Berechnung der Zentripetalkraft

Abb. 1

Wie in Abb. 1 angedeutet, rotiert eine 60 g-Kugel B in einer auf der Experimentierwippe stehenden Schale mit konstanter Geschwindigkeit v. Das Diagramm beschreibt den Weg s des Punktes P, der senkrechten Projektion des Körpers B auf einen durch den Kreismittelpunkt gehenden Pfeil. Dem Bewegungsdiagramm kann eine Parabel angepasst werden, bei kleinem s gilt demnach für die Bewegung von P:

s = ½ ·a ·t 2 ( a = |a| ).

An der hier angepassten Parabel wurde der Wert a = 3,1 m/s2 ermittelt. Die Beschleunigung a der Projektion P zeigt die Zentripetalkraft F an, die bei sehr kleinem s als nach rechts gerichtet betrachtet werden kann.

F = m· a; F = |F| → F = m ·a = 0,06kg · 3,1 m/s² = 0,19 N .

Eine Gleichung für die Zentripetalkraft soll nun hergeleitet werden.

In Abb. 2 ist eine Kreisbahn mit dem Radius r zu sehen, auf der ein Körper B mit der Geschwindigkeit v kreist.

Abb. 2

Das Dreieck ABH in dieser Abbildung ist nach dem Satz des Thales ein rechtwinkliges Dreieck. Es vergeht die Zeit t, während P den Weg s von A nach B zurücklegt. Der Kreisbogen AB weicht bei kleinem t nur sehr wenig von der Kathete AB ab. Es gilt somit nach dem Kathetensatz:

s· (2 · r) = ( v·t)2 = v2 · t2 → 2 ·s = (v2/r)· t2

→ s = [(v2/r) /2]· t2

s/t2 = a /2 → a = v2/r

→ F = m · v2/r

Für die Zentripetalkraft wird oft die Gleichung F = m·ω2·r angegeben. ω ist die Winkelgeschwindigkeit, sie beschreibt den Winkel (im Bogenmaß), der in einer Zeiteinheit von der Verbindungstrecke des kreisenden Körpers zum Drehpunkt überstrichen wird.

ω = 2·π/T , v = 2·π·r/T → v = ω·r

F = m · v2/r = m·(ω·r)2/r = m·ω 2·r

Es folgt nun noch eine etwas formalere Herleitung der obigen Gleichungen. In Abb. 3 ist ein mit dem rotierenden Körper kreisender Ortsvektor r dargestellt. Den Vektor der Geschwindigkeit erhalten wir mit v = {dx/dt = v1 ; dy/dt = v2 } = dr/dt und den der Beschleunigung mit a = {dv1/dt ; dv2/dt } = dv/dt.

Abb. 3

Ausflug in die Differentialrechnung !

r = {r·cos(ω·t) ; r · sin(ω·t) } ; v= {-r·ω·sin(ω·t) ; r·ω·cos(ω·t) } ; a = {- r·ω2 · cos(ω·t) ; -r ·ω2 · sin(ω·t) }

↓

a = - ω2 · r

a mit dem Betrag ω2 · r ist dem Vektor r entgegen gerichtet.

Vektor der Zentripetalkraft F = - m · ω 2 · r

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