Bernoullische Gleichung

Wasser der Masse m wird mit einem Kolben K1 aus einem Rohr (Querschnitts A1, Wasserdruck p1) in ein engeres Rohr (Querschnitt A2, Wasserdruck p2 ) gleichmäßig gedrückt. Im engeren Rohr wird hierbei vom Wasser ein Kolben K2 verschoben.

Wie ändert sich der Druck p beim Übergang vom breiten zum engen Rohr ?

Abb. 1

Die Strömungsgeschwindigkeit v2 im engen Rohr ist größer als die Strömungsgeschwindigkeit v1 im weiten Rohr. Demgemäß nimmt die kinetische Energie zu. Der Energiezuwachs ist gleich der Differenz zwischen der dem Wasser zugeführten Energie W1 = A1 · p1 · s1 und der vom Wasser abgegebenen Energie W2 = A2 · p2 · s2 ·

Hinweis: p = F/A → F = p· A

↓

m · v 2 2 / 2 - m · v 1 2 / 2 = A1 · p1 · s1 - A2 · p2 · s2

A1 · s1 = A2 · s2 : Volumen der verdrängten Wassermenge

↓

(v22 / 2 – v12 / 2 ) · m / (A1 · s1) = p1 - p2

m / (A1 · s1 ) = Dichte des Wassers ρ

(v 2 2 / 2 – v 1 2 / 2 ) · ρ = p1 - p2

↓

ρ ·v22 / 2 + p2 = ρ ·v12 / 2 + p1

Bernoullische Gleichung

In einem strömenden Medium nimmt der Druck mit steigender Geschwindigkeit ab.

Anhand der Bernoullischen Gleichung kann der Auftrieb eines Flugzeugtragflügels (Abb. 2) erklärt werden. Auf der Oberseite des Tragflügels ist die Luftgeschwindigkeit größer als auf der Unterseite. Dementsprechend ist der Luftdruck auf der Unterseite größer als auf der Oberseite. Unter diesem Druckgefälle wird der Tragflügel nach oben gedrückt.

Abb. 2

Hier ist anzumerken, dass die nach der Bernoullischen Gleichung zu erwartenden Druckschwankungen auf die Beschleunigung der Luft an den Tragflügeln zurückzuführen ist (siehe Theoretischen Mechanik von A. Budo, Seite 451). Die Begründung des Auftriebs mit Hilfe der Bernoullischen Gleichung steht nicht im Widerspruch zu der Erklärung „die Beschleunigung der Luft sorge für den Auftrieb“.