Registrierung einer Flüssigkeitsschwingung in einem U-Rohr

In Abb. 1 ist ein mit Wasser gefülltes U-Rohr an einem Stab zu sehen, welches oberhalb der Wippe an einem Stab befestigt ist. Schwingt das Wasser, dann wird die Wippe unter einem schwankenden Drehmoment M ein wenig hin –und hergedreht. Ein t-M- Diagramm wird vom Rechner gezeichnet.

Abb. 1

Sagt dieses Drehmoment etwas über die Auslenkung s aus ?

Für das auf das U-Rohr wirkende Moment Mg gilt:

Mg = r1 × m1 · a1 + r2 × m2 · a2 + r3 × m3 · a3

Wir ordnen der Wippe ein Koordinatensystem so zu, dass deren x – Achse auf der Drehachse der Wippe liegt. In diesem Fall sind nur die x-Komponenten der angegebenen Vektoren ≠ 0 .

Auf das U-Rohr wirkt die Wippe mit einem Moment M’ und die Erde mit dem Moment -(m1 – m3 ) · g · b ein. b ist der zur Gewichtskraft (m1 – m3 ) · g gehörende Hebelarm.

Das –Zeichen vor (m1 – m3 ) · g · b zeigt an, dass das zur Erde gehörende Moment der x – Achse entgegengerichtet ist (rechtsdrehend !).

→ x- Koordinate von Mg = M’ + [-(m1 – m3 ) · g · b] → Mg = M’ + (m3 – m1 ) · g · b

Abb. 2 | x- Komponente von r1 × m1 · a1 = -b · m1 · a x- Komponente von r2 × m2 · a2 = h · m2 · a x- Komponente von r3 × m3 · a3 = - b · m3 · a

M’ + (m3 – m1 ) · g · b = -b · m1 · a + h · m2 · a - b · m3 · a

→ M’ = a· [ h · m2 - b · ( m3 + m1 ) ] - (m3 – m1 ) · g · b

Das Moment M des Rohres auf die Wippe ist das Gegenmoment zu M’ (Wechselwirkungsgesetz).

M = - M’

M = a· [ b · ( m3 + m1 ) -h · m2 ] + (m3 – m1 ) · g · b

Wird h so gewählt, dass b · ( m3 + m1 ) - h · m2 = 0 ist, dann gilt : M = (m3 – m1 ) · g · b

(m1 – m3 ) = A · 2 · s ·ρ

A: Querschnitt des Rohrs; ρ: Dichte der Flüssigkeit

s: Auslenkung des Wassers in Bezug auf die Gleichgewichtslage

M = -A · 2 · s ·ρ · g · b (Das Wasser übt mit s >0 ein rechtsdrehendes Moment auf das Rohr aus)

→ M ~ s

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