3.7.1 Der Schwingkreis

Abb. 1 | Abb. 2

Wird der am U-Rohr sichtbare Hahn geöffnet, dann schwingt das Wasser zwischen den beiden Schenkeln hin und her, bis infolge von Reibung die Schwingungsenergie aufgezehrt ist. Mit dem mit Wasser gefüllten U-Rohr ist ein Kondensator vergleichbar. Die beiden Elektroden des Kondensators entsprechen den Schenkeln des U-Rohrs. Werden die beiden Platten eines geladenen Kondensators miteinander leitend verbunden, dann wird ein Ladungsausgleich angestrebt, ähnlich dem Flüssigkeitsausgleich in einem U-Rohr. Es ist daher zu erwarten, dass die Kondensatorladung zwischen den beiden Elektroden hin und her schwingt, sobald die Elektroden leitend verbunden werden. Die Schwingung wird solange anhalten, bis die Schwingungsenergie infolge des ohmschen Leitungswiderstands als Wärme abgegeben ist. Es wird eine gedämpfte Schwingung sein.

Abb. 3

Zum Nachweis einer elektrischen Schwingung wird der oben skizzierte Versuch mit dem ADA- Wandler CASSY-E ( Leybold) durchgeführt. Das Messprogramm „MAuS“ veranlasst eine Spannung von 9 V am Ausgang X des CASSY, was zu einer Aufladung des 2,2 μF-Kondensators führt. Geht an das Programm die Aufforderung zur Zeichnung eines t-U-Diagramms, dann wird zunächst durch das Messprogramm die Spannung am Ausgang X auf 0 gesetzt. Dies ist ein Kurzschluss des Ausgangs X, womit ein direkter Anschluss der 1000 Windungen - Spule mit Eisenkern (L = 0,042 H, R = 21 Ω) an die geerdete Buchse des Messeingangs B gegeben ist. Die Kondensatorladung fließt über die Spule zwischen den beiden Kondensatorelektroden hin und her. Die der Ladung proportionale Kondensatorspannung liegt am Messeingang B des CASSY. Sie wird vom Rechner in Abhängigkeit von der Zeit dargestellt. Das Diagramm zeigt eine gedämpfte elektrische Schwingung. Die Transformatorspule mit 1000 Windungen dient zur Vergrößerung der Schwingungszeit T.

Wenn das Pogramm „MAuS“ eine zwischen 0 V und 5V schwankende Spannung veranlasst, dann erhält man das Diagramm in der Abb. 4. Bei jedem Spannungssprung erfolgt eine gedämpfte Schwingung.

Abb. 4

Abb. 5 zeigt eine Anordnung, die in der Entdeckungszeit elektrischer Schwingungen zum Experimentieren genutzt wurde. Ein Kondensator wird über einen Widerstand R unter einer hohen Spannung U aufgeladen. Bei einer bestimmten Kondensatorspannung wird ein Funken zwischen zwei Kontakten gebildet. Die dabei entstehenden Gasionen machen die Funkenstrecke zu einer leitfähigen Verbindung zwischen den beiden Kondensatoranschlüssen. Es bildet sich eine gedämpfte Schwingung aus. Nach dem Abklingen setzt die nächste Schwingung ein usw..

Abb. 5

Quantitative Behandlung der elektrischen Schwingung

Eine Kombination aus einer Spule und einem Kondensator, wie er in Abb. 6 zu sehen ist, heißt Schwingkreis. Die elektrischen Schwingung, die nach Schließen des Schalters S in diesem Schwingkreis abläuft, soll nun mit einem kleinen Programm dargestellt werden. Zu der für die Berechnung der jeweiligen Kondensatorladung Q notwendigen Gleichung ( unter der Abb. 6) finden wir, wenn wir in Gedanken den Schwingkreis durchlaufen, zunächst vom Punkt 1 zum Punkt 2 und dann durch die Spule wieder zurück zum Punkt 1. Im ersten Schritt durchlaufen wir die Spannung – Q/C und im zweiten Schritt die Spannung I · R. Die Summe der beiden Spannungen ist gleich der Induktionsspannung - L · dI/dt. Q steht für die Ladung auf der unteren Kondensatorplatte.

Abb. 6

-Q/C + I · R = - L · dI/dt

Sind Q und I vor einem kleinen Zeitabschnitt Δt bekannt, dann können die Ladung Q’, die Stromstärke I’ und die Spannung U’ nach Δt berechnet werden. ( Q/C – I · R) = L · ΔI / Δt → ΔI = ( Q/C – I · R) · Δt / L I’ = I + ΔI I’ = I + ( Q/C – I · R) · Δt / L Q’ = Q – I · Δt; U’ = Q’/C Wenn die Spannung nach Δt bekannt ist, dann wird mit den gleichen Rechenschritten die Spannung am Ende des nächsten Δt berechnet usw.. Nach Eingabe von „61“ und „START“ kann das nebenstehende Programm ausgeführt werden. Für R, C und L wurden die Werte des in Abb. 3 dargestellten Schwingkreises genommen. Die Anfangsladung Q ist 2,2 μF · 9V ≈ 0,00002 C. | Anfangsbedingungen |I|Q|t|E|h|C|L|R|=|0|0.00002|0|0.17|0.0001|2.2E-6|0.043|23| h steht für Δt wiederhole bis t>T I = I + (Q/C -I*R)*h/L Q = Q-I*h t = t+h U =Q/C _t;U zurück

Dieses Programm liefert das nachfolgende Diagramm. Die anfängliche Amplitudeabnahme ist geringer als bei dem Messdiagramm in Abb.3.Vermutlich ist dieser Unterschied auf Energieverluste beim Schalten (Änderung der Spannung am Ausgang X von 9 V auf 0 V) zurückzuführen.

Abb. 7

Die Vergrößerung von C oder L führt zu einer Verlängerung der Schwingungszeit T.

Wie hängt T von L und C ab ?

Auf diese Frage wird nun eine Antwort gesucht.

Wir gehen aus von der Gleichung: -Q/C + I · R = - L · dI/dt

Zur Vereinfachung setzen wir R = 0. → Q/C = L · dI/dt

Für R = 0 ist eine ungedämpfte Schwingung mit Q = Q0 · sin(ω·t) mit ω= 2· π / T zu erwarten.

Q = Q0 · sin(ω·t) ; I = -dQ/dt ( das – Zeichen zeigt die Ladungsabnahme an !)

↓

I = -Q 0 · ω· cos(ω·t) → dI/dt = Q 0 · ω 2 · sin(ω·t)

Die beiden Terme für Q und dI/dt werden in die Gleichung Q/C = L · dI/dt eingesetzt.

Q 0 · sin(ω·t) / C = L · Q 0 · ω 2 · sin(ω·t) → 1/C = L · ω 2 → ω 2 = 1/ (L· C)

Unter Berücksichtigung von ω 2 = (2·π/ T) 2 erhalten wir: T 2 = (2·π)2 · (L· C)

Thomsonsche Schwingungsgleichung

Abschließend soll nun noch der in Abb. 4 dargestellte Vorgang mit einem Programm beschrieben werden.

Abb. 8

Die Spannung U1;2 schwankt zwischen den Werten 0 V und 5 V hin und her.

Es gilt: U1; 2 =(1 +ung(t*2/T))*A; A = 5 V

T ist die Periodendauer des U1;2-Signals.

Die Funktion ung(x) ist – 1, wenn die Vorkommazahl ungerade ist. Andernfalls ist

ung(x) = 0.

U 1; 2 – Q/C + I· R = - L· dI/dt → Δ I = (Q/C -I·R – U 1; 2 )·Δt/L

I(nach Δt) = I(vor Δt) +(Q/C -I·R – U1; 2 )·Δt/L

Im obigen Programm wird die erste Zeile mit - (1 +ung(t*2/T))*A ergänzt.

I = I + (Q/C -I*R- (1 +ung(t*2/T))*A )*h/L

Das so geänderte Programm kann mit „202“ und „START“ aufgerufen werden.

Nach seinem Start entsteht t-U-Diagramm, wie es in Abb. 9 zu sehen ist.

Abb. 9