  
 
  Wie werden Tabellen erstellt ?
  =========================  

  Eine Tabelle entsteht mit: 
  --------------------------------

  1. Koordinaten eintragen 
   
  2. Zeit in Tab. I und Zeit in Tab.II

  Wird " Zeit in Tab. I " oder  " Zeit in Tab. II  " angeklickt,  dann  erscheint  zunächst die Zeit         
  0  in der 1. Zeile. Beim   nächsten   Anklicken   wird  die  zeitliche   Differenz   zum  ersten
  Ereignis in die Zeile 2 eingetragen usw.. Die  Eintragung  beginnt  mit 0  erst dann  wieder 
  in der ersten Zeile, wenn  " Neu "  unter  " Datei "  gewählt  wurde.  Mit  der  hier   beschrie- 
  benen schnellen Zeiterfassung können  langsame  Bewegungen  auch  ohne   Meßwandler 
  quantitativ behandelt werden (siehe Mechanik/m1.bmp ).
  Es ist darauf zu achten, daß die Zeit nach der Entlastung der Maustaste  eingetragen wird. 
  Die Taste "e" kann nach dem ersten Eintrag anstelle der Maustaste  genutzt werden !

  3. dt
  Es werden die Verweilzeiten des Mauszeigers auf einem kleinen grauen Quadrat angezeigt. 
  Auf diese Weise kann sogar die Fallzeit eines Körpers ohne technischen Aufwand bestimmt 
  werden (Schülerversuch).


  4. "Koordinaten der Bildschirmpunkte in das Tabellenfenster" unter "Koord." im Hauptmenü
  
  -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  Im Folgenden  wird   die   Aufstellung   und   Auswertung  von     Tabellen    an  Beispielen
  beschrieben
  **********************************************************************************************************
  Liegt ein Diagramm zur tabellarischen Auswertung vor, dann sind zunächst die unter  1 - 5 
  genannten Schritte nötig.

  1. " Tabellenfenster I " oder " Tabellenfenster II " auswählen.

  2. " Koordinaten eintragen " anklicken.

  3. " Ortskoordinaten durch Anklicken von Punkten eintragen " anklicken.

  Es erscheint  das  Diagrammfeld  (Hauptmenü) mit  der auszuwertenden Meßkurve.  Eine 
  Meßkurve muß selbverständlich vorliegen !

   
   4. Nach   Anklicken (Linksklick)   von  Messpunkten  trägt  der  Rechner  die  zugehörigen 
   Koordinaten  ( Zeit, Ort )  in  das     gerade    unsichtbare Tabellenfenster  ein. Auf der mit
   Mausklick erscheinenden   senkrechten   Strecke  können mehrere,  genau   übereinander 
   liegende Punkte ausgewählt werden. Bei einem   Rechtsklick wird der letzten Tabellenzeile 
   der  y-Wert des  Mauszeigers angefügt.
   
   5. Mit " Tabelle I " oder   " Tabelle II "  wird die Aufnahme von Koordinaten beendet.  Es er-
   scheint eine Tabelle  mit den registrierten Werten. Über diese Tabelle  kann  der  Term b/a]
   gesetzt werden. An  der  Klammer  erkennt  der Rechner, daß es sich um einen Term   zur
   Auswertung einer Tabelle handelt !
       
    b/a]                                                                                                                                                                                                                                                
    |  2933E-5   |  3750E-4   |            Nach einem Doppelklick auf den Auswerteterm entsteht          
    |  6110E-5   |  1500E-3   |            eine  dritte   Spalte   mit    b/a - Werten.  a steht  für die
    |  7495E-5   |  2250E-3   |            Werte   der   ersten Spalte,  b für  die  der  zweiten.   Der
    |  9450E-5   |  3625E-3   |            dritten Spalte ist die Variable c zugeordnet usw..   Wenn
    |  1222E-4   |  6125E-3   |            die   Wertepaare  zu  einem   t - s - Diagramm  gehören,
    |  1458E-4   |  8875E-3   |            dann steht a für eine Zeit und b für einen Weg. 
    |  1670E-4   |  1150E-2   |           
    |  1849E-4   |  1413E-2   | 
    |  2045E-4   |  1738E-2   | 
 
 
   b/a]
   |  2933E-5   |  3750E-4   |  1279E-2   |             Statt b/a] können auch andere kompliziertere         
   |  6110E-5   |  1500E-3   |  2455E-2   |             Terme    zur   Auswertung   gewählt   werden.
   |  7495E-5   |  2250E-3   |  3002E-2   |             Außerdem können  Zeichenbefehle  gegeben
   |  9450E-5   |  3625E-3   |  3836E-2   |             werden.   Mit  _a;b]  werden  alle Punkte (a|b)
   |  1222E-4   |  6125E-3   |  5012E-2   |             gesetzt und miteinander  verbunden, mit a;b]
   |  1458E-4   |  8875E-3   |  6087E-2   |             erscheinen nur Punkte, mit a;b°] kleine Kreis-
   |  1670E-4   |  1150E-2   |  6886E-2   |             flächen  und  mit a;b#e]  Säulen  der  Breite e
   |  1849E-4   |  1413E-2   |  7642E-2   |             (Säulendiagramm).
   |  2045E-4   |  1738E-2   |  8499E-2   | 
   

 
  Soll zu einem   t - s - Diagramm     ein     t - v -  Diagramm    entwickelt   werden,  dann  kann
  dies wie folgt geschehen:   An    die    Tabelle   mit  t -  und  s - Werten  fügt man  die gleiche
  Tabelle  versetzt an.  In  eine   Zeile  z.B.   die   fünfte   wird   die    Einfügemarke gesetzt und 
  anschließend     " Tabelle versetzt anfügen "    unter  " Tabelle bearbeiten "   angeklickt.   Nun
  erscheint   die   gleiche   Tabelle   nochmals   unter  der vierten Zeile.  Gleichzeitig werden die
  überstehenden zweispaltigen  Zeilen gelöscht.

  _(( a+c )/2 );( b - d )/( a - c )/10]
  |  1222E-4   |  6125E-3   |  2933E-5   |  3750E-4   | 
  |  1458E-4   |  8875E-3   |  6110E-5   |  1500E-3   | 
  |  1670E-4   |  1150E-2   |  7495E-5   |  2250E-3   | 
  |  1849E-4   |  1413E-2   |  9450E-5   |  3625E-3   | 
  |  2045E-4   |  1738E-2   |  1222E-4   |  6125E-3   | 
  |  2265E-4   |  2125E-2   |  1458E-4   |  8875E-3   | 
  |  2420E-4   |  2412E-2   |  1670E-4   |  1150E-2   | 


  a - c     stellt     nun     einen      Zeitabschnitt,   b - d   den   zugehörenden    Wegabschntt  dar. 
          
  Wird  nun  die  Tabelle  mit     _(( a+c )/2 );( b - d )/( a - c )/10]   ausgewertet, dann entsteht ein  
  t - v - Diagramm    mit    einer   um  10     verkleinerten  Geschwindigkeit.  Die Geschwindigkeit 
 ( b - c )/( a - c ) wird dem Zeitmittelwert (a + c )/2 zugeordnet.

  Nach Wahl von " Koordinaten eintragen "  sind  verschiedene Wahlmöglichkeiten gegeben. Man  
  kann  sich   entscheiden,  ob  die  Koordinaten  von  Punkten  in  eine  Tabelle eingehen   sollen,  
  die  mit Mausklick  ausgewählt  werden  oder  die Steigungen von  Tangenten , die in das  Bild-
  feld    gezeichnet    werden.   Im   letzten   Fall    werden   auch   noch   die   x- Koordinaten  der
  Berührungspunkte in die Tabelle (1. Spalte) aufgenommen.

  Numerische Integration von exp(-x^2)
  ------------------------------------------------------------
  1. Es wird eine Spalte   mit     5500 Zeilennummern  angelegt   ( " Tabelle bearbeiten ! " ).
  2. Die einspaltige Tabelle wird mit a*0.001] ausgewertet.
  3. Es erfolgt  die  Auswertung  mit   exp(-(b+0.0005)^2)*0.001+S].  Die Intervalle der Länge 
      0,001 werden mit den zur Intervallmitte  gehörenden Funktionswerten multipliziert. Die
      Produkte werden zu   S   addiert.    Als    Endsumme    erhält    man    hierbei den Wert 
      0.886226925452747. Der Anfangswert von S muss als 0 festgelegt werden. 

      (2*0.886226925452747 )^2 = 3.1415926535897 (pi = 3.1415926535879...)

     exp(-(b+0.0005)^2)*0.001+S]
     | 0 |0        | 0.000999999750000031 |
     | 1 |0.001 | 0.00199999750000256   |
     | 2 |0.002 | 0.00299999125002209   |
     | 3 |0.003 | 0.00399997900009712   |
     | 4 |0.004 | 0.00499995875030215   |
     | 5 |0.005 | 0.00599992850075968   |
     | 6 |0.006 | 0.0069998862516522     |
     | 7 |0.007 | 0.0079998300032342     |
     | 8 |0.008 | 0.00899975775584417   |
     | 9 |0.009 | 0.00999966750991658   |

  Achtung !
  Während der Auswertung einer Tabelle wird die zuletzt berechnete Zahl  immer unter "S"
  gespeichert. Am Ende wird S auf 0 gesetzt. 


 
  Es  wird  gezeigt,  wie  man   durch   tabellarische   Auswertung   die    Summenformel zu
  c = 1^2 + 2^2 +3^2 ..... gewinnt (Induktion).
  ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
  Es  ist  angebracht, vor  der  Behandlung  der  " Vollständigen Induktion "  auf den Begriff 
  "Induktion " einzugehen. Dies kann  wie  folgt geschehen.

  1. Es wird eine Spalte mit den Zahlen 1, 2, 3 ...7 angelegt
  2. Auswertung mit a^2]
  3. Auswertung mit S + b]
  4. Auswertung mit c/a*6]
  5. Auswertung mit (c/a*6-1)a]
  6. Auswertung mit ((c/a*6-1)/a-3)/a]

  Ergebnis: ((c/a*6-1)/a-3)/a = Konstante = 2


                                ((c/a*6-1)/a-3)/a = 2]    ==>   c = (1/6)*a*(a*(2a+3)+1)]
                             (c/a*6-1)/a] |
                           c/a*6]     |     |
                    S+b]     |        |     |
            a^2]      |       |        |     |
       a      b       c       d      e    f
   |   1 |     1 |     1 |     6 |   5 | 2 |                     
   |   2 |     4 |     5 |   15 |   7 | 2 |                        
   |   3 |     9 |   14 |   28 |   9 | 2 |                      
   |   4 |   16 |   30 |   45 | 11 | 2 |                      
   |   5 |   25 |   55 |   66 | 13 | 2 |                        
   |   6 |   36 |   91 |   91 | 15 | 2 |
 
 
  
  Bestimmung der Wurzel  aus  55  durch    Intervallschachtelung
  -------------------------------------------------------------------------------------------------------
  1. Es   wird   eine   Spalte  mit  den Zahlen von 1 bis 8 angelegt.
  2. Die Tabelle wird mit a^2] ausgewertet.
  3. Mit dem Auswerteterm 7+(a-1)*0.1] wird das Intervall zwischen
      7 und 8 in 10 Teile eingeteilt.
  4. Die Tabelle wird mit c^2] ausgewertet.
  5. Mit    dem     Auswerteterm  7.4+(a-1)*0.01]  wird  das  Intervall
      zwischen 7.4 und 7.5 in 10 Teile eingeteilt.  usw.

  Ergebnis: 7,416 < Wurzel(55) < 7,417

  | 1   |    1 | 7    | 49      | 7.4   | 54.76     | 7.41   | 54.9081   |
  | 2   |    4 | 7.1 | 50.41 | 7.41 | 54.9081 | 7.411 | 54.922921 |
  | 3   |    9 | 7.2 | 51.84 | 7.42 | 55.0564 | 7.412 | 54.937744 |
  | 4   |  16 | 7.3 | 53.29 | 7.43 | 55.2049 | 7.413 | 54.952569 |
  | 5   |  25 | 7.4 | 54.76 | 7.44 | 55.3536 | 7.414 | 54.967396 |
  | 6   |  36 | 7.5 | 56.25 | 7.45 | 55.5025 | 7.415 | 54.982225 |
  | 7   |  49 | 7.6 | 57.76 | 7.46 | 55.6516 | 7.416 | 54.997056 |
  | 8   |  64 | 7.7 | 59.29 | 7.47 | 55.8009 | 7.417 | 55.011889 |


  Bestimmung der Wurzel(5) durch Iteration
  --------------------------------------------------------------------
  Es  wird   eine  Tabellenspalte   mit   den  Zahlen von  1 - 7  gesetzt.    Hierüber  wird  die
  Iterationsformel geschrieben und  für  S  der   Wert 1   eingegeben. Nach   Anklicken   von
  " Tabelle auswerten "  wird  die  zweite  Spalte  mit  den   Näherungswerten  gebildet. Die 
  Zahlen in der ersten Spalte haben keinen Einfluß auf die Rechnung.  Sie  müssen  jedoch 
  gesetzt werden, da ohne Tabelle keine Auswertung beginnt.

  0.5*(S+5/S)
 | 1 |                               3 | 
 | 2 |  2.33333333333333 | 
 | 3 |  2.23809523809524 | 
 | 4 |  2.23606889564337 | 
 | 5 |  2.23606797749998 | 
 | 6 |  2.23606797749979 | 
 
  S=1

  Umwandlung einer Dualzahl in eine Dezimalzahl
  -------------------------------------------------------------------------------
  1. Es  wird   eine   Tabellenspalte  mit  den  Zahlen  von  1  bis  10  angelegt.
  2. Mit 2^(a-1)] wird eine zweite Spalte angelegt (Stufenzahlen).
  3. In der dritten Spalte wird die Dualzahl  eingetragen.  Die  Trennungsstriche
      werden anschließend über " Tabelle bearbeiten " angefügt.
  4. Mit S+c*b] werden Dezimalzahlen zugordnet.
 
  S+c*b]
  |   1 |    1 | 0 |     0 | 
  |   2 |    2 | 1 |     2 | 
  |   3 |    4 | 0 |     2 | 
  |   4 |    8 | 0 |     2 | 
  |   5 |  16 | 1 |   18 | 
  |   6 |  32 | 0 |   18 | 
  |   7 |  64 | 1 |   82 | 


  Bestimmung der Zahl pi ( halber Umfang eines Vielecks in einem Kreis mit r = 1LE)
  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
  1. Die erste Spalte wird angelegt.
  2. Es wird mit S*2] ausgewertet ( Anfangswert von S = 6 ).
     S ist jeweils das Ergebnis der letzten Rechnung !
  3. Es wird mit wrz(S^2/4+(1-wrz(1-S^2/4))^2] ausgewertet ( Anfangswert von S = 1).
  4. Mit b*c/2] werden die halben Umfänge der Vielecke bestimmt.

   b*c/2]
   |   1 |    12 |     0.517638090205041 | 3.10582854123025 | 
   |   2 |    24 |     0.261052384440103 | 3.13262861328124 | 
   |   3 |    48 |     0.130806258460286 | 3.13935020304686 | 
   |   4 |    96 |   0.0654381656435522 | 3.14103195089051 | 
   |   5 |  192 |   0.0327234632529735 | 3.14145247228546 | 
   |   6 |  384 |   0.0163622792078742 | 3.14155760791185 | 

   |S|=|1|
  

  Abschließend soll noch auf folgendes aufmerksam gemacht werden:
  ---------------------------------------------------------------------------------------
  1.) Die Tabelle im Fenster II  kann an  die  Tabelle  im  Fenster I angefügt  werden  (siehe  
        " Tabelle 2  an Tabelle 1 "  unter Datei  im Tabellenfenster II).
  2.) Tabellen können mit " In  die  aktuelle  Bildebene übertragen " in  das   Diagrammfeld
       geschrieben  werden.   


  Äquivalenzumformungen an Termen
  ------------------------------------------------
  Mit dem Unterprogramm       " Tabellenkalkulation "     kann     ein     Schüler   Äquivalenz-
  umformungen auf ihrer Richtigkeit hin überprüfen.

  Es werden die ersten beiden Spalten der unten sichtbaren Tabelle angelegt. Anschließend
  wird diese Tabelle mit den über ihr  stehenden Termen  ausgewertet.  Anhand  der  letzten 
  drei Spalten erkennt man, daß diese Terme äquivalent sind.
  

  (a^2-b^2)/(a^2+2*a*b+b^2)]
  (a-b)*(a+b)/(a+b)^2]
  (a-b)/(a+b)]

  | 1 |4 | -0.6 | -0.6 | -0.6 | 
  | 2 |5 | -0.428571428571429 | -0.428571428571429 | -0.428571428571429 | 
  | 3 |6 | -0.333333333333333 | -0.333333333333333 | -0.333333333333333 | 
  | 4 |7 | -0.272727272727273 | -0.272727272727273 | -0.272727272727273 | 
  | 5 |8 | -0.230769230769231 | -0.230769230769231 | -0.230769230769231 | 



  Behandlung der Fehlertheorie
  ========================
  Klickt man " Rotierender Zeiger zur Untersuchung einer Schwingung " an, dann erscheint         
  ein Zeiger der um die  Mitte  des  Bildschirms rotiert   und hierbei an seinem  beweglichen
  Ende ein Achsensystem mitführt.   Bei  einem  Mausklick  während  der  Rotation wird der
  Zeitunterschied  zum  letzten Mausklick  in das Tabellenfenster II eingetragen. Die Eintra-
  gung beginnt mit dem zweiten Mausklick. Drückt   man nach  jedem  Umlauf   auf die linke
  Maustaste, dann ensteht eine  Tabellenspalte mit Umlaufzeiten . Anhand derartiger Werte
  kann man die Fehlertheorie behandeln.

  Es sei folgende Aufgabe gestellt:  Die  Zeiten sollen aufeinander folgenden Intervallen der 
  Größe   0,025   zugeordnet  werden.  Hiernach  soll  eine   Häufigkeitsverteilung  gegeben
  werden.

  1. Die   Tabelle   wird   mit   " int(a/0.025)*0.025] " ausgewertet. Hiermit wird jeder Zahl die 
   linke Intervallgrenze ihres Intervalls zugeordnet.

  2. Die Spalten werden vertauscht ( "Tabelle bearbeiten ").

  3. Über die Tabelle   wird eine  1  gesetzt und " Tabelle auswerten " angeklickt. Es entsteht 
  eine 3. Spalte mit Einsen.

  4. Unter   "Tabelle bearbeiten"     wird     " Die Zeilen werden nach ihren ersten 
      Werten geordnet (Tabelle bearbeiten)"   ausgewählt.

  5. " In einer geordneten  Tabelle  werden  Zeilen  mit  gleichem  Anfang addiert 
      (Tabelle bearbeiten)" wird angeklickt.

  6. Es wird mit a/ c] ausgewertet


        1. Schritt           2. Schritt         3. Schritt                 4. Schritt                 5. Schritt

  int(a/0.025)*0.025]                              1
  |2.064| 2.050|    | 2.050|2.064|   | 2.050 |2.064|1|    | 1.950 |1.963|1|      | 7.800| 7.854| 4 |
  |1.963| 1.950|    | 1.950|1.963|   | 1.950 |1.963|1|    | 1.950 |1.964|1|      | 3.950| 3.976| 2 |
  |1.964| 1.950|    | 1.950|1.964|   | 1.950 |1.964|1|    | 1.950 |1.964|1|      | 6.000| 6.041| 3 |
  |2.014| 2.000|    | 2.000|2.014|   | 2.000 |2.014|1|    | 1.950 |1.963|1|      | 2.025| 2.039| 1 |
  |1.988| 1.975|    | 1.975|1.988|   | 1.975 |1.988|1|    | 1.975 |1.988|1|      | 2.050| 2.064| 1 |
  |1.964| 1.950|    | 1.950|1.964|   | 1.950 |1.964|1|    | 1.975 |1.988|1| 
  |2.039| 2.025|    | 2.025|2.039|   | 2.025 |2.039|1|    | 2.000 |2.014|1| 
  |2.013| 2.000|    | 2.000|2.013|   | 2.000 |2.013|1|    | 2.000 |2.013|1| 
  |2.014| 2.000|    | 2.000|2.014|   | 2.000 |2.014|1|    | 2.000 |2.014|1|       
  |1.963| 1.950|    | 1.950|1.936|   | 1.950 |1.963|1|    | 2.025 |2.039|1|  
  |1.988| 1.975|    | 1.975|1.988|   | 1.975 |1.988|1|    | 2.050 |2.064|1| 

           6.Schritt

                   a/c]
  | 7.800| 7.854| 4 |1.950 |       
  | 3.950| 3.976| 2 |1.975 | 
  | 6.000| 6.041| 3 |2.000 | 
  | 2.025| 2.039| 1 |2.025 | 
  | 2.050| 2.064| 1 |2.050 | 
  
   Ergebnis:                          Die Verteilung kann graphisch z.B. mit d+0.0125;c#0.001]
   4 * 1,95                             veranschaulicht    werden,    nachdem    ein    passendes
   2 * 1,975                           Koordinatensystem  angelegt   wurde.
   3 * 2  usw.                        

  

  Lösung eines Systems linearer Gleichungen nach der Additionsmethode
  --------------------------------------------------------------------------------------------

   1*x - 2*y + 2*z + 4 =0
  -2*x - 4*y + 6*z -16 =0
   3*x - 3*y + 2*z + 2 =0
   
  1. Schritt
   a]
   b+2*a]
   c-3*a]

   2. Schritt
   d-1/4*e]
   e]
   f+3/8*e]

   3. Schritt
   g-2*i]
   h+10/0.25*i]
   i]

  | 4 |-16 |  2 |       4 |  -8 |  -10 |         6 |  -8 |    -13 |       32 |  -528 |      -13 | 
  | 2 |   6 |  2 |       2 | 10 |    -4 |     -0.5 | 10 | -0.25 |        0 |       0 |   -0.25 | 
  |-2 |  -4 | -3 |     -2 |  -8 |     3 |         0 |  -8 |       0 |         0 |      -8 |         0 | 
  | 1 |  -2 |  3 |       1 |    0 |     0 |         1 |   0 |       0 |        1 |       0 |         0 | 

  x = -32                 
  y =   528/(-8) = -66
  z = 13/(-0.25)= -52 



  Behandlung einer gleichförmig - beschleunigten Bewegung
  ------------------------------------------------------------------------------------------------
  Mit   " Zeit in Tab. I "  und     " Zeit in Tab. II "   erscheinen Zeiten in den Tabellenfenstern.         
  Die schnelle Registrierung von Zeiten ermöglicht z.B. die quantitative  Behandlung  einer
  gleichförmig - beschleunigten   Bewegung   ohne   Verwendung  eines  Meßwandlers. Eine
  Kugel rollt auf einer schiefen Ebene mit geringer Neigung abwärts. Immer dann,  wenn sie
  eine   der   angedeuteten   Markierungen   passiert,   wird      " Zeit in Tab. I "     angeklickt. 
  Anschließend  werden  den  eingetragenen  Zeiten  a  die zugehörenden Wege b angefügt.

  | 0.0000 |   0 |
  | 1.7580 |   5 |
  | 2.5260 | 10 |
  | 3.5830 | 20 |
  | 4.4030 | 30 |
  | 5.6510 | 50 |
  | 6.7310 | 70 |
  | 7.6740 | 90 |

 Die Auswertung mit 2*b/a^2] ergibt eine 3. Spalte mit Beschleunigungswerten.

                  2*b/a^2]
  | 1.7580 |   5 | 3.32 |
  | 2.5260 | 10 | 3.13 |
  | 3.5830 | 20 | 3.11 |
  | 4.4030 | 30 | 3.09 |
  | 5.6510 | 50 | 3.13 |
  | 6.7310 | 70 | 3.09 |
  | 7.6740 | 90 | 3.05 |

 Nimmt man  _a;b] zur Auswertung,  dann  werden  die  Werte der ersten Spalten graphisch
 dargestellt. Es ensteht ein  Zeit - Weg - Diagramm .

   _a;b]
  | 0.0000 |   0 |
  | 1.7580 |   5 | 3.32 |
  | 2.5260 | 10 | 3.13 |
  | 3.5830 | 20 | 3.11 |
  | 4.4030 | 30 | 3.09 |
  | 5.6510 | 50 | 3.13 |
  | 6.7310 | 70 | 3.09 |
  | 7.6740 | 90 | 3.05 |
