2.1 Auswertung von Tabellen

2.1.1 Von der Wertetabelle zum Naturgesetz

In Abb. 1 sehen wir einen zunächst ruhenden Experimentierwagen mit der Masse 0,1 kg, der durch den Luftstrom eines Föhnes angetrieben wird. Strecken s, die der Wagen während verschiedener Zeiten t nach dem Start unter gleich bleibenden Bedingungen zurücklegt, sind zusammen mit den zugehörenden Zeiten t in der folgenden Tabelle eingetragen.

Abb. 1

t | s | s/t | s/t2
0,35 s 0,73 s 0,98 s 1,25 s 1,48 s 1,71 s 1,98 s 2,23 s | 1,4 cm 5 cm 8,6 cm 14 cm 19,3 cm 26 cm 35 cm 45 cm | 4 cm/s 6,8 cm/s 8,77 cm/s 11,2 cm/s 13 cm/s 15,2 cm/s 17,7 cm/s 20,2 cm/s | 11,42 cm/s2 9,38 cm/s2 8,95 cm/s2 8,96 cm/s2 8,81 cm/s2 8,89 cm/s2 8,92 cm/s2 9,05 cm/s2

Es sei die Aufgabe gestellt, eine Beziehung zwischen der Zeit t und dem in dieser Zeit zurückgelegten Weg s zu finden, so dass eine Berechnung des Weges anhand der zugehörenden Zeit möglich ist. Zu diesem Zweck wird ein mathematischer Term mit t und s gesucht, der für alle Zeit-Weg-Paare den gleichen Wert liefert. Es liegt nahe s/t auf Konstanz zu prüfen. An der Tabelle ist zu erkennen, dass s/t keinen konstanten Wert liefert. Statt s/t wird daraufhin der Term (s/t) / t = s/t2 untersucht. Dies führt zum Ergebnis: s/t2 = Konstante K = 8,9 cm/s2. Der zurückgelegte Weg ist demnach dem Quadrat der Zeit proportional. Die geringen Schwankungen in der letzten Spalte sind auf Messfehler zurückzuführen.

Aus s/t2 = 8.9 cm /s2 = k folgt das gesuchte Gesetz s = k · t2

Die Suche nach einem konstanten Term wird oft durch eine grafische Darstellung der Messwerte erleichtert.

Es muss hier gesagt werden, dass eine endliche Zahl von Messwerten niemals die Möglichkeit ausschließt, dass ein induziertes Gesetz nur beschränkt gültig oder sogar falsch ist. Unser Vertrauen in das Gesetz wächst mit der Zahl der Fälle, in denen es sich als zutreffend erweist. Der Naturwissenschaftler muss mit Unsicherheiten leben können. Die in der letzten Tabelle unter s/t stehenden Werte sind mittlere Geschwindigkeiten während der Zeit t. Diese Geschwindigkeiten sind halb so groß wie die augenblicklichen Geschwindigkeiten zum Zeitpunkt t. In der nächsten Tabelle sind diese augenblicklichen Geschwindigkeiten eingetragen, die der Wagen nach dem Start innerhalb der Zeit t erreicht.

t | v | v/t = a
0,35 s 0,73 s 0,98 s 1,25 s 1,48 s 1,71 s 1,98 s 2,23 s | 0,08 m/s 0,136 m/s 0,1754 m/s 0, 224 m/s 0,26 m/s 0, 304 m/s 0,354 m/s 0,404 m/s | 0,228 m/s2 0,186 m/s2 0,179 m/s2 0,179 m/s2 0,176 m/s2 0,178 m/s2 0,179 m/s2 0,181 m/s2

In der dritten Spalte ist zu sehen, dass v/t konstant ist. Anhand des konstanten Terms v/t wird hier eine neue Größe definiert, nämlich die Beschleunigung a. Da die Bewegung in jedem Fall mit v = 0 und t = 0 beginnt, beschreibt v/t = a die Geschwindigkeitszunahme in einer Sekunde. Häufig wird wie hier ein unter bestimmten Bedingungen konstant bleibender Terme als neue physikalischen Größe eingeführt. Nach der Entdeckung eines konstant bleibenden Terms wird nach Größen geschaut, die bei der Untersuchung nicht geändert wurden und die möglicherweise einen Einfluss auf diesen Term haben. Es ist davon auszugehen, dass in dem hier beschriebenen Fall die Beschleunigung a von der Masse m des Wagens abhängt. Die nächste Tabelle informiert über Beschleunigungen, die unter den oben beschriebenen Versuchsbedingungen an Wagen verschiedener Masse gemessen wurden.

m | a | m· a = F
0,1 kg 0,2 kg 0,3 kg | 0,18 m/s2 0,09 m/s2 0,059 m/s2 | 0,018 kg · m/s2 0,018 kg · m/s2 0,0177 kg · m/s2

Das Produkt m· a erweist sich hier als konstant. Es ist nur von der Kraft des Windes abhängig und somit als Maß für die Kraft F geeignet. Ist ein Term wie hier in eindeutiger Weise von einer Versuchsbedingung abhängig, dann ist er ein Kennzeichen dieser Bedingung. Will man ein Maß für eine zunächst nur mit den Worten groß und klein beschreibbare Größe X finden, dann ist es manchmal sinnvoll, einen Term mit bekannten Größen zu suchen, der ausschließlich von X abhängt.

Beispiel:

Bei der Definition eines Maßes für die Temperatur T eines Gegenstandes G nutzte man die Tatsache, dass das Produkt aus dem Gasdruck p und dem Gasvolumen V einer bestimmten, in einem Gefäß eingeschlossenen Gasmenge M, die mit G im thermischen Gleichgewicht steht, nur mit der Erwärmung von G größer wird (Boyles Gesetz) .

Somit erschien p·V als Maß für die Temperatur T geeignet.

Für T wird aber nicht p·V sondern ein Term der Form b·p·V genommen (b = Konstante), denn man vereinbarte, der Temperaturunterschied zwischen siedendem Wasser und Schmelzwasser (Wasser mit Eis) solle genau 100 Einheiten betragen. Die Konstante b war nun so zu wählen, dass die Forderung bezüglich des genannten Temperaturunterschieds erfüllt wird.

TEis = b·pE·VE ; Tsiedendes Wasser = b·pS· VS

pE,VE, pS und VS sind die zur Gasmenge gehörenden Drucke und Volumina in Schmelzwasser und siedendem Wasser.

b·pS·VS – b·pE·VE = 100 → b = 100 /( pS·VS - pE·VE ) → T = [ p·V /( pS ·VS – pE ·VE )]· 100

Ohne Einheitsnamen wollte man die Temperatur nicht lassen und so wurde der Temperaturänderung um 1 der Name Kelvin (Abkürzung: K ) gegeben.

↓

T = p·V / ( pS·VS – pE·VE )·100 K

Oft werden zu Gedankenexperimente anhand von Plausibilitätsbetrachtungen Tabellen erdacht. Hierbei kann längst Vergessenes wieder einfallen.

Beispiel:

Wir denken an einen Metalldraht der Länge L, der unter einer Kraft F um ΔL gedehnt werde.

Es stellt sich die Frage:

„Wie hängt Δ L von F ab ?“

Als einfachste Beziehung kommt ΔL / F = Konstante = K1 in Frage.

Wir ändern in Gedanken die Länge des Drahtes.

Frage:

„Wie ändert sich K1 mit der Länge L ?“

Plausible Antwort: K1 / L = Konstante = K2. → ΔL / (F·L) = K2

Begründung: Gleich lange Abschnitte des Drahtes erfahren gleiche Dehnungen. Wir ändern in Gedanken den Querschnitt A des Drahtes.

Frage:

„Wie ändert sich K2 mit dem Drahtquerschnitt A ?“

Plausible Antwort: K2·A = Konstante = K3. → ΔL· A / (F·L) = K3

Begründung: Ersetzt man einen Draht mit dem Querschnitt 2· A durch zwei parallele Drähte mit den Querschnitten A, dann erhält man vermutlich die gleiche Dehnung. Da die Kraft hierbei auf zwei Drähte verteilt wird, folgt: Nach Verdopplung des Querschnitts ist die Dehnung und somit auch K2 nur noch halb so groß. Die nur vom Drahtmaterial abhängige Konstante K3 wird Elastizitätsmodule ε des Materials genannt.

Δ L·A / (F·L) = ε → F = ε·A·Δ L/ L

Nicht nur in der Physik, sondern auch in der Mathematik werden Tabellen zum Auffinden von Gesetzen angelegt.

Beispiel: Es solle ein Term für die Summe S aus den Quadraten der ganzen Zahlen 1 bis n gefunden werden.

S = 12 + 22 + 32 + 42 ....... + n2

n | S | S/n | S/n·6 | [S/n·6]/(n+1) | {[Sn·6]/(n+1)} / (2·n + 1)
1 | 1 | 1 | 6 | 3 | 1
2 | 5 | 2,5 | 15 | 5 | 1
3 | 14 | 14/3 | 28 | 7 | 1
4 | 30 | 30/4 | 45 | 9 | 1
5 | 55 | 11 | 66 | 11 | 1
6 | 91 | 91/6 | 91 | 13 | 1

{[S/n·6]/(n+1)} / (2·n + 1) = 1 → S = (1/6)·n·(n+1)·(2·n + 1)

Die durch Induktion gewonnene Gleichung muss bewiesen werden !

2.1.2 Extrapolation

1. Beispiel:

Es solle die Temperaturzunahme ΔT bestimmt werden, die eine bestimmte Menge Wasser bei einer Energiezufuhr ΔE erfährt. Zur Messung des Wertes ΔT müsste die Energie ΔE schlagartig zugeführt werden, denn andernfalls wird der Messwert durch Wärmeabfluss an die Umgebung verfälscht. Da diese schlagartige Energiezufuhr nicht möglich ist, bestimmt man die Temperaturzunahme bei verschiedenen Erwärmungszeiten t. ΔE hat in jedem Fall den gleichen Wert. Die hierbei ermittelten Werte ΔT werden grafisch in Abhängigkeit von der Erwärmungszeit t dargestellt. Die Fortsetzung des Grafen bei Annäherung an t = 0 wird geschätzt, er weist auf den gesuchten Wert ΔT hin.

2. Beispiel:

Es soll untersucht werden, wie sich der Term a = (1+1/b)b entwickelt, wenn b unendlich groß wird. An der nächsten Tabelle ist dies zu erkennen. a strebt gegen den Grenzwert 2.7182........

b | a =(1+1/b)b
1 | 2.37037037037035
27 | 2.66959397781279
243 | 2.71270967249571
729 | 2.71641977890029
6561 | 2.71807470293284
19683 | 2.71821278041676
59049 | 2.71825881191174