3.5.1 Die Transformation von E und B

Es wurde bereits festgestellt, dass ein bewegter Beobachter ein elektromagnetisches Feld anders beschreibt, als ein ruhender Beobachter. Hier sollen nun Transformationsgleichungen hergeleitet werden, welche die Berechnung der Feldstärken im einem System ermöglichen, wenn diese in einem anderen dazu gleichförmig bewegten System bekannt sind.

Wir stellen uns zu diesem Zweck zwei Systeme S und S' vor, die sich mit der Relativgeschwindigkeit v voneinander entfernen. In S herrsche ein elektromagnetisches Feld mit den Feldstärken E und B. Auf eine in S' ruhende Ladung wirkt von S aus gesehen die Kraft F. F setzt sich aus der elektrischen Kraft und der Lorentzkraft zusammen.

Abb. 1 | Fx = q · Ex Fy = q · Ey – q · Bz · v Fz = q · Ez + q · By · v

In S' wird an q die Kraft F' gemessen. Für die Kraft gelten die Transformationsglei chungen mit k 2 = 1 – v 2 / c 2:

Fx = F'x F y = F'y · k → Fz = F'z · k | F'x = q · Ex F'y = (q · Ey - q·Bz · v) / k F'z = (q · Ez + q·By · v) / k

In S' greift F' an einer ruhenden Ladung an und wird deshalb als elektrische Kraft gewertet. Für die Feldstärke E' gelten demgemäss die Gleichungen 1 – 3:

1. E'x = F’x / q = Ex 2. E'y = F’y / q = (Ey - Bz ·v) / k 3. E'z = F’z / q = (Ez + By ·v) / k

Werden die Koordinatensysteme 180° um die z - Achsen gedreht, dann verhält sich S zu S' wie zuvor S' zu S. Wir können unter diesen Bedingungen nach dem Relativitätsprinzip in den Transformationssgleichungen 1-3 die Feldstärken von S' mit den entsprechenden des Systems S vertauschen (siehe 1. Spalte der nachfolgenden Tabelle) .Werden die Koordinatenachsen wieder in ihre ursprüngliche Lage gebracht (Drehung um die z-Achse), dann müssen in den Gleichungen der ersten Spalte die Vorzeichen der x- und y-Komponenten von E und B geändert werden. So erhält man die Gleichungen 4 – 6:

Ex = E'x Ey = (E'y - B'z·v) / k Ez = (E'z + B'y·v) / k | -Ex = -E'x -Ey = (-E'y - B'z·v) / k E z = (E'z - B'y·v) / k | → | 4. Ex = E'x 5. Ey = (E'y + B'z·v) / k 6. Ez = (E'z - B'y·v) / k

Aus den Transformationsgleichungen 1-6 können leicht Transformationsgleichungen für B hergeleitet werden. Ersetzen wir zum Beispiel in der 3. Gleichung E z durch (E'z - B'y·v)/k ( Gleichung 6 !) und lösen nach B y auf, dann finden wir:

B y = (B'y - (v/c 2) ·E'z) / k

In entsprechender Weise muss man vorgehen, wenn weitere Transformationsgleichungen für Bz , B'y und B'z gewünscht werden.

Hinsichtlich der x-Koordinate verhält sich B wie E.

Es gilt: B'x = Bx.

Zur Begründung denken wir uns ein homogenes Magnetfeld dessen B in die x-Richtung weist und eine Ladung q, die aus der Sicht von S' mit der Geschwindigkeit u' quer zur x’-Richtung fliegt.

Ein Beobachter in S' ordnet dieser Ladung die Kraft F' = B'x · q · u' zu.

F' = B'x · q · u' → B'x = F’ / (q · u')

Für einen Beobachter in S gilt:

F = B x · q · u → B x = F / (q · u)

Ein Beobachter in S misst die kleinere Kraft F = F'· k und eine kleinere Geschwindigkeit u = u' · k quer zur x-Richtung.

Bx = F / (q·u) = F' · k/ (q· u'· k) = F' / (q · u') = B'x

In den Gleichungen 7 – 12 sind die Transformationsgleichungen für B zusammengefasst. Die gegenüber stehenden Gleichungen 1-6 sind die zuerst hergeleiteten Gleichungen für die Elektrische Feldstärke E.

7. B x = B'x 8. B y = (B'y - (v/c 2) ·E'z) / k 9. B z = (B'z + (v/c 2)·E'y) / k |  | 4. Ex = E'x 5. Ey = (E'y + B'z·v) / k 6. Ez = (E'z - B'y·v) / k
10. B'x = B x 11. B'y = (B y + (v/c 2)·E z) /k 12. B'z = (B z - (v/c 2)·E y) /k | 1. E'x = Ex 2. E'y = (Ey - Bz ·v) / k 3. E'z = (Ez + By ·v) / k

Aus diesen Transformationsgleichungen können folgende wichtige Schlüsse gezogen werden:

1. Wird eine elektrische Ladung mit der Geschwindigkeit v in x-Richtung bewegt, dann führt sie aus der Sicht des ruhenden Beobachters neben einem elektrischen Feld auch noch ein magnetisches Feld mit sich.

By = -v/c2 · Ez ¸ Bz = v/c2 · Ey

Begründung:

B'y = (B y + (v/c 2)·E z) /k; B'y = 0 → B y = -v/c 2 · E z

B'z = (B z - (v/c 2)·E y) /k; B'z = 0 → B z = v/c 2 · E y

2. Wird ein Magnetfeld (Kraftflussdichte B in z-Richtung) mit der Geschwindigkeit v bewegt, dann nimmt der ruhende Beobachter neben der magnetischen Kraft auch eine elektrische Kraft mit E y = B z · v wahr.

Begründung:

E'y = (Ey - Bz ·v) / k; E'y = 0 → E y = B z · v

Mit Hilfe der Gleichung B y = -v/c 2 · E z kann der Anteil ΔB berechnet werden, den ein kleiner, stromdurchflossener Leiterabschnitt zur Kraftflussdichte B eines Magnetfeldes zusteuert.

Abb. 2 | Bei P wird B bestimmt ΔL: Länge des Leiterabschnitts I: Stromstärke im Leiterabschnitt r: Abstand des Punktes P vom

Der elektrische Strom im Leiterabschnitt der Länge ΔL bewirkt bei P ein auf den Betrachter gerichtetes Δ B für dessen Betrag gilt:

|Δ B| = I· ΔL·µ 0·sinα /(4·π·r 2)

Gesetz von Biot-Savart

Herleitung