3.5.5 Die Wechselspannung

Aus der Steckdose fließt Wechselstrom unter einer Wechselspannung. Ein Generator zur Erzeugung einer solchen Spannung ist in der Abb. 1 zu sehen. Ein rotierender Magnet induziert eine Wechselspannung in einer Spule mit Eisenkern.

Abb. 1 Abb. 2

Die fast sinusförmige Wechselspannung an der Steckdose lässt sich durch U = U0 · sin (ω· t) beschreiben. U0 nennt man Scheitelspannung und ω Kreisfrequenz . ω = 2· π · ν = 2· π / T; Frequenz ν = 50 Hz; Schwingungszeit T = 0,02 s

Unter der Wechselspannung schwankt auch die Stromstärke in einem Elektrogerät z. B. einem Heizlüfter. Der Betrag der maximalen Stromstärke heißt Scheitelstromstärke I0 .

Effektivspannung und Effektivstromstärke

Durchfließt ein Wechselstrom ein Elektrogerät mit dem Widerstand R, z.B. eine elektrische Herdplatte, dann ist die augenblickliche Leistung P = U· I = U2 / R.

P = U02 · sin2 (ω· t) / R

Für den Verbraucher elektrischer Energie ist nicht die augenblickliche , sondern die mittlere Leistung von Interesse. Diese mittlere Leistung Pgemittelt findet man, indem die in der Periodendauer T verbrauchte Energie E durch T teilt.

Pgemittelt = E / T

Berechnung der mittleren Energie E

Wir zerlegen die Periodendauer T in 200 gleiche Zeitabschnitte der Größe Δt = 0,0001 s. Δt ist so gewählt, dass die Spannung U innerhalb eines Δt als fast konstant angesehen werden kann, weshalb die in Δt verbrauchte Energie ΔE nach ΔE = U ·I · Δt berechenbar ist.

Δ E = U ·I · Δ t; I = U/R → Δ E = U 2 · Δ t /R

U und I sind die Spannung und die Stromstärke am Ende von Δt. Die Ungenauigkeit infolge des nicht konstanten U kann vermindert werden, indem man Δt verkleinert. Die Gesamtenergie erhalten wird durch Addition aller ΔE.

E = ΣΔE = U 1 2· Δt /R + U 2 2 · Δt /R + U 3 2 · Δt /R ……..+ U 200 2 · Δ t /R

E = Σ Δ E = (U 1 2 + U 2 2 + U 3 2 …….+ U 200 2 )· Δ t /R

E = Σ Δ E = [(U 1 2 + U 2 2 + U 3 2 …….+ U 200 2 ) /200 ] · 200 ·Δt /R

200 · Δt = T

↓

Pgemittelt = E / T = [(U12 + U22 + U32 …….+ U2002 ) /200 ] / R

(U12 + U22 + U32 …….+ U2002 ) /200 ist der Mittelwert von U2

Pgemittelt = U2 gemittelt / R

Definiert man √ Ugemittelt2 als neue Größe mit dem Namen Effektivspannung Ueffektiv, dann kann wie bei einem Gleichstrom nach P = Ueffektiv 2 /R die mittlere Leistung berechnet werden. Der Effektivspannung wird eine Effektivstromstärke (Ieffektiv2 = I2 gemittelt ) zugeordnet, so dass auch geschrieben werden kann:

P gemittelt = I effektiv · U effektiv

Berechnung der Effektivwerte bei sinusförmigem Verlauf der Wechselspannung

U2 = U02 · sin2 (ω· t) → U2 gemittelt = U02 · Mittelwert von sin2 (ω· t)

I2 = I02 · sin2 (ω· t) → I2 gemittelt = I02 · Mittelwert von sin2 (ω· t)

Mit „196“ und „START“ wird ein Programm zur Berechnung dieses Mittelwerts aufgerufen !

|T|t|h|s|=|0.02|0|0.00001|0| wiederhole bis t>=T s = s+(sin(2*pi/T*t))^2 t = t+h Wenn t = T m = s/(t/h) ?Mittelwert von [sin(w*t)]^2 = ?m ohnewenn zurück | Mit der zweiten Programmzeile werden 200 Quadrate von sin(2·π/T · t) summiert. Ist das Ende der Periode erreicht (t = T), dann wird der Mittelwert m = s/n gebildet und in das Rechenfenster geschrieben. Zahl der Werte n = t/h. Mit der obersten Zeile werden die Anfangswerte festgelegt.

Dieses Programm liefert 0,499999999999996 als Mittelwert. Bei einer Einteilung in 2000 Abschnitte wird 0,5 angegeben. Eine noch feinere Einteilung führt zu keinem andern Wert. Der durch die Schwankungen von U in dem Zeitabschnitt Δt verursachte Fehler ist hier schon so klein, dass er nicht mehr in Erscheinung tritt. Der Mittelwert der Quadrate strebt mit kleiner werdendem Δt dem Grenzwert 0,5 zu. Diesen Grenzwert nennen wir den Mittelwert von [sin(ω·t)]2 in der Zeit T.

Mittelwert von U2 = U02 / 2, Mittelwert von I2 = I02 / 2

→ Ueffektiv = U0/ √ 2 Ieffektiv = I0/√ 2