Geometrische Eigenschaften von Parabeln und Hyperbeln

Parabel

Abb. 1 | Die Parabel ist durch folgende Eigenschaft definiert: Zu einer Parabel gibt es einen Punkte B (Brennpunkt) und eine Gerade g, deren Abstände zu einem willkürlich gewählten Parabelpunkt P übereinstimmen. K- r · cos φ = r r = K / (1 + cosφ) r = K / (1 + ε · cosφ); ε = 1
Abb. 2 | „Brennpunkt“ als Bezeichnung des Punktes B ist auch hier gerechtfertigt. Ein spiegelndes Band auf einer Parabel reflektiert einen parallel zur Symmetrieachse einfallenden Lichtstrahl zum Brennpunkt B hin ( siehe Abb. 2).

Gleichung für die x- und y-Koordinaten einer Parabel

Hperbel

Abb. 3 | Die Hyperbel ist durch folgende Eigenschaft definiert: Die Punkte der Hyperbel haben zu zwei gegebenen Punkten B1 und B2 Abstände, welche eine konstante Differenz bilden (siehe Abb. 3 ). Mit e benennen wir den halben Abstand zwischen den Punkte B1 und B2 und mit a die Hälfte der genannten konstanten Differenz (siehe Abb.4). Die Hyperbel besteht aus zwei Teilen.
Abb. 4 | (2·a + r)2 = r2 + 4·e2 – 4·e·r · cos φ 4 · a2 + r2 + 4 · a · r = r2 + 4·e2 - 4·e·r · cos φ e2 - a2 = a · r + e·r · cos φ → r = (e2 - a2 ) /( a + e · cos φ) (e2 - a2 )/ a = K; e/a = ε e > a → |ε| > 1 → r = K /( 1 + ε · cos φ)
Abb. 5 | Die Beiden Punkte B1 und B2 heißen Brennpunkte der Hyperbel. Der Name Brennpunkt für B1 und B2 passt hier wieder aus folgendem Grund: Ein spiegelndes Band auf einer Hyperbel reflektiert von einem Brennpunkt ausgehendes Licht so, dass man den Eindruck hat, die reflektierten Lichtstrahlen kämen vom anderen Brennpunkt. Es entsteht ein virtuelles Bild des einen Brennpunkts am Ort des anderen Brennpunkts (siehe Abb. 5).

Gleichung für die x- und y-Koordinaten einer Hyperbel