Beweis durch Schluss von n auf n+1.

Wir zeigen, dass die Behauptung für n +1 gilt, wenn sie für n gilt.

Trifft dies zu, dann gilt sie für n = 4 , weil sie für n = 3 zutrifft und sie gilt dann auch für n = 5, weil sie für n = 4 gültig ist usw..

Diese Schlussweise, die wir bis zu jedem beliebigen n fortsetzen können, nennen wir Schluss von n auf n+1.

Bei der Voraussetzung y’ = n×xn-1 im Fall y = xn erwarten wir y’ = (n+1)× xn im Fall y=x(n+1)

yx = xn+1 , yx+Δx = (x + Δx )n+1

→ Δ y = yx+Δx - yx = (x + Δx )n+1 - xn+1 → Δy/Δx = [(x + Δx )n+1 - xn+1 ] / Δx

→ Δy/Δx = [(x + Δx )n · (x + Δx) – xn · x] /Δx = {x · [(x + Δx )n - xn] + Δx · (x + Δx )n } / Δx

→Δy/Δx = {x · [(x + Δx )n - xn] + Δx · (x + Δx )n }/ Δx = x · [(x + Δx )n - xn]/ Δx + (x + Δx )n

→ lim Δy/Δx = lim x · [(x + Δx )n - xn]/ Δx + lim (x + Δx )n

→ lim Δy/Δx = x · lim [(x + Δx )n - xn]/ Δx + lim (x + Δx )n

lim [(x + Δx )n - xn]/ Δx ist die Ableitung von y = xn

→ lim Δy/Δx = x · n · x(n-1) + xn = (n+1) · xn

→ dy/dx = (n+1)·xn