2.15 Das Zwillingsparadoxon

Man denke sich Zwillinge A und B auf der Erde. B steige in eine Rakete und fliege mit 2/3 Lichtgeschwindigkeit durch den Weltraum. Nach einem Jahr komme er wieder nach Hause zu seinem Bruder. Da aus der Sicht von A alle Vorgänge in der Rakete zeitlich gedehnt werden, ist B dann weniger stark gealtert als A.

Man könnte nun folgende als Zwillingsparadoxon bekannte Erklärung abgeben:

A fliegt aus der Sicht von B mit 2/3 Lichtgeschwindigkeit. Was für B gilt muss auch für A gelten. Damit kommt man zu dem unsinnigen Schluss: Jeder der beiden Zwillinge ist biologisch jünger als sein Zwillingsbruder.

Die Aussage „Was für B gilt muss auch für A gelten“ trifft hier nicht zu, denn für B gehen die Uhren auf der Erde erst dann langsamer als die Raketenuhren, wenn er nach dem Beschleunigungsvorgang die Uhren in seiner Rakete synchronisiert. Zunächst sieht B nach dem Start seines Raumschiffs so wie sein Bruder die Raketenuhren in einer langsameren Gangart als die irdischen Uhren. Der Grund hierfür ist die Tatsache, dass die Uhren in der Rakete aus der Sicht von A während des Starts synchron bleiben und deshalb aus der Sicht von B nicht synchronisiert sind. Ist die Rakete in gleichförmiger Bewegung, dann kann B die Uhren in der Rakete synchronisieren. Nach einer solchen Synchronisation ordnet er beim Uhrenvergleich den Zeitangaben einer irdischen Uhr die Zeiten verschiedener Raketenuhren zu. Er liest die zugehörende Raketenzeit immer an der Uhr ab, an der die vorbeiziehende irdische Uhr gerade angelangt ist. Aus der Sicht des irdischen Beobachters ist dieser Uhrenvergleich nicht zulässig, weil nach seiner Sichtweise die zum Vergleich genommenen Raketenuhren nicht synchronisiert sind und deshalb falsche Zeiten anzeigen.

Es soll nun etwas genauer untersucht werden, wie B den Start seiner Rakete erlebt und welche Schlüsse er möglicherweise daraus zieht. Wir stellen uns einen sehr langen, rechteckigen Raum R innerhalb der Rakete vor (siehe Abb. 1), der während des Starts mit a auf die Geschwindigkeit v beschleunigt wird. In diesem Raum stehen Uhren, die unmittelbar vor der Beschleunigung auf t'=0 eingestellt wurden. Während der Beschleunigung und danach zeigen diese Uhren aus der Sicht eines ruhenden Beobachters A gleiche Zeiten an.

Abb. 1

Aus der Sicht von B geht nach der Beschleunigung auf die Geschwindigkeit v die Uhr bei x’2 gegenüber der Uhr bei x’1 um Δt’ = (v/c2)·Δx’ vor.

Δt’ = t’2 - t’1 ; Δx’ = x’2 - x’1

Beweis:

Wenn B die Uhren in der Rakete synchronisiert hat, dann gilt nach den Lorentztransformationen:

t = (t’1 + x’1 ·v/c2)/√(1-v2/c2); t = (t’2 + x’2 ·v/c2)/√(1-v2/c2)

t’1 und t’2 sind die Zeiten die der ruhende Beobachter A zu einer Zeit t seines Systems auf den Uhren U1 und U2 abliest.

(t’1 + x’1 ·v/c2) = (t’2 + x’2 ·v/c2)

Δt’ = t’2- t’1 = - ( x’2 - x’1)·v/c2 → Δt’ = -(v/c2)·Δx’

Aus der Sicht von A geht dann die Uhr bei x’2 gegenüber der Uhr bei x’1 nach. Da nach dem Start die Uhren aus der Sicht von A keine Zeitunterschiede zeigen, geht aus der Sicht von B die Uhr bei x’2 gegenüber der Uhr bei x’1 um (v/c2)·Δx’ vor.

Wir setzen nun voraus, dass sich B folgende Gedanken macht.

Die im Raum R während des Beschleunigungsvorgangs der Dauer t’ wirkenden Kräfte sind keine Trägheitskräfte, sondern Gravitationskräfte, unter deren Wirkung der ruhende Beobachter A mit a’ in der Zeit t’ auf v = v’ beschleunigt wurde.

v = v’ = a’·t’

Diese Gravitationskraft ist für die unterschiedlichen Anzeigen der Uhren verantwortlich, sie bewirkt, dass die Uhr U2 schneller geht als die Uhr U1.

t’2 = t’1 + (v/c2) · Δx’; v = a’·t’ → t’2 = t’1 · [ 1 + (a’/c2) · Δx’ ]

Für das Verhältnis der Taktfrequenzen t’2 / t’1 erhält er demnach:

t’2 / t’1 = 1 + (a’/c2) · Δx’

Geht man davon aus, dass man zwischen Trägheitskräften und Gravitationskräften hinsichtlich ihrer Wirkung keinen Unterschied feststellen kann, dann muss nach den Überlegungen von B eine Uhr U 2 die um h über einer Uhr U 1 im Gravitationsfeld der Erde aufgestellt ist, eine um t 2 / t 1 = 1 + (g/c 2)·h schnellere Gangart haben als U 1.

Der in dieser Gleichung zum Ausdruck kommende Gangunterschied konnte mit hochgenauen Atomuhren nachgewiesen werden. Bei einem Höhenunterschied von 1000 m läuft die höhere Uhr während einer Stunde gegenüber der tieferen Uhr um 4·10-10 Sekunden voraus.

Die hier beschriebene Tatsache lässt den Schluss zu, dass eine Lichtwelle eine Verminderung ihrer Frequenz erfährt (Rotverschiebung), wenn sie aus einem Gravitationsfeld aufsteigt. An höheren Orten laufen die Uhren schneller. Es wird dort eine größere Schwingungszeit und somit eine kleinere Frequenz gemessen. Auch diese Frequenzänderung konnte nachgewiesen werden.

Somit kann die Behauptung als zutreffend bezeichnet werden, dass in einem abgeschlossenen Raum zwischen Gravitations- und Trägheitskräften keine Unterschiede erkannt werden können, wenn diese durch äußere Umstände bedingt sind. Träge und schwere Masse sind äquivalent.