1.11.4 Berechnung der Trägheitskräfte in einem rotierenden System mit Hilfe der Differentialrechnung

Wir stellen uns eine rotierende Ebene mit einem auf ihr festgelegten x’, y’- Koordinatensystem vor. Der Drehpunkt sei der 0-Punkt des Koordinatensystems (siehe Abb. 1). Zum Zeitpunkt t = 0 stimme das mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotierende x’, y’-System S’ mit einem ruhenden x, y – System S überein. Zu einem späteren Zeitpunkt bilde die x’ –Achse mit der x-Achse den Winkel α = ω·t. Ein Massepunkt P mit der Masse m hat in S die Koordinaten x, y und in S’ die Koordinaten x’, y’ .

Abb. 1

F ist die auf P wirkende Kraft. Ihre zu S gehörenden Koordinaten sind Fx = m · d2x /dt2 und F y = m · d2y /dt2 ( mit d2x/dt2 und d2y/dt2 werden die Ableitungen von dx/dt und dx/dt bezeichnet ) . Ein Beobachter in S’ sieht P unter der Kraft F’ mit den Koordinaten Fx’ = m · d2x’/dt2 und F y’ = m · d2y’/dt2 . Da die zeitlichen Ableitungen der x , y - Koordinaten nicht den zeitlichen Ableitungen von x’ , y’ - Koordinaten gleichen, sind die Vektoren F und F’ verschieden. Ein Beobachter im System S’ macht für diesen Unterschied Kräfte verantwortlich, die neben F auf P wirken. Zur Berechnung dieser Vektordifferenz müssen Gleichungen mit d2x’ /dt2 und d2y’ /dt2 einerseits und d2x /dt2 und d2y /dt2 andererseits hergeleitet werden. Voraussetzung hierfür sind Gleichungen zwischen x' , y' , x und y. Die x’- und y’- Koordinaten des Punktes P erhält man durch Projektion des Ortsvektors {x; y} auf die x’- und die y’-Achse. Zu ihrer Berechnung müssen die Skalarprodukte des Ortsvektors {x; y} mit den in x’ und y’ weisenden Einheitsvektoren {cos(α); sin(α)} und {sin(α); - cos(α)} gebildet werden.

x’ = {cos(α); sin(α)} · {x; y} = x · cos(ω · t) + y· sin(ω · t)

y’ = {-sin(α); cos(α)} · {x; y} = -x · sin(ω · t) + y· cos(ω · t)

Für alle Vektoren gelten entsprechende Transformationsgleichungen.

Hat z.B. ein Kraftvektor F im x,y- System die Koordinaten F1 und F2 , dann gilt für die Koordinaten F’1 und F’2 im x’,y’-System:

F’1 = F1 · cos(ω · t) + F2· sin(ω · t)

F’2 = - F1 · sin(ω · t) + F2 · cos(ω · t)

Unter Anwendung der für die Differentiation gültigen Produktregel auf die für x’ und y’ geltenden Transformationsgleichungen erhalten wir Gleichungen mit den zweiten Ableitungen von x’, y’, x und y:

dx’/dt = dx/dt · cos(ω·t) – x·ω · sin(ω· t) + dy/dt · sin(ω·t) + y· ω · cos(ω·t)

dx’/dt = dx/dt · cos(ω·t) + dy/dt · sin(ω·t) + ω · [-x · sin(ω · t)+ y· cos(ω · t)]

unter Berücksichtigung von

[-x · sin(ω · t)+ y· cos(ω · t)] = y’

folgt:

→ dx’/dt = dx/dt · cos(ω·t) + dy/dt · sin(ω·t) + ω · y’

dy’/dt = - dx/dt · sin(ω·t) - x·ω · cos(ω· t) + dy/dt · cos(ω·t) - y· ω · sin(ω·t)

dy’/dt = - dx/dt · sin(ω·t) + dy/dt · cos(ω·t) - ω ·[ x · cos(ω · t) + y· sin(ω · t)]

unter Berücksichtigung von

x · cos(ω · t) + y· sin(ω · t) = x’

folgt:

→ dy’/dt = -dx/dt · sin(ω·t) + dy/dt · cos(ω·t) - ω ·x’

d2x’/dt2 = d2x/dt2 · cos(ω·t) – dx/dt ·ω · sin(ω·t) + d2y/dt2 · sin(ω·t) + dy/dt · ω · cos(ω · t) + ω · dy’/dt

d2x’/dt2 = d2x/dt2 · cos(ω·t) + d2y/dt2 · sin(ω·t) - ω · [dx/dt · sin(ω·t) - dy/dt · cos(ω · t) ] + ω · dy’/dt

unter Berücksichtigung von

dy’/dt = -dx/dt · sin(ω·t) + dy/dt · cos(ω·t) - ω ·x’ → dx/dt · sin(ω·t) - dy/dt · cos(ω · t) = -dy’/dt - ω ·x’

folgt:

→ d2x’/dt2 = d2x/dt2 · cos(ω·t) + d2y/dt2 · sin(ω·t) + 2 · ω · dy’/dt + ω2 · x’

d2y’/dt2 = - d2x/dt2 · sin(ω·t) - dx/dt ·ω · cos(ω·t) + d2y/dt2 · cos(ω·t) - dy/dt · ω · sin(ω · t) - ω · dx’/dt

d2y’/dt2 = -d2x/dt2 · sin(ω·t) + d2y/dt2 · cos(ω·t) - ω · [dx/dt · cos(ω·t) + dy/dt · sin(ω·t)] - ω · dx’/dt

unter Berücksichtigung von

dx’/dt = dx/dt · cos(ω·t) + dy/dt · sin(ω·t) + ω · y’ → dx/dt · cos(ω·t) + dy/dt · sin(ω·t) = dx’/dt - ω· y’

folgt:

→ d2y’/dt2 = d2x/dt2 · sin(ω·t) - d2y/dt2 · cos(ω·t) - 2· ω · dx’/dt + ω2 · y’

Für die Koordinaten der Kraft F’ erhalten wir demnach:

F’1 = [m · d2x/dt2 · cos(ω·t) + m · d2y/dt2 · sin(ω·t)] + 2 · m· ω · dy’/dt + m·ω2 · x’

F’1 = [F1 · cos(ω·t) + F2 · sin(ω·t)] + 2 · m· ω · dy’/dt + m·ω2 · x’

F’2 = [m · d2x/dt2 · sin(ω·t) - m · d2y/dt2 · cos(ω·t)] - 2·m · ω · dx’/dt + m· ω2 · y’

F’2 = [F1 · sin(ω·t) - F2 · cos(ω·t)] - 2·m · ω · dx’/dt + m· ω2 · y’

[F1 · cos(ω·t) + F2 · sin(ω·t)] und [F1 · sin(ω·t) - F2 · cos(ω·t)] sind nach den obigen Ausführungen die Koordinaten, die der wahren Kraft F im System S’ zugeordnet werden.

→ F’ = F + 2 · m · ω ·{ dy’/dt ; - dx’/dt } + m · ω2 · {x’; y’}

Abb. 2

2 · m · ω ·{ dy’/dt ; - dx’/dt } = 2 · m · ω ·{ v’y’ ; - v’x’ } beschreibt die Coroliskraft und m · ω2 · {x’; y’} die Zentrifugalkraft. { dy’/dt ; - dx’/dt} = { v’y’ ; - v’x’ } ist ein Vektor, der durch eine Rechtsdrehung um 90° aus dem Geschwindigkeitsvektor { v’x’ ; v’y’ } entsteht. { v’x’ ; v’y’} steht für den Geschwindigkeitsvektor im System S’. {x’; y’} ist der Ortsvektor von P in S’ mit dem Betrag r. Als Beträge der beiden Trägheitskräfte (Scheinkräfte) erhalten wir: 2 · m · ω ·|v’| und m · ω2 · r.