# Sinus, Kosinus und Tangens

# Nach Eingabe von „42“ und „START“ sehen wir: # Einem an einer Spiralfeder auf und ab schwingenden Gegenstand G kann ein gleichförmig kreisender Zeiger zugeordnet werden, dessen Spitze sich immer auf der Höhe von G befindet.
# Diese Tatsache ermöglicht die Bestimmung des Körperstandortes zu bestimmten Zeitpunkten. # # Wenn z.B. ein Körper mit der Schwingungsweite A = 10 cm und der Schwingungszeit T (Dauer einer Schwingung) zum Zeitpunkt t = 0 nach oben durch die Ruhelage ( x-Achse) schwingt, dann kann der Standort 1/10 T später auf folgende Weise bestimmt werden (siehe Abb. 1): # Ein Zeiger der Länge A wird so in das Koordinatensystem eingezeichnet, dass er mit der x-Achse einen 36°-Winkel bildet ( 36° = 360°/10). Mit dem y-Wert yz der Zeigerspitze erhält man die Auslenkung des schwingenden Körpers. | # # Abb. 1
# Zunächst kann die Auslenkung y z nur anhand einer Zeichnung bestimmt werden. Eine Berechnungsmethode erscheint wünschenswert. Die Abhängigkeit der Auslenkung y z vom Radius r und dem Winkel α soll deshalb untersucht werden. # Nach dem Strahlensatz gilt bei konstantem Winkel: y z ~ r → y z /r = Konstante k. y z /r ist ausschließlich vom Winkel α abhängig. # Dies nur von α abhängige Verhältnis y z / r nennen wir sin α (sprich Sinus von α ). # y z /r = sin α # Nach Eingabe von „126“ und „START“ wird die Abhängigkeit des Terms sin(α) von α graphisch dargestellt. # Der für diese Darstellung gewählte Zeiger ist eine Längeneinheit lang. # Somit gilt in diesem Fall: sin(α) = y z / r = y z / 1 = y z # yz ist der y-Wert der Zeigerspitze.
# # Für den ebenfalls durch α festgelegten Quotienten x z /r schreiben wir cos α (sprich Kosinus von α). # xz /r = cos α # Nach Eingabe von „127“ und „START“ wird die Abhängigkeit des Terms cos(α) von α graphisch dargestellt. # Der für diese Darstellung gewählte Zeiger ist eine Längeneinheit lang. # Somit gilt in diesem Fall: cos(α) = x z / r = x z / 1 = x z # xz ist der x-Wert der Zeigerspitze. # Die der Kreisbewegung zugeordnete x-Achse ist bei dieser Vorführung nach oben gerichtet. # Beim Vergleich der Darstellungen zu sin α und cos α fällt auf: cos(α-90°) = sin(α) → cos(α) = sin(α+90°)
# # Der Quotient y z / x z trägt den Namen tan α ( sprich Tangens von α ) # y z /x z = tan α # y z /r = sin α; x z /r = cos α → sin α / cos α = tan α # In Abb. 2 ist erkennbar, wie am Einheitskreis ( Kreis mit dem Radius eine Längeneinheit) tan α zu einem Winkel α bestimmt werden kann. # # Abb. 2 # Nach Eingabe von „128“ und „START“ wird tan(α) in Abhängigkeit von α graphisch dargestellt. # Berechnung von sin- cos- und tan- Werten sin , cos und tan als Seiteverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck

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