1.10.3 Massen von Erde, Sonne und Mond

Zur Behandlung der hier gegebenen Aufgaben werden Kreisbahnen vorausgesetzt.

1. Masse der Erde

Für die Erdanziehungskraft F = m· g , die ein kg-Körper an der Erdoberfläche erfährt, können wir schreiben:

F = G · (1kg ·MErde) / r2 ; r = Erdradius = 6370000 m

→ 1 kg ·g = G · (1kg ·MErde) / r2 → MErde = r2 · g /G = 5,98 · 1024 kg

2. Masse der Sonne

Da die Bahn der Erde fast kreisförmig ist, kann für die Anziehungskraft F der Sonne auf die Erde geschrieben werden:

F = MErde · (2 · π / T )2 · r ; 2 · π / T ist die Winkelgeschwindigkeit ω der Erde; T ist die Zeit eines Jahres

F =MErde · ω2 · r ist die zur Bahn gehörende Zentripetalkraft.

→ G · (MSonne · MErde) /r2 = MErde · (2 · π / T )2 · r

MSonne = 4 · π2 · r3 /( T2 · G) = 1,99 · 1030 kg

3. Masse des Mondes

Bei der Bestimmung der Mondmasse muss berücksichtigt werden, dass sich Erde und Mond um einen nahe der Erdoberfläche liegenden gemeinsamen Schwerpunkt mit der Winkelgeschwindigkeit ω drehen (siehe Abb. 1).

Abb. 1

G · MMond · MErde / r2 = MErde · ω2 · rE ; rE + rM = r

MMond · ω2 · rM = MErde · ω2 · rE

→ MMond · rM = MErde · rE

→ r = rE + (MErde / MMond ) · rE

→ r = rE · [ (MMond + MErde ) / MMond ]

Setzt man rE = r · MMond / (MMond + MErde ) in die Gleichung

G · MMond · MErde / r2 = MErde · ω2 · rE ein, dann gelangt man zu:

G · MMond · MErde / r2 = MErde · ω2 · r · MMond / (MMond + MErde )

→ MMond + MErde = ω2 · r3 /G

→ MMond = ω2 · r3 /G - MErde = 7,3 ·1022 kg