1.12.5 Drehschwingungen

Abb. 1

Die Experimentierwippe schwingt nach einem Stoß mit abnehmender Amplitude (siehe Abb.1). In dem Diagramm der Abb. 1 ist die Auslenkung einer Schmalseite in Abhängigkeit von der Zeit dargestellt. Diese Schwingungen lassen sich auch bei sonstigen Experimenten mit der Wippe nicht vermeiden, wobei sie meistens als störend wahrgenommen werden.

Eine Wippe, die zur Registrierung von Vorgängen eingesetzt wird, welche in wenigen Sekunden ablaufen, sollte keine Schwingungsfrequenz < 10 Hz haben. Bei der Planung der Wippe ging es deshalb um die Frage:

Wie muss die Wippe beschaffen sein, damit die Schwingungsfrequenz ca. 10 Hz beträgt ?

Wovon ist diese Frequenz abhängig ?

Die Frequenz ist vermutlich vom Trägheitsmoment J der Wippe und der Steifheit der Rückstellfeder (Blattfeder an der Schmalseite der Wippe) abhängig. Diese Steifheit wird durch die sogenannte Winkelrichtgröße k =M / α beschrieben. M ist das Drehmoment, welches sich bei Drehung der Wippe um den Winkel α (Bogenmaß) ergibt. Voraussetzung zur Definition von k ist M ~ α .

Abb. 2

Zur Bestimmung von k wird auf das Ende des waagrechten Wippe (Länge L = 0,7 m) ein 100 g- Gewicht gesetzt (siehe Abb.2), welches mit ca. 1 N auf das Ende einwirkt und dieses um eine kleine Strecke d nach unten drückt.

Bei kleinem d ist α = d/(L/2), α ist der Drehwinkel im Bogenmaß.

Das zugehörende Drehmoment M beträgt 1 N ·L/2.

k = 1 N· (L/2)/ α = 1N · L2 /(4·d)

An der Experimentierwippe mit L = 0,7 m wurde unter diesen Bedingungen d = 0,4mm gemessen.

↓

kWippe = 306 N·m

Eine Gleichung ist erwünscht, welche die Berechnung der Frequenz bei Kenntnis von J und k ermöglicht. Zur Berechnung der Frequenz f eines Fadenpendels und der einer Flüssigkeitsschwingung in einem U-Rohr wurde von der für ein Federpendel hergeleiteten Gleichung ausgegangen:

f = [1/(2·π)]·√(D/m)

Kann man vielleicht mit einer kleinen Änderung eine zur Drehschwingung passende Gleichung gewinnen ?

Vermutlich erhält man eine passende Gleichung, wenn man m durch das Trägheitsmoment J und D =F/s durch M/ α =k ersetzt.

f = [1/(2·π)]·√(k/J)

Dass dies richtig ist, sieht man sofort, wenn man die zum Federpendel- und zur Drehschwingung passenden Bewegungsgleichungen zum Vergleich hinschreibt.

Federpendel: |  | m· dv/dt = - D· x x = Auslenkung aus der Ruhelage
Drehschwingung der Wippe: |  | J · dω/dt = - k · α α = Drehung aus der Ruhelage
Das –Zeichen zeigt an, dass die rücktreibende Kraft bzw. das rücktreibende Drehmoment der Auslenkung entgegen gerichtet ist.

Zur Ermittlung der Schwingungsfrequenz muss neben der Winkelrichtgröße k das Trägheitsmoment J einer rechteckigen Platte (Wippe) bestimmt werden.

Abb. 3

Wir teilen die Hälfte der Platte der Länge L und der Masse m in 1000 kleine Abschnitte der Masse m/2000. Ein solcher Abschnitt mit einem mittleren Abstand r von der Drehachse hat das Trägheitsmoment m·r2/2000.

JH der halben Platte ist die Summe aller m · r2 /2000.

Die mittleren Abstände der Abschnitte von der Achse sind 0,5·L/2000, 1,5· L/2000, 2,5· L/2000 usw..

JH = m·(1/2000)·[(0,5·L/2000)2 + (1,5·L/2000)2 + (2,5· L/2000)2……….]

JH = m ·L2 · (1/2000) · [ (0,5/2000)2 + (1,5/2000)2 + (2,5/2000)2 ……….]

JH = m ·L2/8 · (1/1000) · [ (0,5/1000)2 + (1,5/1000)2 + (2,5/1000)2 …….]

Die Berechnung von (1/1000) · [ (0,5/1000)2 + (1,5/1000)2 ……….] geschieht mit dem nachfolgenden Progamm. Das Ergebnis ist 0,333333.. = 1/3.

|S|n|=|0|0|

wiederhole bis n=1000

n=n+1

S=S+(n-0.5)^2/1000^2

wenn n=1000

S = S*1/1000

?S

ohnewenn

zurück

Es wird mit „180“ und „START“ aufgerufen und liefert den Wert 0.33333325…

Mit feiner werdender Aufteilung strebt dieser Wert gegen 1/3.

↓

JH = m ·L2/24

Das Trägheitsmoment J der gesamten Platte ist demnach J = m ·L2/12.

mWippe = 1,8 kg; LWippe = 0,7 m → JWippe = 0,0735 kg ·m2

Schwingungsfrequenz f der Wippe ≈ 10 Hz