Herleitung der Transformationsgleichungen für die Masse und den Impuls

1. Transformation der Massen

m ist die Masse eines Körpers K im ruhenden System S und m’ die Masse von K im bewegten System S’. Für das Verhältnis der beiden Massen gilt:

K hat in S die Geschwindigkeit u und in S’ die Geschwindigkeit u’.

Die Geschwindigkeit u im Term 1 – u2 / c2 = 1 – ( ux2 + uy2 ) / c2 wird nach dem Additionstheorem durch ux’ und uy’ ersetzt. Nach einer umfangreichen algebraischen Umformung erhält man:

→ m = (m’ + p’x ·v /c2) /k , p’x = m’· u’x , k2 = 1 – v2/ c2

Werden die x-Achsen des bewegten und ruhenden Systems umgekehrt, dann gilt nach dem Relativitätsprinzip:

m’ = (m + px ·v /c2) /k

Gibt man nun den x-Achsen wieder ihre ursprüngliche Richtungen, dann wechselt px sein Vorzeichen.

m’ = (m - px ·v /c2) /k

2. Transformation der Impulse

Nun können Transformationsgleichungen für die Impulse hergeleitet werden:

m = (m’ + p’x ·v /c2) /k , m’ = (m - px ·v /c2) /k → m = [(m - px ·v /c2) /k + p’x ·v /c2] /k

→ m · k2 = m - px ·v /c2 + k · p’x ·v /c2

- m · v2/c2 + px ·v /c2 = k · p’x ·v /c2 | → | p’x = (px – m·v)/k
Entsprechend erhält man für px : |  | px = (p’x + m’·v)/k

Für den Impuls py , p’y quer zur Bewegungsrichtung gilt: py = p’y

Beweis:

Zum Beweis der Gleichung m·vy = m’·v’y wird m’ durch (m - px ·v /c2) /k = m’ und v’y durch v y ·k / (1 - v ·v x/c 2) = v’y (Additionstheorem der Geschwindigkeiten) ersetzt.

m’·v’y = [(m - px ·v /c2) /k] · v y ·k / (1 - v ·v x/c 2) = m · [(1 - vx ·v /c2) /k] · v y ·k / (1 - v ·v x/c 2) = m· v y

p’y = py