Über das Auslaufen einer Badewanne

Eine quaderförmige Badewanne mit dem Querschnitt A = 0,8 m² läuft durch eine Öffnung am Boden mit dem Querschnitt B aus.

B = 10 cm2 = 0,001 m2 Anfängliches Wasservolumen = 0,15 m³.

Abb. 1

1. Mit welcher Geschwindigkeit tritt das Wasser aus dieser Öffnung ?

2. In welcher Zeit wird die Badewanne geleert ?

Diese beiden Fragen können mit Hilfe des Energiesatzes beantwortet werden. Auf die Frage 1 ist schnell eine Antwort gefunden. Wenn eine kleine Wassermenge der Masse m’ ausläuft, dann wird sie an der Oberfläche des Wassers vermisst. Die potentielle Energie des Wassers nimmt um m’·g·x ab (x = Höhe des Wasserspiegels). Das unten austretende Wasser hat die kinetische Energie m’ ·v2 /2 . Nach dem Energieerhaltungssatz gilt:

m’ ·v 2 /2 = m’ · g · x → v = √( 2 · g · x )

Die anfängliche kinetische Energie des Wassers infolge der Sinkgeschwindigkeit ist vernachlässigbar klein. Aus dem Wasservolumen V und dem Querschnitt A der Badewanne kann x errechnet werden.

x ·A = V → x = V/A

v = √( 2 · g · x) → v = √( 2 · g · V/A )

Die 2. Frage soll zunächst mit dem folgenden Rechenprogramm behandelt werden. Dieses Programm zeigt nach seinem Start die Abnahme des Wassers in der Wanne an (siehe Abb. 3).

|V|A|B|h|t|= |0.15|0.8|0.001|0.1|0|

Die zugrunde liegenden Einheiten sind m3 , m2 und Sekunden.

wiederhole bis t>5

_t;V;;10

V =abs( V - wrz(2*9.81*V/A)*h*B)

t = t+h

zurück

Zum Verständnis der 3. Programmzeile ist eine Erläuterung nötig. In dem kleinen Zeitabschnitt h tritt Wasser mit dem Volumen v · h ·B aus der Öffnung aus (siehe Abb. 2). Wenn V das Volumen in der Wanne vor h ist, dann gilt für das Volumen V’ nach h (h = Δt) :

V’ = V - v · h ·B ; v = ( 2 · g · V/ A )½

→ V’ = V – ( 2 · g · V/ A )½ · h · B

Von (V - wrz(2*9.81*V/A)*h*B) wird der Betrag gebildet (abs), damit nicht bei sehr kleinem m infolge von minimalen Rechenfehlern V < 0 wird.

Die Angaben in der Zeile mit den Anfangsbedingungen beziehen sich auf die Einheiten m und s.

Das Programm kann nach „54“ und „START“ ausgeführt werden.

Abb. 2 Abb. 3

In Abb. 3 ist zu sehen, dass eine Wanne mit einem Querschnitt A =0,8 m2 , welche anfangs 0,15 m3 Wasser enthält, in ca. T =156 s durch ein Loch mit dem Querschnitt B = 10 cm2 leer läuft. Das t-V-Diagramm ist ein Parabelabschnitt, was leicht mit „Mathe_Polynome“ festgestellt werden kann.

Anmerkung: Bei der Herleitung wird vorausgesetzt, dass zum Zeitpunkt t = 0 das Wasser schon ausfließt. Wäre die Voraussetzung nicht erfüllt, dann müsste die Sinkgeschwindigkeit bei t = 0 den Wert 0 haben und das zugehörende Wasserstandsdiagramm dementsprechend mit der Neigung 0 beginnen.

Die Parabel in Abb. 3 wird durch die Funktionsgleichung V= f·(t-T)2

Beweis: V nach Δt - V vor Δt = ΔV ≈ – √( 2 · g · V vorΔt / A ) · B · Δt

dV/dt = – √( 2 · g · V / A ) · B → dt/dV = - √(A/( 2 · g· B 2)) · V -½

Auf der Suche nach einer Funktion t(V) mit dt/dV = - √(A/( 2 · g· B 2)) · V -½ finden wir: t = - √(A/( 2 · g· B 2)) · 2 ·V ½ + Konstante C

Bei V = 0 ist t = T . Folglich gilt: C = T

t = - √(A/( 2 · g· B 2)) · 2 ·V ½ + T → (t-T)2 = A/( 2 · g· B 2 ) · 4·V

V = (t-T)2 · g· B 2/ (A · 2) → V = f · (t-T)2, f = g· B 2/ (A · 2)

V 0 = f · T 2 → T = √(V 0 / f) = [ A ·V 0 · 2 / g )]½ / B

Für den hier beschriebenen Fall gilt: f = g· B 2/ (A · 2) = 6,131· 10-6 m³/s 2 → T = 156 s

In der Abb. 4 ist ein Messdiagramm zu sehen, welches von einem Schüler (Adalbert-Stifter-Gymnasium in Passau) im Rahmen einer Facharbeit mit Hilfe der Experimentierwippe aufgenommen wurde. Der Schüler ließ ein an der Schmalseite der Experimentierwippe hängendes, mit Wasser gefülltes zylindrisches Gefäß ( Durchmesser = 8 cm) mit einem Loch im Gefäßbodenboden (Durchmesser 3,2 mm) leer laufen. Die Wippe diente in diesem Fall als elektrische Waage. Dem Diagramm kann die Parabel V = f(t) = 0,067 ml/s2 ·(88 s – t)2 angepasst werden.

Abb. 4

Am Diagramm sind 88 s als Entleerungszeit ablesbar. T = [ A ·V 0 · 2 / g )]½ / B liefert unter den angegebenen Bedingungen den Wert 88,7 s als Entleerungszeit.