3.5.2 Das Induktionsgesetz

In 3.5.1 wurde festgestellt: Ein bewegtes Magnetfeld ist für einen ruhenden Beobachter kein reines Magnetfeld, für ihn hat es auch eine elektrische Feldstärke. Kommt es auf ihn zu, dann stellt er nach 3.5.1 eine senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkende elektrische Feldstärke fest.

Für sie gilt : |E| = |B q| · v

B q ist die senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehende Komponente von B

Die Richtung von E erhält er, indem er Bq um 90° im Uhrzeigersinn um die Bewegungsrichtung dreht.

Zur Prüfung der oben gemachten Aussage machen wir folgendes Experiment:

Wir bewegen einen Magneten auf eine Leiterschleife mit den Eckpunkten P1, P2, P3 und P4 zu, wie dies in Abb. 1 dargestellt ist und stellen hierbei fest, dass vom Amperemeter ein Strom in der Leiterschleife angezeigt wird. Dies kann als Bestätigung der oben gemachten Aussage angesehen werden.

Das bewegte Magnetfeld ist aus der Sicht des ruhenden Beobachters durch die elektrische Feldstärke E = Bq · v ausgezeichnet. Wenn wir eine Ladung +q in Gedanken von P1 nach P2 von dort nach P3 weiter nach P4 und schließlich wieder nach P1 durch den Leiter schieben, dann wird vom Feld die Arbeit W = q· E1 ·d - q·E2 ·d verrichtet. E1 ist die Feldstärke zwischen P1 und P2 , E2 ist die Feldstärke zwischen P3 und P4. Wegen E1 > E2 ist W und damit auch die Spannung U = W/q > 0 und es fließt ein Strom I nach I = U/R ( Ohmsches Gesetz !).

Abb. 1

Abb.2 Abb.3

Das Amperemeter schlägt ebenfalls aus bei den in den Abb. 2 und 3 dargestellten Variationen des beschriebenen Versuchs. Nach der Abb. 2 wird eine Leiterschleife schnell einem ruhenden Magneten genähert und nach Abb. 3 wird ein elektrischer Strom durch eine Spule um ein ruhendes, hufeisenförmiges Eisenstück geschickt, was zu einer Magnetisierung des Eisens führt. In den drei beschriebenen Fällen wird das Magnetfeld innerhalb einer Leiterschleife geändert. Der hierbei jeweils nachweisbare Strom zeigt ein Feld im Leiter an, welches geladene Teilchen durch die Leiterschleife treibt. Diesem Feld ist eine Spannung, die so genannte Induktionsspannung zugeordnet.

Die Induktionsspannung ist wie folgt definiert: In Gedanken führen wir eine Ladung Q zeitlos durch einen Leiter in positivem Umlaufsinn. Hierbei verrichtet das im Leiter wirkende Feld die Arbeit W.

U = W/Q nennt man die in den Leiter induzierte Spannung.

Abb. 4

Unter Verwendung dieses Begriffes kann nun folgendes Gesetz formuliert werden: Ändert man den Durchgriff eines Magnetfeldes durch eine Leiterschleife der Stärke nach, dann wird in die Leiterschleife eine Spannung induziert ( eingeführt). Diese erzeugt nach dem Ohmschen Gesetz einen Strom der Stärke I = U / R. Ist die magnetische Feldstärke innerhalb einer Leiterschleife konstant ( sie kann 0 sein), dann verrichtet ein elektromagnetisches Feld keine Arbeit, wenn eine Ladung durch die Leiterschleife transportiert wird. Dies gilt auch für einen Leiterkreis mit Batterie. Man denke sich eine Ladung Q, die in der in Abb. 5 sichtbaren Leiterschleife zunächst vom Punkt 1 nach dem Punkt 2 durch den Widerstand R geschoben wird. Bei dieser Verschiebung wird die Spannung I · R ermittelt. Anschließend wird die Ladung vom Punkt 2 zurück zum Punkt 1 durch die Batterie transportiert. Beim zweiten Schritt ist W/Q = - UB .

U B ist die Batteriespannung.

Da die Schleifenspannung 0 ist, gilt:

I · R – UB = 0 → I· R = UB

Abb. 5

Die letzte Gleichung ist als gültig bekannt. Greift in die eben behandelte Leiterschleife ein sich änderndes Magnetfeld, dann tritt an die Stelle der 0 die Induktionsspannung UInd .

I · R – UB = U ind

Die Lenzsche Regel

Über die Richtung des induzierten Stroms gibt die Lenzsche Regel Auskunft. Nach ihr ist der induzierte Strom immer so gerichtet, dass er der Induktionsursache entgegen wirkt.

Über Experimente zur Bestätigung dieser Lenzschen Regel werden Sie nach Anklicken dieser Zeile informiert.

Induktionsgesetz

Anhand der Abb. 6 soll nun eine Gleichung für die Induktionsspannung hergeleitet werden. Es ist eine kleine, rechteckige Leiterschleife S mit der Länge L und der Breite d skizziert, in die, wie in Abb. 1 angedeutet, ein wachsendes magnetisches Feld eindringt. Die magnetischen Kraftlinien laufen auf den Betrachter zu. Die auf den Betrachter weisende Komponente von B erhält in diesem Fall ein positives Vorzeichen. Das Feld ist so beschaffen, dass B von links nach rechts linear abfällt, von oben nach unten aber konstant bleibt.

Abb. 6

Anmerkung: Ein Kreis mit einer kleinen Kreisscheibe in der Mitte (Punkt) zeigt an, dass B auf den Betrachter gerichtet ist. Ein Kreis mit einem Kreuz in seiner Mitte steht für einen Vektor B, der vom Betrachter fort gerichtet ist.

Für die Feldarbeit bei einem Durchlauf mit einer Ladung q im Uhrzeigersinn gilt: W = q· E1 ·d - q· E2 ·d

E 1 = (B + Δ B) · v; E 2 = B · v

B ist die magnetische Feldstärke am rechten- und B + ΔB die ist die Feldstärke am linken Rand der Leiterschleife.

Mit E und B sind die Beträge der zugehörenden Vektoren gemeint.

↓

W = q· ΔB · v ·d → U = W/q = ΔB · v · d

Mit Δt beschreiben wird die Zeit, in der sich das Feldes um L nach rechts bewegt. Da das Feld am linken Rand der Schleife um ΔB größer ist als am rechten Rand, folgt: In der Zeit Δt wächst die magnetische Feldstärke an einem Ort innerhalb der Schleife um ΔB an.

v = L / Δt; U = ΔB · v · d → U = ΔB · L ·d / Δt

L ·d Ist der Flächeninhalt A der Leiterschleife.

A·B nennt man den in der Schleife vorhandenen magnetischen Fluss Ф, A· Δ B ist die Änderung des magnetischen Flusses in der Leiterschleife S.

A·ΔB =ΔΦ

Nach dieser Begriffsbildung kann für die Spannung U geschrieben werden: U = ΔΦ/ Δ t

Präzisierung des Begriffs „magnetischer Fluss“:

Der Begriff „magnetischer Fluss“ ist nicht hinreichend korrekt beschrieben. Dies fällt z.B. dann auf, wenn der Fluss für den in Abb. 7 skizzierten Fall zu bestimmen ist. In Abb. 7 sehen wir einen Vektor B, der nicht senkrecht zu einer Fläche mit dem Flächeninhalt A steht.

Abb. 7 Abb. 8

Hier wird zur Berechnung des Flusses die Komponente B n von B senkrecht zu A genommen. |Φ| = |B n| · A. Ordnet man der Fläche A einen senkrecht auf ihr stehenden Vektor A mit |A| = A zu, dann kann man für den Fluss als Skalarprodukt schreiben.

Φ = A · B

Nach der letzten Gleichung kann Φ positiv oder negativ sein, je nachdem ob A und Bn gleich oder entgegen gerichtet sind.

Es ist nun üblich bei einem auf den Betrachter zeigenden Vektor A, die Spannung U auf einen Linksumlauf zu beziehen. Nach dieser Vereinbarung gilt:

U = -ΔΦ/ Δt Induktionsgesetz

Wenn sich das Feld mit der Zeit nicht gleichmäßig ändert, dann ist ΔΦ /Δt durch dΦ /dt zu ersetzen.

U = - dΦ /dt

Greift das Magnetfeld nicht nur durch eine, sondern durch n Windungen,

dann müssen wir für U schreiben: U = - n· dΦ /dt

Wie wird die Induktionsspannung gemessen ?

Antwort

Für den Lehrer: Eindrucksvolles Experiment mit dem CASSY-E zum Thema „Induktion“