Berechnung der Feldstärke zwischen zwei geladenen Platten

Es muss daran erinnert werden, dass ein stromdurchflossener Leiter für einen Beobachter B’ elektrisch geladen ist, wenn dieser sich parallel zum Leiter bewegt. Viele lange, eng nebeneinander liegende, parallele Leiter der Länge b, die entlang einer großen Strecke L aufgereiht sind, verhalten sich aus seiner Sicht wie eine geladene Platte , wenn sie alle vom gleichen Strom der Stärke I durchflossen werden (siehe Abb. 1).

Wir denken uns eine bewegte Ladung q, deren Geschwindigkeit v nach Betrag und Richtung mit der Geschwindigkeit der Elektronen in den Leitern übereinstimmt. Auf diese Ladung wirkt eine magnetische Anziehungskraft (Lorentzkraft ). Für ein sie begleitender Beobachter B’ handelt es sich um eine Anziehungskraft auf eine ruhende Ladung q, die auf eine positive Ladung + Q’ der Leiter zurückzuführen ist.

Abb. 1

Wir stellen uns nun eine Spule mit rechteckigem Querschnitt der Länge L und der Breite b vor (siehe Abb. 2). Die Unterseite der Spule gleiche der in Abb.1 dargestellten Anordnung paralleler Leiter. Die Spule verhält sich in Bezug auf B’ wie ein Plattenpaar aus einer positiv geladenen Platte der Ladung +Q’ und einer darüber liegenden Platte mit der Ladung – Q’. Da auch aus der Sicht von B’ die Gesamtladung in der Spule 0 ist, sind die Beträge der beiden Ladungen gleich groß.

Abb. 2

Eine mit der Elektronengeschwindigkeit v fliegende Ladung q erfährt die Lorentzkraft F:

F = B · q · v ; B = μ 0 · n · I/ L

I , B , q und F sind Beträge der zugehörenden Größen.

Für einen Beobachter B’, der q mit der Geschwindigkeit v begleitet, handelt es sich um eine Kraft auf eine ruhende Ladung q, die auf Aufladungen der Spulenoberseite und der Spulenunterseite zurückzuführen sind. Er sieht die Ladung q zwischen einer positiv- und einer dazu parallelen, negativ geladenen Platte. Nach 2.9. misst er eine Kraft F’, die etwas größer ist als die Lorentzkraft F:

F’ = F/k ; k2 = 1 – v2 / c2

und ordnet dieser Kraft die elektrische Feldstärke E’ = F’/q = B · v / k zu.

B = µ0 · (n/L) ·I

↓

E’= µ0 · (n/L) ·I ·v/k

Die aus seiner Sicht für die Kraft maßgebende Plattenladung lässt sich leicht anhand der Spulendaten berechnen. Nach 3.2.1 gilt für die Dichte ρ’ des Ladungsüberschusses in einem Draht auf der Unterseite der Spule aus der Sicht von B’:

ρ’ = ρ· (v/c)2/k; k 2 = l - (v/c)2

ρ: Die Ladungsdichte der bewegten Elektronen aus der Sicht eines ruhenden Beobachters B.

Aus der Sicht von B’ hat ein Leiterstück der Länge b', und des Querschnitts A die überschüssige positive Ladung Q'b:

Q'b = A· b'· ρ ·(v/c)2/k; b' : Breite der Spule aus der Sicht von B’.

b' = b/k; bewegte Strecken parallel zur Bewegungsrichtung sind in Bezug auf den ruhenden Beobachter verkürzt !

Für die gesamte positive Ladung Q’ der n Leiterstücke auf der Spulenunterseite finden wir:

Q’ = A· b'· ρ ·(v/c)2 · n/ k

E’ und Q’ sind erwartungsgemäß proportional.

E’ /Q’ =[ µ 0 · (n/L) ·I ·v/k] / [A· b'· ρ ·(v/c)2 · n/k]

E’/Q’ = µ 0 ·I /[A · L · b’ · ρ ·(v/c 2)]

ρ kann mit Hilfe der Stromstärke berechnet werden. Es gilt aus der Sicht eines ruhenden Beobachters B: ρ = I/( A ·v) Begründung !

E'/Q' = µ 0 / (L·b'/c 2)

L · b’ ist der Flächeninhalt der Spulenunter- bzw. Spulenoberseite aus der Sicht von B’.

→ E’/Q’ = µ 0 · c 2 / (L·b’) → E’ = µ 0 · c 2 · Q’/ (L·b’)

Q’/ (L · b’) beschreibt die Ladung einer Flächeneinheit; dieser Quotient wird Flächenladungsdichte σ’ genannt.

E’ = µ 0 · c 2 · σ’ → E’/σ’ = µ 0 · c 2

Der Kehrwert von µ 0 ·c 2 heißt elektrische Feldkonstante ε 0.

E’ = σ’/ ε 0 → σ’ = ε 0 · E’

Nach dem Relativitätsprinzip muss diese Gleichung auch für die Feldstärke E gelten, die ein ruhenden Beobachter zwischen zwei parallelen Platten mit den Ladungen Q+ und Q- (|Q+| = |Q-|) misst.

E = σ/ ε 0 → σ = ε 0 · E