Das Pendel unter der Einwirkung von Corioliskräften

Wir betrachten das Geschehen aus der Sicht eines Beobachters B, der auf einer Scheibe steht, die mit dem Pendel hin und her schwingt (siehe Abb. 1). Für ihn sind Corioliskräfte F für das merkwürdige Verhalten des Pendels verantwortlich. Wir können uns den Zylinder in viele kleine Teile P1, P2 .. der Masse m’ zerlegt denken. Die zu einem solchen Punkt gehörende Geschwindigkeitskomponente u parallel zur Schwingungsebene verursacht eine Corioliskraft F auf P. Für die Corioliskraft auf den Punkt P1 gilt:

F = 2·m’·ω’·u 1. ω’ ist die augenblickliche Winkelgeschwindigkeit des Pendels.

F ist nach oben gerichtet und demnach bestrebt, das Pendel mit dem Drehmoment 2 · m’ ·ω’ · u1 ·d nach vorne aus der Schwingungsebene zu drehen. Auf der dem Betrachter abgewandten Seite des Zylinders sind die Corioliskräfte nach unten gerichtet und haben somit den gleichen Drehsinn. Zur Berechnung des Drehmoments wählen wir zunächst zwei Punkte P1 und P2 aus, deren Radien gleich sind und einen rechten Winkel miteinander bilden. Das Drehmoment dieses Punktepaars rechnen wir aus. Hiernach kann leicht auf das Gesamtmoment Mg aller Massepunkte P geschlossen werden

  Abb. 1: Seitenansicht Abb. 2: Draufsicht | Berechnung des Gesamtdrehmoments (siehe Abb. 3) Für die Corioliskraft F auf P1 gilt : F = 2· m’ · ω’· u1 , u’1 = v· sin α , v = ω· r v: Umlaufgeschwindigkeit der Punkte in Bezug auf die Zylinderachse → F = 2 · m’ · ω’·ω· r · sin α In Bezug auf den Durchmesser D beziehungsweise den Aufhängepunkt des Pendels wirkt F mit einem Drehmoment M1 . M1= F·d1 = 2·m’ · ω’· ω · r · sin α · d1; d1 = r· sinα → M1 = 2 · m’ · ω’·ω· r2 · sin2 α Für P 2 finden wir: M 2 = 2 · m’ · ω’· ω· r 2 · cos 2 α → M1 + M2 = 2 · m’ · ω’·ω· r2 · ( sin2 α + cos2 α ) = 2 · m’ · ω’·ω· r2 sin2 α + cos2 α = 1 , 2 · m’ = m ist die Masse von P1 und P2 → M1 + M2 = m · ω’·ω· r2 Addiert man die Drehmomente aller denkbaren Paare P1 , P2, dann erhält man als Gesamtdrehmoment: Mg = ω’ · ω · Σ m · r2 Σ m · r2 ist das Trägheitsmoment J des Zylinders. Mg = ω’ · ω · J