π· r² gilt demnach:

p = F / A = F / (4· π · r²)    →    p = (n· m· v² / r) / (4· π· r²)

↓

p = n· m· v² / (4· π· r³);   V = 4· π· r³ / 3

↓

p· V = (1/3)· n· m· v²    →   p· V = (2/3)· n· m· v²/2

Obwohl die Kreisbewegung nicht der Vorstellung entspricht, die wir von der Bewegung der Gasteilchen haben, vermuten wir, dass die letzte Gleichung für ein Gas gilt.

4. Beispiel:

Ein für eine Erscheinung A gültiges Gesetze kann bei einer ähnlichen Erscheinung B nur dann vermutet werden, wenn es formal zu B passt. Deshalb sind formale Anpassungen manchmal angebracht .

Auf der Grundlage von Mittelstufenkenntnissen wird eine Gleichung für die Schwingungszeit eines Federpendels mit der Federkonstanten D ermittelt. Ein kreisenden Körper wird zum Vergleich genommen. Die dabei für die Periodendauer T gewonnene Gleichung wird so umgeformt, dass sie formal auch zum Federpendel passt.

Abb. 2

Für die Periodendauer einer Kreisbewegung gilt:

2· π· r / T = Geschwindigkeit v   →    T = 2· π· r / v

Da diese Gleichung formal nicht zur Schwingung passt, wird r durch die Amplitude (Schwingungsweite) A und v durch einen von der Energie E abhängigen Term ersetzt.

m· v² / 2 = E    →    v = (2· E /m) ^½

↓

T = 2· π· A/ (2· E /m) ^½

Vermutung: Diese Gleichung gilt auch für das Federpendel, wenn wir für E die Gesamtenergie des Federpendels einsetzen.

T = 2· π · A/ (2· E /m) ^½ ;   E_Federpendel = (1/2)· D· A²

↓

T = 2 · π·(m/D) ^½

5. Beispiel:

Eine Gleichung für die Geschwindigkeit v einer Schallwelle sei erwünscht. Zunächst wird überlegt, von welchen Größen die Geschwindigkeit abhängig ist. Der Luftdruck p und die Luftdichte ρ erscheinen als die maßgebenden Größen. Der Term für die Geschwindigkeit der Schallwelle hat die Einheit einer Geschwindigkeit. Mit den genannten Größen p und ρ wird deshalb ein Term erstellt, der die Einheit einer Geschwindigkeit hat.

Einheit von ρ = kg/m³;   Einheit von p = kg/ (m·s²)

↓

Einheit von p/ρ = m² / s²    →    Einheit von (p/ρ)^1/2 = m/s

↓

Vermutung: v ~ (p/ρ) ^½

Die hier beschriebene Methode, einen Term anhand der zu erwartenden Einheit aufzustellen, kann man einem Schüler empfehlen, wenn er während einer Arbeit ein Gesetz anwenden muss, welches er vergessen hat.

Anmerkung: Die Abkürzung für „Einheit einer Größe X“ ist [X].

6. Beispiel

Es solle eine Gleichung gefunden werden, welche es ermöglicht, den Flächeninhalt A eines Dreiecks anhand der Seitenlängen a, b und c zu berechnen. Da dies Aufgabe sehr schwierig erscheint, wird zunächst mit einem Dreieck experimentiert. in der Hoffnung, dass hierbei besondere Merkmale der gewünschten Gleichung auffallen.

Abb. 3

Bei Verkleinerung einer Höhe fällt auf, dass ein Term für den Flächeninhalt den Wert 0 ergeben muss, wenn eine Seite gleich dem halben Umfang s = (a+b+c)/2 ist. Auch mit schwindendem s muss dieser Term gegen o gehen. Ein Term mit diesen Eigenschaften ist das Produkt s·(s-a)·(s-b)·(s-c). Dieser Term kommt aber nicht für den Flächeninhalt in Frage, weil er als Einheit m⁴ oder cm⁴ hat.

Vermutung (Heronsche Dreiecksformel):