Mathematische Beschreibung der Planetenbahn

Wie ändert sich der Abstand r des Planeten von der Sonne mit dem Drehwinkel φ (siehe Abb. 1) ?

  Abb. 1 | Abb. 2

Abstand des Punktes B1 zum Planeten+ Abstand des Punktes B2 zum Planeten = Konstante = 2·a (siehe Abb. 2)

a ist die halbe Länge und b die halbe Breite der Ellipse.

→ Hat der Planet von B1 den Abstand r, dann ist der Abstand von B2 gleich 2·a - r.

Nach dem Kosinussatz gilt:

(2·a – r)2 = r2 + 4·e2 – 4·e·r · cos α

cos φ = - cos α

→ (2·a – r)2 = r2 + 4·e2 + 4·e·r · cos φ

4 · a2 + r2 – 4 · a · r = r2 + 4·e2 + 4·e·r · cos φ

a2 – e2 = a · r + e·r · cos φ

a2 – e2 = b2 → b2 = r · (a + e ·cos φ )

→ r = b2/ (a + e ·cos φ )

b2 / a = K, e/a = ε ;

ε wird numerische Exzentrizität genannt.

→ r = K /( 1 + ε · cos φ); x = - r· cosφ; y = - r · sin φ

Nun soll geprüft werden, ob eine mit „Mathe.-Physik“ gewonnene Planetenbahn mit r = K /(1 + ε· cos φ) beschreibbar ist.

Nach „39“ und „START“ erscheint die in Abb. 2 sichtbare Planetenbahn mit einem Programm zur Darstellung einer Ellipse nach

r = K /( 1 + ε · cos φ).

Dieses Programm erzeugt eine Bahn, die genau auf der Planetenbahn liegt.

Auch mit Hilfe einer Gleichung für die x- und y-Koordinaten einer Ellipse kann nachgewiesen werden, dass die Planetenbahn eine Ellipse ist.

Abb. 3 | Anmerkungen zum Rechenprogramm E: numerische Exzentrizität w: Winkel Phi cosg(w) und sing(w) sind Funktionswerte zum Gradmaß w Für das Programm muss das zur Bahn passende K und ε gefunden werden. K = 2,98E10 m = 2,98·1010 m kann sofort abgelesen werden. Es ist der y-Wert zu φ = 270° ; cos(270°) = 0. Mit K und dem maximalen Abstand Planet-Sonne ist ε berechenbar. r = K/[1+ ε · (-1) ] = 1E11 m = 1011 m cosφ = cos(180°)= -1 ! → 1- ε = 2,98· 1010 / 1011 → ε = 1 – 2,98/10 = 0,702 | Rechenprogramm |w|E|K|=|0|0.7|3E10| wiederhole bis w=360 r = K/(1+E*cosg(w)) wenn r>0 x = -r *cosg(w) y=-r*sing(w) _x;y;;10 ohnewenn w=w+0.5 zurück

Bahnen mit |ε|≥ 1

Startet man das obige Programm mit |E| = |ε|≥1, dann erhält man keine Ellipse. r = K /( 1 + ε · cos φ) beschreibt mit |ε|= 1 eine Parabel (Abb. 4) und mit |ε|> 1 eine Hyperbel (Abb. 5).

  |  | Die Hyperbelbahn passt sich mit wachsendem Abstand von der Sonne einer Geraden an.
  Abb. 4 | Abb. 5 |

Geometrische Eigenschaften der Parabel und der Hyperbel

Sehr schnelle Körper (z.B. Kometen), die mit ihrer großen kinetischen Energie den Anziehungsbereich der Sonne verlassen können, bewegen sich auf Bahnen mit |ε|>1. Bei ε = 1 reicht die Energie gerade zur Loslösung von der Sonne aus, das heißt die kinetische Energie des Flugkörpers K an einem Punkt P im Abstand r von der Sonne gleicht der Arbeit, welche mindestens nötig ist, um K von P aus in den Weltraum zu befördern.