4.4 Die Ausgleichsgerade

Die Fehler F seien Summen aus zufälligen Fehlern f und einem systematischen Fehler d.

Es gilt:

Die Summe aus den Quadraten der Fehler F ist größer als

die Summe aus den Quadraten der durch Zufall bedingten Anteile f.

Beweis: F2 = f2 + d2 + 2·f·d F12 + F22 + F32 + F42 …...+ Fn2= f12 + f22 + f32 + f42 …..+ fn2 + n ·d2 + 2· d ·(f1 + f2 + f3 + f4 …..+ fn ) (f1 + f2 + f3 + f4 …..+ fn ) = 0 ↓ F12 + F22 + F32 + F42 …...+ Fn2= f12 + f22 + f32 + f42 …..+ fn2 + n ·d2 ↓ F12 + F22 + F32 + F42 …...+ Fn2 > f12 + f22 + f32 + f42 …..+ fn2

Diese Tatsache nutzen wir zur Lösung des folgenden Problems:

Die in der Abb. 1 dargestellten Punkte sollten nach theoretischen Überlegungen auf einer Geraden liegen. Infolge von Messfehlern ist dies jedoch nicht der Fall.

Es wird eine Methode gesucht, nach der die von der Theorie vorausgesagte Gerade y = m· x + t möglichst genau bestimmt werden kann.

Eine falsche Wahl von m und t hätte zur Folge, dass die Abweichungen von der Geraden mit einem systematischen Fehler behaftet sind, und dass dementsprechend deren Varianz größer ist als die der zufälligen Abweichungen.

Der am Seitenanfang formulierte Satz gibt Anlass zu folgendem Vorgehen:

Die Variablen t und m in der Geradengleichung y = m· x + t werden so bestimmt , dass die Summe aus den Quadraten der Abweichungen ε1, ε2 ….. der Messpunkte minimal ist (siehe Abb. 2).

Σε2 = Minimum

Eine solche Gerade heißt Ausgleichsgerade.

Abb. 1 | Abb. 2

Nach Wahl des Unterprogramms „Mathe._Ausgleichsgerade“ im Progamm „Mathe.-Physik“ kann zu gegebenen Messpunkten eine solche Ausgleichsgerade bestimmt werden.