Der Wurf

Für die Bewegung unter einer konstanten Kraft F gelten die folgenden Gleichungen:

v = a·t + v0 ; r = ½ ·a·t2 + v0 · t + r0 ; a = F/m

v0 : Vektor der Anfangsgeschwindigkeit; r0: Ortsvektor der Startpunktes

Wir gehen davon aus, dass Erdanziehungskraft auf einen hoch geworfenen Körper K eine konstante nach unten gerichtete Kraft F ist. In diesem Fall zeigt der Beschleunigungsvektor a nach unten. In einem Koordinatensystem mit einer nach oben gerichteten y-Achse ( siehe Abb. 1) können wir für a schreiben:

a = {0, -g, 0 }; g ist der Betrag der Erdbeschleunigung , der in Mitteleuropa = 9,81 m/s2 beträgt.

Abb.1 | Abb. 2 In diesem Koordinatensystem verhalten sich die x-, die y- und die z-Achse der Richtung nach wie der Daumen, der Zeige- und der Mittelfinger der rechten Hand, wenn der Mittelfinger von den beiden anderen rechtwinklig abgespreizt wird . Man spricht von einem Rechtssystem.

Liegen r0 und v0 in der x-y-Ebene dann gilt:

{x; y; z } = ½ · {0 ; -g, 0} · t2 + {v0;1 ; v0;2 ; 0 } · t + {x0 ; y0 ; 0 } ; {v1 ; v2 ; 0 } = {0 ; -g, 0} · t + {v0;1 ; v0;2 ; 0 }

In diesem Fall können die z-Koordinaten unbeachtet bleiben. Wir schreiben deshalb:

{x; y } = ½ · {0 ; -g} · t2 + {v0;1 ; v0;2 } · t + {x0 ; y0 }

x = v 0;1 · t; y = - ½ · g · t 2 + v 0;2 · t + y 0

{v 1 ; v 2 } = {0 ; -g} · t + {v 0;1 ; v 0;2 }

v 1 = v 0;1 ; v 2 = -g · t + v 0;2

Nach {x; y } = {v 0;1 ; v 0;2 } · t + {x 0 ; y 0 } würde sich K bei fehlender äußerer Kraft bewegen (a = 0) und in der Bewegungszeit t mit konstanter Geschwindigkeit einen Punkt P’ erreichen, stattdessen gelangt K in dieser Zeit zu einem Punkt, der g · t2 /2 unter P’ liegt.

Mit „181“ und „START“ erfolgt eine Vorführung hierzu.

Die oben angegebenen Gesetze passen auch zu einer Kugel K, die über eine schiefe Ebene rollt. Die x und y-Achsen müssen in diesem Fall in der schiefen Ebene liegen und zwar so, dass die x-Achse waagrecht und die y-Achse nach oben gerichtet ist. Für g ist die Beschleunigung einer abwärts rollenden Kugel einzutragen. An den obigen Gesetzen ist zu erkennen :

Die Projektion des Körpers K auf die x –Achse bewegt sich gleichförmig. Die Projektion auf die y-Achse bewegt sich gleichförmig-beschleunigt.

Für die Bewegung auf einer schiefen Ebene ist dies leicht mit der Experimentierwippe nachprüfbar. In der Abb. 3 sind Bewegungen auf einer schräg geneigten Wippe dargestellt. P ist die Projektion der rollenden Kugel K auf die Längskante der Glasplatte. Die von dem an die Wippe angeschlossenen Rechner geschriebenen Zeit-Weg-Diagramme sind dem Punkt P zuzuordnen.

An dem Zeit-Weg-Diagramm ist zu erkennen: P bewegt sich im Fall 1 erwartungsgemäß gleichförmig und im Fall 2 mit einer konstanten Beschleunigung, die unabhängig von der Bewegung in horizontaler Richtung ist.

Abb. 3 | Beide Rändelschrauben der angehobenen Längsseite sind unterlegt !

Mit der in der Abb. 4 skizzierten Anordnung werden die Bewegungsgleichungen an einem Wurf überprüft.

Abb. 4

Mit einer Federkanone wird eine an einem Elektromagneten hängende Eisenkugel anvisiert. Mit dem Schuss wird der Strom durch den Magneten unterbrochen. Das Geschoss, welches den Lauf der Kanone verlässt, trifft die Kugel, die sich vom Magneten löste.

Erklärung:

Bei fehlender Erdanziehungskraft würde das Geschoss zu einem Zeitpunkt t (Wurfbeginn bei t = 0) den Magneten erreichen. Unter der Kraft m· g ist das Geschoss am Ort der fallenden Kugel ½ · g ·t2 tiefer.

Die Kraft ist unabhängig vom Verlauf der Bewegung konstant; dies ist die Voraussetzung für die Herleitung der Bewegungsgleichungen, die mit den gerade beschriebenen Experimenten auf ihre Richtigkeit geprüft wurde.

Aufgabe:

Ein Gegenstand K werde mit der Geschwindigkeit v unter dem Höhenwinkel α nach oben geworfen (siehe Abb. 4). Welchen Ort P(x; y) erreicht dieser Gegenstand in einer Zeit t nach dem Abwurf ?

Abb. 4

v1 = v·cos(α), v2 = v · sin(α)

x = t · v · cos(α) → t = x / [v · cos(α)]

y = t· v · sin(α) - (g/2) · t2

x = t · v · cos(α) , y = t· v · sin(α) sind die Koordinaten des Punktes P’, den K ohne Erdanziehung ( g = 0) in der Zeit t erreichen würde.

Ersetzt man in y = t· v · sin(α) - (g/2)· t2 die Zeit t durch den Term x / [v · cos (α)] = t , dann gelangt man zu :

y = x · (sin α / cos α ) - g · x2 / (2 · v2 · cos2 α )

Die letzte Gleichung beschreibt eine parabelförmige Bahn.

Abb. 5: Menneken Pis, eine bekannte, barocke Brunnenfigur in Brüssel

Auch eine Wurfbahn !

Über das Verhalten eines hüpfenden Gummiballs (anklicken !)

Aufgaben