Aufgaben

Die Lösungen zu diesen Aufgaben finden Sie in der zweiten Hälfte dieser Seite !

1. Ein rotierender Vollzylinder (Radius R , Masse m ) mit waagrechter Rotationsachse fällt aus geringer Höhe auf einen ebenen

Boden. Die Umfangsgeschwindigkeit vor dem Aufschlag beträgt vo = 12 m/s.

1.Welche Geschwindigkeit erreicht der Zylinder nach dem Aufsetzen auf dem Boden, wenn die Rollreibung vernachlässigt

werden kann ?

2. Wie groß ist der Energieverlust des Zylinders während seiner Beschleunigung auf dem Boden?

Lösungen

Zu 1.:

Dem rollenden Zylinder wird ein Koordinatensystem mit den folgenden Eigenschaften zugeordnet:

1. Sein Ursprung liegt in der Höhe der Rotationsachse.

2. Seine z-Achse hat die Richtung des Drehimpulsvektors.

3. Die x-Achse zeigt die Beschleunigungsrichtung des Zylinderschwerpunkts an.

Nach dem Aufschlag reibt der Zylinder auf dem Boden. Die beschleunigende Kraft ist demnach die Gleitreibungskraft F = m× g × m ( m: Reibungskoeffizient).

a = F/m = g × m

v = g × m × t

v: Geschwindigkeit des Zylinderschwerpunkts nach der Beschleunigungszeit t.

Das zur z-Achse parallele Drehmoment mit der z-Koordinate -m×g×m×R bewirkt eine Änderung des Drehimpulses mit der z-Koordinate L .

- m× g × m × R = dL/dt

L = w × J; w = Umfangsgeschwindigkeit v‘/R ® L = J× v‘/R

dL/dt = J × a‘/R

a‘: Umfangsbeschleunigung in Bezug auf den Zylinderschwerpunkt.

- m× g × m × R = dL/dt; dL/dt = J × a‘/R ; J = ½ × m × R2

¯

a‘ = - 2 × g × m ® v‘ = vo - 2 × g × m × t

Die Endgeschwindigkeit vE ist nach der Beschleunigungszeit tE dann erreicht, wenn v‘ = v ist.

vo - 2 × g × m × tE = g × m × tE ® tE = v0 / (3× g × m )

vE = g × m × v0 / (3× g × m ) = v0 / 3 = 4 m/s

Zu 2.:

Rotationsenergie EA vor dem Aufschlag:

EA = ½ × J × w2 = ½ × J × v0 2 / R2 = m × v02 / 4

Energie EE am Ende der Beschleunigung:

EE = Energie zur Schwerpunktsbewegung + Rotationsenergie

EE = m ×vE 2/ 2 + m ×vE 2/ 4 = ¾ ×m ×vE2 ; vE = v0 /3

EE = m ×v0 2/ 12

2/3 der Anfangsenergie geht infolge der Reibung verloren.