2.3 Prüfung und Beweis einer Vermutung

Vermutungen müssen bewiesen oder auf Übereinstimmung mit der Wirklichkeit geprüft werden. Manchmal besteht eine Prüfung in einigen Messungen, sie kann aber auch so sein, wie dies im Folgenden beschrieben ist.

Es werden Experimente mit dem Gegenstand der Vermutung erdacht und deren Verlauf unter Berücksichtigung der Vermutung überlegt. Ist ein bestimmtes nachprüfbares Verhalten nur bei der Gültigkeit der Vermutung zu erwarten, dann wird nachgeforscht, ob die Erwartung der Wirklichkeit entspricht (siehe Beispiele).

1. Beispiel:

Es wird vermutet, dass ein Gas aus vielen kleinen Teilchen besteht. Als Experiment könnte man hier die Trübung des Gases durch Rauch erwägen. Die Rauchteilchen werden nach der gegebenen Vermutung infolge immer wiederkehrender Zusammenstöße mit Gasteilchen zittern müssen. Dieser Sachverhalt ist nachgewiesen und dient als Begründung für die Vermutung.

2. Beispiel

Es wird vermutet, dass auf einem ungeladenen Körper beide Arten von Elektrizität in gleichen Mengen vorhanden sind. Ein mögliches Experiment mit einem ungeladenen Körper ist seine Annäherung an einen geladenen Hartgummistab. Nach der geäußerten Vermutung ist dann eine Trennung der positiven und negativen Körperladungen zu erwarten.

Diese Trennung ist nachweisbar (Influenz).

Die hier gegebenen Begründungen sind hinsichtlich ihrer Überzeugungskraft nicht mit einem Beweis vergleichbar. Bei einem Beweis wird aus den gegebenen Voraussetzungen unter Nutzung von anerkannten Gesetzen die Behauptung (Vermutung) gefolgert. Nach den Begründungen in den letzten Beispielen kann anhand der experimentellen Befunde nicht mit Sicherheit auf die Vermutungen geschlossen werden.

So kann z.B. das Zittern eines Rauchteilchens neben stoßenden Gaspartikeln auch andere Ursachen haben.

Zum Beweisen sind die Methoden anzuwenden, die im Kapitel „Deduktive Lösung einer Aufgabe“ beschrieben wurden. Hier muss zusätzlich darauf aufmerksam gemacht, dass bei einem Beweis nicht nur aus den Voraussetzungen, sondern auch aus den Behauptungen Folgerungen gezogen werden. So werden gleichwertige Behauptungen gefunden, zu denen sich manchmal eher erfolgversprechende Gedanken einstellen.

1.Beispiel:

Abb. 1

Voraussetzung:

Um einen Punkt der Geraden AB ist ein Kreis so gezeichnet, dass seine beiden Schnittpunkte P1 und P2 die Strecke [AB] harmonisch teilen.

Behauptung (Vermutung): Nicht nur die Punkte P1 und P2, sondern alle Kreispunkte P stimmen im Verhältnis ihrer Entfernungen zu den Punkten A und B überein.

Satz des Apollonius

Beweis mit Hilfe des Strahlensatzes

Aus der Behauptung folgt:

1. Das Dreieck BCP ist gleichschenklig (siehe Abb. 2).

2. Die nach dem Satz des Thales zu [BC] rechtwinklig verlaufende Strecke [PP2] halbiert [BC] ( siehe Abb. 3).

3. Die Parallele zu PP2 durch den Punkt C schneidet AB in einem Punkt D, der von P2 genauso weit entfernt ist wie B (siehe Abb. 4).

Abb. 2 | Abb. 3
| Die letzte Aussage ist mit dem Strahlensatz leicht beweisbar. Da alle Folgerungen umkehrbar sind, kann von der letzten Aussage auf die anfängliche Behauptung geschlossen werden.
Abb. 4 |

Bei Beweisführungen ist oft von notwendigen und hinreichenden Bedingungen einer Behauptung die Rede. Eine Folgerung aus einer Behauptung heißt notwendige Bedingung, trifft sie nicht zu, dann ist die Behauptung falsch. Hinreichend wird eine Bedingung dann genannt, wenn aus ihr die Behauptung folgt. Eine notwendige Bedingung muss nicht hinreichend und eine hinreichende Bedingung muss nicht notwendig sein.

2. Beispiel:

Anhand einer Tabelle wurde für S = 12 + 22 + 32 + 42 ....... + n2 die Gleichung

S = (1/6)· n·(n+1) ·(2·n + 1) gefunden. Sie soll nun bewiesen werden.

Folgerung aus der Gleichung:

(1/6)· n·(n+1) ·(2·n + 1) + (n+1)2 = (1/6) · N·(N+1) ·(2·N + 1); N = (n+1) !

Ist die letzte Gleichung bewiesen, dann kann gesagt werden, die Behauptung stimmt für N = n+1, wenn sie für n richtig ist.

Dies ist eine notwendige Bedingung für die Behauptung. Unter ihr kann die Behauptung für n > 0 aber nur dann als bewiesen gelten, wenn sie für n = 1 richtig ist.

In einem solchen Fall kann gesagt werden, die Behauptung stimmt für n = 2, weil sie für n = 1 zutrifft und sie stimmt ebenfalls für n = 3, weil sie für n =2 richtig ist. Diese Schlussweise von n auf N = n+1 kann bis zu jedem beliebig großen n fortgesetzt werden.

Für n =1 trifft die Behauptung zu: S = 12 ; (1/6)· n·(n+1) ·(2·n + 1) = 1

Zum Beweis muss somit nur noch gezeigt werden, dass die Gleichung (1/6)· n·(n+1) ·(2·n + 1) + (n+1)2 = (1/6) · N·(N+1) ·(2·N + 1) gilt.

Diese Gleichung ist richtig, denn man erhält zwei gleiche Terme, wenn man für N die Summe n+1 einsetzt und dann den linken und den rechten Term ausmultipliziert.

Dieser Schluss von n auf n+1 ist in der Mathematik immer dann üblich, wenn eine Behauptung für eine bestimmte ganze Zahl n richtig ist und gezeigt werden soll, dass sie auch für ganze Zahlen N> n gilt.

3. Beispiel:

Gedankenexperimente können für einen Beweis sehr wichtig sein, dies wird an diesem letzten Beispiel deutlich gemacht. Es solle bewiesen werden, dass der Wasserdruck unabhängig von der Orientierung der Angriffsfläche ist. In Gedanken wird in ein Wasserbecken ein gebogenes Glasrohr eingetaucht, dessen eines Ende mit einem beweglichen Kolben (Querschnitt A ) abgeschlossen ist. Die Kraft F des Wassers auf diesen Kolben gleicht der Gegenkraft, die aufgebracht werden muss, um den Kolben in seiner Stellung zu halten. Dieser Kolben wird bis zum Ende des Rohrs um ein kleines Stück Δx gegen das Wasser verschoben, wobei er eine geringe Wassermenge mit der Masse m verdrängt. Während die Arbeit W = F · Δx verrichtet wird, steigt der Wasserspiegel geringfügig an, wobei die potentielle Energie des Wassers um m·g·h zunimmt.

Abb. 5

F · Δx = m ·g · h

F · Δx = m ·g · h ; m = A ·Δx · ρ (ρ: Dichte des Wassers)

↓

F · Δx = A ·Δx · ρ ·g · h → p = F/A = ρ ·g · h

Glauben und vermuten: Der Unterschied