Energie für einen Weltraumflug

Mit Hilfe des Gravitationsgesetzes kann die Energie E berechnet werden, die eine Rakete der Masse m mindestens benötig, um von der Erdoberfläche in den Weltraum zu gelangen.

E gleicht der Arbeit W, die gegen die Anziehungskraft der Erde beim Aufstieg in den Weltraum verrichtet werden muss. Die Berechnung dieser Arbeit ist nicht einfach, da sich diese Kraft nach F = G · M·m/r2 ( M = Masse der Erde) fortwährend ändert.

Die Arbeit W hängt von der Raketenmasse m der Erdmasse M und dem Abstand des Startpunktes r vom Erdmittelpunkt ab. Der zur Berechnung von W gesuchte Term muss „Joule“ als Einheit haben.

Denkbar ist W = G · M·m/r .

Zur Prüfung dieses Terms gehen wir folgendermaßen vor:

Von der Erdoberfläche ausgehend verschieben wir einen Körper der Masse m in Gedanken in Schritten von R/20 (R = Radius der Erde ). Während einer solchen Verschiebung kann die Anziehungskraft der Erde als annähernd konstant angesehen werden und die Verschiebungsarbeit wird nach F · R/20 ( F = Anziehungskraft in der Mitte des Verschiebungsweges) berechnet. Wir beschränken uns dabei auf 1000 Schritte, denn nach 1000 Schritten um R/20 hat man zur Erdmitte den Abstand 51 · R. In diesem Abstand ist die Anziehungskraft der Erde auf einen Körper der Masse m nur noch m ·g/2601.

W = [G·M·m/ (R+R /40)2 ] ·R/20 + [G ·M ·m / (R +1· R/20+R /40)2 ] · R/20 + [G ·M · m / (R+2 · R/20 + R /40)2] · R/20 +.........

W = (G · M · m /R)· (1/20) · [ 1 / (1 + 1 /40)2 + 1 / (1 + 1 · 1/20 + 1 /40)2 + 1/ (1 + 2 · 1/20 + 1 /40)2 +......]

Die Berechnung von s = (1/20) · [ 1 / (1 + 1 /40)2 + 1 / (1 + 1 · 1/20 + 1 /40)2 + 1/ (1 + 2 · 1/20 + 1 /40)2 +......]

dient das nachfolgende Programm, welches mit „32“ und „START“ aufgerufen werden kann.

|n|s|=|0|0|

wiederhole bis n = 1000

n=n+1

s=s+1/(1+n/20 -1/40)^2 * 1/20

wenn n = 1000

?s

ohnewenn

zurück

Das Programm liefert den Wert 0,98. Mit 10000 Rechenschritten erhält man 0,997. Deutlich ist zu sehen, dass s gegen 1 strebt, wenn die Zahl der in der Klammer stehenden Summanden zunimmt. So erscheint es gerechtfertigt W = G · M · m /R für die Arbeit zu schreiben, welche gegen die Erdanziehungskraft verrichtet werden muss, wenn man einen Körper der Masse m in den Weltraum bringen will.

Welche Arbeit W ist zu verrichten, wenn ein Körper von einem Punkt P1 zu einem Punkt P2 geschoben werden soll, der von der Erde wohl weiter entfernt ist als P1 , aber noch der Anziehungskraft der Erde unterliegt ?

In Gedanken verschieben wir einen Körper der Masse m vom Punkt P1 über P2 in den Weltraum.

Die gesamte Arbeit beträgt WP1 = G · M · m · 1/r1 .

Die von P2 aus zu verrichtende Arbeit ist WP2 = G · M · m · 1/r2 .

Die Arbeit von P1 nach P2 ist W.

W + WP2 = WP1 → W = WP1 – WP2 → W = G · M · m · (1/r1 – 1/r2)