4.3 Fehler von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten

4.3.1 Die Varianz einer Summe und einer Differenz

Abb. 1

Wir nehmen an, dass die Varianz einer Summe gleich der Summe aus den Varianzen der Summanden ist und schreiben demgemäß:

σU’2 = 5 · σa2

Hier wird vorausgesetzt, dass die Varianz einer Summe gleich der Summe aus den Varianzen der Summanden ist (die Summanden können auch negativ sein !).

σ a’±b’2 = σ a’2 + σ b’2

Zur Bestimmung des Umfangs U eines Fünfecks (siehe Abb. 1) werden die Seiten a, b, c, d und e gemessen und anschließend die Summe U’ aus diesen Messwerten a’, b’, c’, d’, e’ zu den Seiten a, b, c, d, und e gebildet. Wenn alle 5 Seiten mit der gleichen Genauigkeit gemessen werden, dann ist

σa’2 = σb’2 = σc’2 = σd’2 = σe’2

Wir nehmen an, dass die Varianz einer Summe gleich der Summe aus den Varianzen der Summanden ist und schreiben demgemäß:

σU’2 = 5 · σa2

Hier wird vorausgesetzt, dass die Varianz einer Summe gleich der Summe aus den Varianzen der Summanden ist (die Summanden können auch negativ sein !).

σ a’±b’2 = σ a’2 + σ b’2

Beweis: a’ und b’ sind Messwerte von a und b mit den Fehlern fa’ und fb’. (fa’ ± fb’)2 = fa’2 + fb’2 ± 2 · fa’ · fb’ Die Summe aller Produkte 2 · fa’ · fb’ ist 0, denn ein bestimmter Fehler fa’ trifft in einem Produkt mit einem bestimmten Fehler fb’ genauso häufig zusammen wie mit dem Fehler – fb’. Somit kann geschrieben werden: Σ(fa’ ± fb’)2 = Σ fa’2 + Σ fb’2. Der Mittelwert von (fa’ ± fb’)2 gleicht der Summe aus den Mittelwerten von fa’2 und fb’2. → σa’±b’2 = σa’2 + σb’2

4.3.2 Die Varianz eines Produktes und eines Quotienten

Bei Produkten a’· b’ und Quotienten a’/b’ ist die Berechnung der zugehörigen Varianzen σ a’·b’2 und σ a’/b’2 aus σ a’2 und σ b’2 nicht so einfach, weil die Fehler dieser Terme nicht durch Addition bzw. Subtraktion aus den Fehlern ihrer Glieder berechnet werden können. Ein einfaches Additions– bzw. Subtraktionsgesetz gilt jedoch für Fehler der Verhältnisse a* = a’/a und b* = b’/b (a und b sind die wahren Größenwerte).

Beweis der Behauptung: fa*·b* = (1 + fa*) · (1 + fb* ) – 1 = fa* + fb* + fa* · fb* Die Fehler sind Abweichungen von 1 ! fa* · fb* ist gegenüber fa* + fb* vernachlässigbar klein. → fa*·b* ≈ fa* + fb* fa*/ b* = (1 + fa*) / (1 + fb* ) – 1 = ( fa* - fb* ) / (1 - fb*) fb* ist gegenüber 1 vernachlässigbar. → fa*/ b* ≈ fa* - fb* → σa*·b*2 = σa*2 + σb*2 ; σa*/b* 2 = σa*2 + σb*2

Wie soll nun σa’·b’2 berechnet werden, wenn σa’2 und σb’2 bekannt sind ?

σa*2 = σa’2/ a2 ; σb*2 = σb’2/ b2 , σa*·b*2 = σa’·b’2 / (a2 · b2)

→ σa’·b’2 /( a2 · b2) = (σa’2/ a2 + σb’2/ b2) → σa’·b’2 = (σa’2/ a2 + σb’2/ b2) · ( a2 · b2)

Zur Berechnung von σa’·b’2 werden für a und b die Mittelwerte von a’ und b’ eingesetzt.