Gleichung für die x- und y-Koordinaten einer Hyperbel

Abb. 1

Der Ellipse wird ein Koordinatensystem zugeordnet. Die x –Achse läuft durch die beiden Brennpunkte, die y-Achse halbiert die Verbindungsstrecke der Brennpunkte rechtwinklig.

L1 = [(x + e)2 + y2 ] ½ ; L2 = [(x - e)2 + y2 ] ½ → [(x + e)2 + y2 ] ½ - [(x - e)2 + y2 ] ½ = L1 – L2

Legt man P auf die x-Achse, dann ist sofort erkennbar: L1 – L2 = 2 · a

[(x + e)2 + y2 ] ½ = 2·a + [(x - e)2 + y2 ] ½ → (x + e)2 + y2 = 4·a2 + (x - e)2 + y2 + 4· a · [(x - e)2 + y2 ] ½

↓

e·x - a2 = a · [(x - e)2 + y2 ] ½ → e2 · x2 + a4 - 2·e·x·a2 = a2 · [(x - e)2 + y2 ]

(e2 – a2) · x2 – a2 · y2 = a2 · (e2 – a2 )

Für e2 - a2 schreiben wir b2

↓

b2 · x2 – a2 · y2 = a2 · b2 → x2 / a2 - y2 / b2 = 1 (Hyperbelgleichung)