Berechnung von sin(x) und cos(x) mit Hilfe von Polynomen

Unter einem Polynom versteht man einen Term der Form: P(x)= a0 + a1 · x + a2 · x2 + a3 · x3 + ............... Unter Berücksichtigung von a0 = a0 · x0 kann man sagen, ein Polynom P(x) ist eine Summe aus Produkten an · xn. Beispiele: P(x) = 2 + 0 · x + x2 ; P(x) = 1 + 4 · x + 2 · x2 + 3 · x3 Den höchsten Exponenten im Polynom P(x) heißt Grad des Polynoms. Zu n Punkten mit verschiedenen x-Werten kann immer ein und nur ein Polynom n-1. Grades bestimmt werden, dessen Graph durch diese n Punkte hindurch läuft. So findet man zu 2 Punkten das Polynom P(x) = y = a 0 + a 1 · x (lineare Funktion) und zu 3 Punkten das Polynom P(x) = y = a 0 + a 1 · x + a 3 · x 2 (quadratische Funktion). Klickt man nach Wahl des Unterprogramms „Mathe.- Polynome“ n<50 Punkte an, schließt die Auswahl der Punkte mit einem Rechtsklick ab, dann erscheint nach einem weiteren Rechtsklick der Graph zu einem Polynom n-1. Grades. Das genannte Unterprogramm kann mit „212“ und „START“ aufgerufen werden ! In der Abb. 1 sind Punkte P[x;sin(x)] und P[x; cos(x)] mit bekannten Koordinaten zu sehen. Durch die mit Kreuzen markierten Punkte P[x;sin(x)] und P[x; cos(x)] wurden Polynomgraphen mit „Mathe.- Polynome“ im Programm „Mathe-Physik“ gelegt. Abb. 1 Da die Polynomgraphen im Intervall [0; 180°] auch durch die nicht mit Kreuzen markierten, Punkte P[x;sin(x)] und P[x; cos(x)] hindurchgehen, sieht es so aus, als ob die zugehörenden Polynomfunktionen in diesem Intervall gut zur Beschreibung von y=sin(x) und y=cos(x) geeignet sind. Die Funktionsterme zu den Polynomgraphen können in „Mathe-Physik“ mit „Mathe._Funktionsterm_Term zum Polynom“ (214“ und „START) “ aufgerufen werden. Wie in der Abb. 2 zu erkennen ist, weicht das Bogenmaß s/r bei sehr kleinen Winkeln nur wenig von yz/r , dem zugehörenden Sinus, ab. y = x ist demnach zur Beschreibung von y=sin(x) geeignet, wenn man den Winkel im Bogenmaß angibt und sich auf sehr kleine Winkel beschränkt (siehe Abb. 3).
Abb. 2 | Abb. 3
##### Die in der Abb. 3 mit 1 gekennzeichnete Kurve beschreibt y = x. Auf der Suche nach den Termen an· xn , die in y = x zur besseren Anpassung an x angehängt werden müssen, fragen wir uns, ob nicht besondere Eigenschaften von y = sin(x) als Hinweise dienen können. Es gilt: sin(-x) = -sin(x) Für ein zur Beschreibung des Sinusfunktion geeignetes Polynom Ps(x) sollte deshalb gelten: Ps(-x) = -Ps(x) Für Ps(x) kommen aus diesem Grund nur ungerade Exponenten in Frage. Ps(x) = x + a3 · x3 + a5 · x5 + a7 · x7 ………; x steht für Winkel im Bogenmaß Für die Kosinusfunktion gilt: cos(x) = cos(-x) Somit kommen für das zu cos(x) passende Polynom Pc(x) aus diesem Grund nur gerade Exponenten in Frage. Pc(x) = 1 + b2 · x2 + b4 · x4 + b6 · x6 ………; x steht für Winkel im Bogenmaß Zur Ermittlung der Werte a3 , a5 …., b2 , b4 …. nutzen wir folgende Eigenschaften von sin(x) und cos(x): [sin(x)]2 + [cos(x)]2 = 1, sin(2·x) = 2·sin(x)·cos(x) Die letzte Gleichung wird später hergeleitet. Zunächst sollte man sie auf ihre Richtigkeit anhand der Graphen zu f(x) = sin(2·x) und f(x) = 2·sin(x)·cos(x) prüfen. ↓ Ps(x)2 + Pc(x)2 = 1, Ps(2·x) = 2·Ps(x) · Pc(x) Ps(x)2 + Pc(x)2 = 1 + (1+2·b2) ·x2 + (2·a3 + 2·b4 + b22)·x4 …...... Nach Ps(x)2 + Pc(x)2 = 1 sind alle Faktoren bei x2, x4 …. gleich 0. 2·Ps(x) · Pc(x) = 2·x + [(a3 + b2)/4]·(2·x)3 + [(a5 +a3 ·b2 + b4)/16]·(2·x)5 …..... = Ps(2·x) Nun gilt nach Ps(x) = x + a3 · x3 + a5 · x5 + a7 · x7 … für Ps(2·x): Ps(2·x) = (2·x) + a3 · (2·x)3 + a5 ·(2·x)5 …..... ↓ 1+2·b2 = 0 (Faktor an x2 in der Summe Ps(x)2 + Pc(x)2) → b2 = - ½ [(a3 + b2)/4] = a3 → a3 + b2 = 4·a3 → a3 = - 1/6 2·a3 + 2·b4 + b22 = 0 → b4 = - a3 - b22/2 = 1/6 -1/8 = 1/24 (a5 +a3 ·b2 + b4)/16 = a5 → a5 =1/120 ↓ sin(x) = x – (1/6)·x3 + (1/120) · x5 …....... cos(x) = 1 - ½ · x2 + (1/24) · x4 …........... 6 = 2· 3 = 3!; 24 =1·2·3·4; 120 = 1·2·3·4·5 = 5! Definition von n! (n Fakultät): n! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5…………………. · (n-1) · n ↓ sin(x) = x – x3/ 3! + x5/5! - x7/ 7! + x9/9! - x11/11! + x13/13! – x15/ 15 !........ ( x: Winkel im Bogenmaß ) cos(x) = 1 – x2/ 2! + x4/4! – x6/ 6!……………. Der in Abb. 3 mit den Nummern 2 und 3 gekennzeichneten Graphen gehören zu PS(x)=x – x3/ 3! und PS(x)=x – x3/ 3! + x5/5! - x7/ 7! + x9/9! - x11/11! + x13/13! – x15/ 15! . Das letzte Polynom ist sehr gut zur Beschreibung von y=sin(x) im Intervall [0; π] geeignet. In Abb. 4 sehen wir den Graphen von P c(x) = 1 – x 2/2! + x 4/4! – x 6/6! + x 8/8! – x 10/10! + x 12/12! – x 14/14! mit Punkten P[x; cos(x)]. Abb.4 Mit „130 und Start“ kann dies überprüft werden. Im Tabellenfenster von „Mathe.-Physik“ erscheinen neben der im letzten Kapitel vorgestellten Tabelle mit Werten zu den Winkelfunktionen die oben angegebenen Polynomfunktionen.
Zur Darstellung der hier sichtbaren Graphen mit „Mathe-Physik“ ist folgendes zu beachten:
sin(x): Sinuswert zum Winkel x im Bogenmaß cos(x): Kosinuswert zum Winkel x im Bogenmaß tan(x): Tangenswert zum Winkel x im Bogenmaß | sing(x): Sinuswert zum Winkel x im Gradmaß (Altgrad) cosg(x): Kosinuswert zum Winkel x im Gradmaß (Altgrad) tang(x): Tangenswert zum Winkel x im Gradmaß (Altgrad)