3.6.1 Widerstände von Spulen und Kondensatoren

3.6.1.1 Wechselstromwiderstand einer Spule mit der Induktivität L

Aufgabe: Eine Spule mit der Induktivität L und dem ohmschen Widerstand R= 0 wird von einem Wechselstrom I=I0·sin(ω·t) durchflossen (siehe Abb. 1).

Welche Spannung U1;2 herrscht an der Spule ?

Abb.1

Zur Beantwortung dieser Frage transportieren wir in Gedanken eine Ladung Q vom Punkt 1 zum Punkt 2 durch die Spule und dann wieder zurück zum Punkt 1 durch das angeschlossene Messgerät. W1 und W2 sind die hierbei verrichteten Arbeiten. W1/ Q = R · I ist die Spannung innerhalb der Spule. Sie ist 0 wegen R = 0 . W2 / Q ist der Gegenwert der vom Messgerät angezeigten Spannung U1;2 .

W2 / Q = - U1 ;2

Die Summe W1 / Q + W2 / Q = - U1;2 ist die Induktionsspannung Uind.

→ - L · dI/dt = - U1 ;2 → L · dI/dt = U1 ;2

L · dI/dt = U1 ;2 I = I 0 · sin(ω·t) → dI/dt = ω ·I0 · cos(ω · t) | U 1;2 = L· ω · I 0 · cos(ω · t) cos(ω · t) = sin(ω·t + π / 2) ↓ U 1;2 = L· ω · I 0 · sin(ω · t + π / 2)

Die Spannung eilt dem Strom um π/2 voraus. Die Scheitelspannung erhält man nach U 0 = L· ω · I 0. Das Verhältnis U0 / I0 = ω · L wird Wechselstromwiderstand oder Impedanz Z der Spule genannt.

Im nachfolgenden Diagramm ist die Spannung und die Stromstärke in Abhängigkeit von der Zeit dargestellt.

Abb. 2

Wichtige Anmerkung: Es wurde von „um π/2 vorauseilen“ gesprochen. Zum Verständnis dieser Sprechweise muss Folgendes ergänzt werden: Einer Wechselspannung oder einem Wechselstrom mit der Frequenz ν kann ein gleichförmig rotierender Zeiger mit der Zeigerlänge U 0 bzw. I 0 und der Winkelgeschwindigkeit ω = 2 · π · ν zugeordnet werden (siehe Abb. 3). Die Projektion dieses Zeigers auf die senkrechte Achse zeigt die Spannung U = U 0 · sin(ω·t) bzw. die Stromstärke I = I 0 · sin(ω·t) an. In der Abb. 4 sind die Zeiger zum Spulenstrom und zur Spulenspannung zu sehen. Der Spannungszeiger ist dem Stromzeiger um π/ 2 voraus.

Abb. 3 | Abb. 4

3.6.1.2 Wechselstromwiderstand eines Kondensators

Auch einem Kondensator kann ein Wechselstromwiderstand zugeordnet werden. Ein an eine Wechselspannungsquelle angeschlossener Kondensator (siehe Abb. 5) wird fortwährend auf- und entladen. Er verhält sich so als ob er gegenüber Wechselstrom leitend wäre.

Abb. 5

Aufgabe: An einem Kondensator mit der Kapazität C liege die Wechselspannung U = U0 · sin(ω·t), ω = 2 · π · ν.

Welcher Strom fließt zum Kondensator ?

Es gilt: Q/U = → Q = U ·C I = dQ / dt ↓ I = C · dU/dt dU/dt = C·U 0 · ω · cos(ω·t) | → | I = C·U0 · ω · cos(ω·t) cos (ω·t) = sin(ω·t + π/2) ↓ I = C·U 0 · ω · sin(ω·t + π/2)

Die Strom eilt dem Spannung um π/2 voraus. Die Scheitelstromstärke erhält man nach I0 = C · U0 · ω → U0 /I0 = 1 / (ω· C) Das Verhältnis U 0 / I 0 = 1 / (ω· C) wird Wechselstromwiderstand oder Impedanz Z des Kondensators genannt.

Im nachfolgenden Diagramm ist die Spannung und die Stromstärke in Abhängigkeit von der Zeit dargestellt. In Abb. 7 sind die der Spannung und Stromstärke zugeordneten Zeiger zu sehen.

Abb. 6

Abb. 7

Anmerkung für Lehrer:

Mit dem CASSY-E kann bei Verwendung des Messprogramms „MAuS” einer Wechselspannung ein gleichförmig rotierender Zeiger zugeordnet werden.

Abb. 8