Ableitung von y = xn

Beispiel y = x0 : yx = 1, y x+Δx = 1 yx ist der y-Wert, welcher dem Wert x zugeordnet ist. → Δy = yx+Δx - yx = 0 → Δy/Δx = 0 → lim Δy/Δx = 0 ( Δx → 0) → dy/dx = 0 (Ableitung von y = x) | Beispiel y = x1 : yx = x, y x+Δx = x + Δx → Δy = y x+Δx - yx = Δx → Δy/Δx = 1 → lim Δy/Δx = 1 ( Δx → 0) → dy/dx = 1 (Ableitung von y = x)
Beispiel y = x2 : yx = x2 , y x+Δx = (x + Δx )2 → Δy = y x+Δx - yx = (x + Δx )2 - x2 → Δy = x2 + 2 · x · Δx + Δx2 – x2 → Δy = 2 · x · Δx + Δx2 = Δx · (2· x + Δx) → Δy/Δx = (2· x + Δx) → lim Δy/Δx ( Δx → 0) = 2 · x → dy/dx = 2·x (Ableitung von y = x2 ) | Beispiel y = x3 : yx = x3 , y x+Δx = (x + Δx )3 → Δy = y x+Δx - yx = (x + Δx )3 - x3 → Δy = x3 + 3 · x2 · Δx + 3 · x ·Δx2 + Δx3 – x3 → Δy = 3 · x2 · Δx + 3 · x ·Δx2 + Δx3 → Δy = Δx · (3 · x2 + 3 · x ·Δx + Δx2 ) → Δy/Δx = (3 · x2 + 3 · x ·Δx + Δx2 ) → lim Δy/Δx ( Δx → 0) = 3 · x2 → dy/dx = 3·x2 (Ableitung von y = x3 )

Vermutung: y = xn, y’ = dy/dx = n · x n-1

Beweis

Die Ableitung von y = a·f(x)

yx = a · f(x), yx+Δx = a· f(x+Δx)

Δy/Δx = [a· f(x+Δx) - a · f(x)] / Δx = a ·[ f(x+Δx) - f(x)] / Δx

lim Δy/Δx = a · lim ·[ f(x+Δx) - f(x)] / Δx

y’ = a · f ‘(x)

Ableitung einer Summe y = f(x) + g(x)

yx = f(x) + g(x), yx+Δx = f(x+Δx) + g(x+Δx)

Δy/ Δx = [ f(x+Δx) + g(x+Δx) - f(x) - g(x)]/ Δx

Δy/ Δx = [f(x+Δx) – f(x)] /Δx + [ g(x+Δx) - g(x)]/ Δx

lim Δy/ Δx = lim [f(x+Δx) – f(x)] /Δx + lim[ g(x+Δx) - g(x)]/ Δx

f ’(x) = lim [f(x+Δx) – f(x)] /Δx , g’(x) = lim[ g(x+Δx) - g(x)]/ Δx

→ dy/dx = f ’(x) + g’(x)

Die Kettenregel

y = f(u); u = g(x)

y’ = f ’(u) · g’(x) = df(u)/du · du/dx

Bleibt Δ u ≠0, wenn Δx gegen 0 strebt, dann ist der Beweis sehr einfach.

In Diesem Fall gilt: Δy/Δx = Δy/Δu · Δu/Δx

Im Fall Δu = 0 wäre Δy/Δu nicht definiert !

lim (Δ y/Δ x) = limΔy/Δ u · lim Δ u/Δ x = dy/du · du/dx

Wenn Δ u = 0 nicht ausgeschlossen werden kann, dann ist ein etwas aufwendigerer Beweis nötig.

Die von Δu abhängige Differenz Δy/ Δu – dy/du, wir bezeichnen sie mit ρ(Δu), strebt mit kleiner werdendem Δu gegen 0.

Δ y/ Δ u – dy/du = ρ(Δ u)

→ Δ y/ Δ u = dy/du + ρ(Δ u) → Δ y = [dy/du + ρ(Δ u)] · Δ u

→ Δ y/Δ x = [dy/du + ρ(Δ u)] · Δ u/Δ x

→ lim Δ y/Δ x = lim [dy/du + ρ(Δ u)] · lim Δ u/Δ x (Δ x →0)

→ dy/dx = dy/du · du/dx

Produktregel der Differentiation

y = f(x) · g(x)

y x = f(x) · g(x), yx+Δx = f(x+ Δ x) · g(x+Δ x)

Δ y/Δ x = [ f(x+ Δ x) · g(x+Δ x) - f(x) · g(x) ] / Δ x

Δ y/Δ x = [ f(x+ Δ x) · g(x+Δ x) - f(x) · g(x+ Δ x) + f(x) · g(x+ Δ x) - f(x) · g(x) ] / Δ x

Δ y/Δ x = [f(x+ Δ x) - f(x)] / Δ x · g(x+ Δ x) + f(x) · [g(x+ Δ x) - g(x)] / Δ x

lim Δ y/Δ x = lim [f(x+ Δ x) - f(x)] / Δ x · lim g(x+ Δ x) + f(x) · lim [g(x+ Δ x) - g(x)] / Δ x

dy/dx = df(x)/dx · g(x) + f(x) · dg(x) / dx

Quotientenregel

y = f(x)/g(x)

y x = f(x) · g(x), yx+Δx = f(x+ Δx) / g(x+Δx)

Δy/Δx = [ f(x+ Δx) /g(x+Δx) - f(x) / g(x) ] / Δx

Δy/Δx = [f(x+ Δx)·g(x) – f(x)·(g(x+Δx)]/ [g(x+Δx) · g(x) · Δx]

Δy/Δx = [ f(x+ Δx) · g(x) - f(x) · g(x) + f(x) · g(x) - f(x) · g(x+ Δx)) ] / [g(x+Δx) · g(x) · Δx]

Δy/Δx = {[ f(x+ Δx) - f(x) ]/Δx · g(x) - f(x) · [g(x+Δx) - g(x)]/ Δx } / [g(x+Δx) · g(x) ]

lim Δy/Δx = { g(x) · lim [ f(x+ Δx) - f(x) ]/Δx - f(x) · lim[g(x+Δx) - g(x)]/ Δx } / [g(x) · g(x) ]

dy/dx = [df(x)/dx · g(x) - f(x) · dg(x) / dx]/ g(x)2