10.4 Newtons Herleitung des Gravitationsgesetzes

Abb. 1

Als Planetenbahn wird eine Kreisbahn vorausgesetzt.

Die Kraft der Sonne auf den Planeten ist in diesem Fall die Zentripetalkraft:

F = mP · v2 /r.

mP : Masse des Planeten, v: Geschwindigkeit des Planeten

v = 2 ·π · r / T → F = mP · 4 ·π2 · r / T2

T ist unerwünscht, denn es wird eine Gleichung gesucht, die F ausschließlich in seiner Abhängigkeit von r und den Massen mSonne und mPlanet zeigt. Mit Hilfe des 3.Keplerschen Gesetzes kann T durch r ersetzt werden.

r3/ T2 = Konstante = K → T2 = r3 /K → F = mP · 4 ·π2 · K /r2

Hieraus schließen wir:

1.) F ~ 1/r2

2.) F ~ mP

3.) Wenn die Kraft der Sonne auf den Planeten der Planetenmasse proportional ist, dann muss nach dem Wechselwirkungsgesetz die gleich große Kraft des Planeten auf die Sonne der Sonnenmasse mS proportional sein.

F ~ mP , F ~ mS, F ~ 1/r2 → F ~ mP · mS / r2

Newton hat diese Proportionalitätsgleichung in der hier beschriebenen Weise hergeleitet. Die Gravitationskonstante blieb ihm unbekannt