Hauptträgheitsachsen
Abb. 1 | Abb. 2 | Abb. 3
Bei Rotation nach Abb. 1 hat L die Richtung von ω . Dies ist bei der Rotation nach der Abb. 2 nicht der Fall. Sind L und ω gleich gerichtet, dann nennt man die Rotationsachse eine Hauptträgheitsachse. Zu jedem Körper gibt es drei senkrecht zueinander stehende Hauptträgheitsachsen. In der Abb. 3 sind die zu einem Quader gehörenden Hauptträgheitsachsen dargestellt. Werden die Hauptträgheitsachsen als Koordinatenachsen gewählt und sind J 1 , J 2 und J 3 die zu diesen Achsen gehörenden Trägheitsmomente, dann erhält man den Drehimpuls L bei einer Drehung um den Schwerpunkt mit ω = {ω 1 ; ω 2 ; ω 3 } nach L = {J 1 ·ω 1 ; J 2 ·ω 2 ; J 3 · ω 3 }. Zur Berechnung der Drehimpulskomponenten L ω in Richtung von ω wird L mit dem Einheitsvektor e ω in Richtung von ω multipliziert (Skalarprodukt). |L ω | = (J 1 ·ω 1 ·e 1 + J 2 ·ω 2 · e 2 + J 3 · ω 3 · e 3) ω 1 = |ω| · e 1 , ω 2 = |ω| · e 2 , ω 3 = |ω| · e 3 ↓ |L ω | = (J 1 ·e 1 2 + J 2 · e 2 2 + J 3 · e 3 2) · |ω| (J 1 ·e 1 2 + J 2 · e 2 2 + J 3 · e 3 2) ist das zur Rotationsachse gehörende Trägheitsmoment J. J = (J 1 ·e 1 2 + J 2 · e 2 2 + J 3 · e 3 2) → J 1 ·(e 1 / J ½ )2 + J 2 · (e 2 / J ½ )2 + J 3 · (e 3 / J ½ )2 = 1 { e 1 / J ½ ; e 2 / J ½ ; e 3 / J ½ } ist ein Vektor in Richtung von ω mit dem Betrag 1 / J ½ . Wenn wir den Fuß eines solchen Vektors auf den Körperschwerpunkt setzen, dann zeigt er auf einen Punkt mit den Koordinaten x, y und z. Dieser Punkt liegt auf dem Ellipsoid (Trägheitsellipsoid) zu J 1 · x 2 + J 2 · y 2 + J 3 · z 2 = 1 . Die Halbachsen a, b und c dieses Ellipsoids sind a = 1 / J 1 ½ , b = 1 / J 2 ½ und c = 1 / J 3 ½ . Abb. 4 : Trägheitsellipsoid Hier soll nun noch ohne Beweis angemerkt werden, dass L am Punkt {x ; y ;z } senkrecht auf dem Ellipsoid steht.