Herleitung der Gleichung Q = Io· T/(2·π)

Damit diese Gleichung mit den schulüblichen Kenntnissen der Mechanik hergeleitet werden kann, wird die Versuchsanordnung in Gedanken abgewandelt. Nach Abb. 1 hängt der Magnet an einer Spiralfeder ( Federkonstante D) in der Spule mit 20000 Windungen. Eine Kondensatorentladung verursacht einen kurzzeitigen Kraftstoß und erteilt damit dem Magneten einen Impuls p = m·vo, je nach Polung nach oben oder nach unten. Der Magnet beginnt zu schwingen. Für die Elongation der Schwingungen gilt:

Der Impuls m·vo ist der Ladung Q proportional.

Begründung:

Kraft F ~ Stromstärke I → F = k· I (k: Proportionalitätskonstante)

F = dp/dt; I = dQ/dt → dp/dt = k· I = k·dQ/dt

Nach beidseitige Integration erhalten wir: p = k·Q

Abb. 1

Für die Schwingungsamplitude A gilt : A ~ p und folglich auch A ~ Q

Begründung:

s =A·sin(ω·t) ; ω = 2·π/ T. Mit der ersten Ableitung erhält man v: v = A · ω ·cos(ω·t)

Hieraus ergibt sich für die Maximalgeschwindigkeit beim Anstoß: vo = A· ω und somit auch p = A · m · ω

p = A · m · ω ; p = k·Q → Q = A·ω·m/k

Mit ω2 = D/m ↔ m = D/ω2 erhalten wir: Q = A·D/(k·ω)

A·D beschreibt die Kraft, die erforderlich ist, den Magneten um A aus der Ruhelage zu ziehen.

Bestimmung der Proportionalitätskonstanten k:

Ein Strom der Stärke Io fließe durch die Spule und bewirke den Ausschlag A.

F = D·A = k·Io → k = D·A/Io

Wir setzen k = D·A/Io in die Gleichung Q = A·D/(k·ω) ein.

→ Q = Io/ω = Io· T/(2·π) q.e.d.