Die Flächengeschwindigkeit (Das Kreuzprodukt zweier Vektoren)

Zur Prüfung des 2. Keplerschen Gesetzes muss eine Gleichung zur Berechnung der Flächengeschwindigkeit hergeleitet werden. Unter dieser Flächengeschwindigkeit vA

verstehen wir das Verhältnis A/Δt. A ist die Fläche, welche in der Zeit Δt von der Verbindungsstrecke r zwischen der Sonne S und dem Planeten P überstrichen wird.

Abb. 1 | A = 0,5·h ·|r| vA = A/ Δt = 0,5·(h/Δt) ·|r| (h/Δt) = v P ist die Geschwindigkeit von P'. P' ist Projektion von P auf eine zu r senkrechte Gerade. v A = A/ Δt = 0,5·v P ·|r| Projiziert man den Verschiebungsvektor v· Δt auf {-y,x}┴ {x,y}, dann erhält man eine Strecke der Länge h. h = | v|· Δt·cos(α) → v P = | v|·cos(α) v A = 0,5·|v|·cos(α)·|r| |{-y,x}|=|{x,y}| = |r| vA = 0,5· |v|· |{-y,x}| ·cos(α)| |v|· |{-y,x}| ·cos(α)|: Skalarprodukt von v und {-y,x} v A = 0,5·v·{-y,x} v = { v 1, v 2 } v A = 0,5· (-v 1·y + v 2·x)

vA = konstant wird durch dvA/dt = 0 angezeigt.

dvA/dt = 0,5 · (-a 1 · y - v 1 ·v 2 + a 2 · x + v 2 · v 1) = 0,5 · (-a 1 · y + a 2 · x )

Produktregel der Differentialrechnung !

dx/dt = v1 ; dy/dt = v2 ; dv2/dt = a2 ; dv1/dt = a1

dv A/dt = 0,5 · {a 1 , a 2 } · {-y, x}

{a 1 , a 2 } ist antiparallel zu r, bildet deshalb einen rechten Winkel mit {-y, x}

↓

{a 1 , a 2 } · {-y, x} = 0

Unter einer Kraft F = {m·a 1 , m·a 2 }|| {x, y} ist {a 1 , a 2 } · {-y, x} = 0. Eine solche auf ein bestimmtes Bewegungszentrum gerichtete Kraft heißt Zentralkraft. Während einer Bewegung unter einer Zentralkraft ist v A konstant und somit das zweite Keplersche Gesetz gültig.

Der Flächengeschwindigkeit ordnen wir einen Vektor vA mit |vA| = vA zu, der mit seiner Richtung die Ebene E anzeigt, in der sich r dreht. vA steht so senkrecht auf E, dass ein Betrachter mit Blick auf die Vektorspitze eine Linksdrehung (positive Drehung) sieht.

VA ={0; 0; 0,5· (x ·v2 -y·v1)} gilt für die Projektion des rotierenden Körpers auf die x-y-Ebene.

VA={0; 0,5·(-x ·v3 + z· v1);0} gilt für die Projektion des rotierenden Körpers auf die x-z-Ebene.

VA ={0,5· (y ·v3 -z · v2); 0;0} gilt für die Projektion des rotierenden Körpers auf die y-z-Ebene.

Behauptung: vA = 0,5· { (y ·v3 -z · v2 ) ; (-x ·v3 + z· v1 ); (x ·v2 -y·v1) }

Die Richtigkeit dieser Behauptung muss gezeigt dass werden, dass 0,5· { (y ·v 3 -z · v 2 ) ; (-x ·v 3 + z· v 1 ); (x ·v 2 -y·v 1) } = {v A1; v A2; v A3} ist. Wir beschränken uns auf den Beweis: 0,5· (x ·v 2 -y·v 1) = v A3.

A (in der Abb.2 in Seitenansicht) ist die Fläche, welche der Punkt P mit seiner Verbindungslinie zum Drehpunkt in der Zeit t überstreicht. A z ist Fläche, welche der Punkt P', die Projektion von P auf die x-y-Ebene, mit seiner Verbindungslinie zum Drehpunkt in der Zeit t überstreicht.

v A3 = | v A| · cos(α) = A/t · cos(α) = A · cos(α)/t

A · cos(α) = A z → A · cos(α)/t = A z/t = 0,5· (x ·v 2 -y·v 1)

Abb. 2

{ y· v 3 – z · v 2 ; z· v 1 – x · v 3 ; x· v 2 - y · v 1 } wird Kreuzprodukt r x v aus den Vektoren r und v genannt. Diese Bezeichnung verdankt der angegebene Vektor der nun folgenden Regel zur Berechnung seiner Koordinaten. Die Koordinaten der beiden Vektoren r und v werden nebeneinander in Säulen angeordnet.

x | v1 | Zur Berechnung der x - Koordinate wird diese 1. Zeile gestrichen
y | v2 | Zur Berechnung der y Koordinate wird diese 2. Zeile gestrichen
z | v3 | Zur Berechnung der z Koordinate wird diese 3. Zeile gestrichen

Zur Berechnung der n. Koordinate von r x v wird die n. Zeile gestrichen. Anschließend wird der erste Wert der verkürzten 1. Spalte mit dem zweiten Wert der anderen Spalte und hiernach der zweite Wert der ersten mit dem ersten Wert der zweiten Spalte multipliziert. Schließlich wird das zweite Produkt vom ersten subtrahiert. Bei Berechnung der y-Koordinate ist dann noch das Vorzeichen umzukehren.

Es muss angemerkt werden, dass Kreuzprodukte nicht nur aus Orts- und Geschwindigkeitsvektoren, sondern aus vielerlei Vektoren a und b gebildet wird.

a x b = { a 2· b 3 – a 3 · b 2 ; a 3· b 1 – a 1 · b 3 ; a 1· b 2 – a 2 · b 1 }

a, b und a x b verhalten sich der Richtung nach wie der Daumen, der Zeige- und der Mittelfinger der rechten Hand, wenn der Mittelfinger von den beiden anderen rechtwinklig abgespreizt wird ( Rechte-Hand-Regel ).

Abb. 3

|a x b| ist gleich dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms, wenn die Flächeneinheit ein Rechteck ist mit der Einheit von a als Länge und der Einheit von b als Breite.