2.7 Die Lorentztransformationen

Ein Flugkörper bewege sich mit der Geschwindigkeit v zur Erde. S’ ist das zu diesem Flugkörper, S das zur Erde gehörende Koordinatensystem. Der Flugkörper sei mit Uhren und Längeneinheiten ausgerüstet, die auch auf der Erde üblich sind. Die an den verschiedenen Stellen des Flugkörpers aufgestellten Uhren seien entsprechend den auf der Erde gültigen Vereinbarungen aufeinander abgestimmt (synchronisiert). Als Zeitnullpunkt gelte in beiden Systemen der Augenblick, in dem die beiden y-Achsen zusammentreffen. Die Uhren an den Koordinatennullpunkten werden gleichzeitig auf 0 gestellt.

An einem Punkt P werde von einem mitbewegten- und einem irdischen Beobachter ein Ereignis wahrgenommen, t ist die hierzu gehörende irdische Zeit, x ist der von einem irdischen Beobachter A gemessene Abszissenwert des Ereignispunktes, t’ und x’ sind die entsprechenden Werte des mitbewegten Beobachters B.

Abb. 1

Wie können die zu einem System gehörenden Werte errechnet werden, wenn die Werte des anderen Systems bekannt sind ?

x – v · t ist der von einem irdischen Beobachter gemessene Abstand des Punktes P zu dem Koordinatenursprung des bewegten Systems. (x – v ·t) beschreibt eine durch Längenkontraktion verkleinerte Strecke mit der Ruhellänge x'.

1.) x' · k = (x – v ·t) x’ = (x – v ·t)/k

Zum Zeitpunkt t liest der irdische Beobachter auf der bewegten Uhr am Ursprung von S’ die Zeit t’0 ab. Unter Berücksichtigung der Zeitdilatation erhält man:

t’0 = t · k (Die bewegte Uhr geht langsamer !)

Die Zeit t’ , die er zum gleichen irdischen Zeitpunkt t auf der mitbewegten Uhr am Ort P abliest, weicht von t’0 um x’ ·v/c2 ab.

t’0 – t’ = x’ ·v/c2 ; t’0 = t · k → t’ + x’ ·v/c2 = t·k

2.) t = (t’ + x’ ·v/c2)/k

Die Gleichungen l und 2 ermöglichen auch die Berechnung von x bei Kenntnis von x’ und t’ und die von t’ bei Kenntnis von x und t. Im ersten Fall muss die Zeit t in der 1. Gleichung nach der 2. Gleichung ersetzt und die hiermit gewonnene Gleichung nach x aufgelöst werden. Im zweiten Fall ist x’ der 2. Gleichung gegen den rechten Term der 1. Gleichung auszutauschen. Hiernach ist nach t’ aufzulösen. Die insgesamt gewonnenen Beziehungen, Lorentztransformationen genannt, sind in der folgenden Tabelle 1 zusammengefasst.

1.
x’ = (x – v ·t)/k | t’ = (t - x ·v/c2)/k
x = (x’ + v ·t’)/k | t = (t’ + x’ ·v/c2)/k

Da die quer zur Bewegungsrichtung liegenden Strecken keine Längenkontraktionen erfahren gilt für die y – und z-Koordinaten eines abseits von der x-Achse liegenden Punktes: y = y’ und z = z’

Es ist nun zu prüfen, ob die Lorentztransformationen mit dem Relativitätsprinzip im Einklang sind.

Die Transformationsgleichungen sind nur dann annehmbar, wenn mit ihnen die folgenden Schlussfolgerungen aus dem Relativitätsprinzip begründet werden können:

1. Die Lorentztransformationen gelten auch dann, wenn man S’ als ruhend und S als bewegt ansieht .

2. Wenn ein Beobachter in S die Uhren in S’ langsamer laufen sieht als eine Uhr in S, dann müssen für einen Beobachter in S’ die Uhren in S langsamer gehen als die in S’.

3. Wenn der Beobachter in S einem in S’ liegenden 1m-Maßstab eine Länge < 1m zuordnet, dann muss ein Beobachter in S’ einen in S liegenden 1m-Maßstab ebenfalls verkürzt sehen.

4. Wenn sich eine Lichtwelle in S nach allen Seiten mit der Geschwindigkeit c ausbreitet, dann gilt dies auch in S’.

Zu 1.: Nach Umkehrung der x-Achsen ( S wird als bewegtes System gesehen) sollten die unter 2. angegebenen Transformationsformeln gelten:

2.
x = (x’ – v’ ·t’)/k | t = (t’ – x’ ·v’/c2)/k
x’ = (x + v’ ·t)/k | t’ = (t + x ·v’/c2)/k

v’ ist die Geschwindigkeit von S aus der Sicht von S’.

Beweis:

Wenn man die Achsen der Koordinatensysteme umkehrt, dann müssen in den Gleichungen unter 1. die Vorzeichen von x und x’ umgekehrt werden. Nach Umkehrung der Vorzeichen erhält man die unter 3. angegebenen 4 Transformationsgleichungen, die mit den Gleichungen unter 2. übereinstimmen, wenn v’ = v ist.

| 3.
-x = (-x’ + v·t’)/k | t = (t’ – x’ ·v/c2)/k → | x = (x’ – v ·t’)/k | t = (t’ – x’ ·v/c2)/k
-x’ = (-x – v ·t)/k | t’ = (t + x ·v/c2)/k → | x’ = (x + v ·t)/k | t’ = (t + x ·v/c2)/k

v = v’ ist noch zu beweisen !

Für das in S’ dem Koordinatenursprung von S zugeordnete x’ gilt:

x = (x’ – v ·t’)/k = 0 → x’ – v ·t’ = 0 → x’ = v ·t’ → v’ = x’/t’ = v

Zu 2.:

Abb. 2

In S sei eine Uhr U an einem Ort mit der Koordinate x aufgestellt (siehe Abb. 2). Wenn diese Uhr die Zeit t1 anzeigt, steht der Zeiger einer ihr augenblicklich benachbarten Uhr U1’ in S’ auf t1’. In der Folgezeit entfernt sich U1’ von P, andere Uhren des Flugkörpers erreichen U. Wenn U die Zeit t2 anzeigt, dann gibt die ihr dann benachbarte Uhr U2’ die Zeit t2’ an. Der mit der Uhr U gemessenen Zeit t2 – t1 ordnet der Beobachter B in S’ die Zeit t2’ – t1’ zu.

Es gilt:

t1’ = (t1 – v ·x/c2)/k, t2’ = (t2 – v · x/c2)/k

t2’ - t1’ = (t2 – t1 )/k → t2’ - t1’ > t2 – t1

Aus t2’ - t1’ > t2 – t1 folgert B: Die Uhren in S laufen langsamer als die in S’.

Aus der Sicht des ruhenden Beobachters A ist t’2 zu groß, weil für ihn die Uhr U’2 gegenüber der Uhr U’1 vorgeht. Demgemäss fällt seiner Meinung nach die Zeitdifferenz t’2 – t’1 zu groß aus.

Es erscheint zunächst unsinnig, dass je nach Standpunkt des Beobachters die Uhren des Flugkörpers schneller oder langsamer laufen als die der Erde. Es muss hierbei bedacht werden, dass ein irdischer Beobachter beim Vergleich bewegter und ruhender Uhren jeweils eine bewegte Uhr mit zwei an verschiedenen Orten der Erde aufgestellten Uhren vergleicht. Im Gegensatz dazu vergleichen Beobachter des bewegten Systems eine irdische Uhr mit zwei bewegten Uhren, die aus der Sicht des irdischen Beobachters verschiedene Zeiten angeben.

Zu 3.:

Abb. 3

[x1 x2] sei eine Strecke auf der x-Achse eines ruhenden Koordinatensystems. Beobachter in einem System S’, welches sich in Achsenrichtung bewegt, messen die zu x1 und x2 gehörenden x’ -Werte nach ihren Uhren gleichzeitig zum Zeitpunkt t’ und ordnen der Strecke [x1 x2] die Länge x’2 – x’1 zu . Aus der Sicht eines irdischen Beobachters wird x'1 vor x'2 bestimmt. Somit ist der Abstand zwischen den y-Achsen der beiden Kordinatensysteme bei der Messung von x'1 kleiner als bei der Bestimmung von x'2 ,weshalb aus der Sicht eines Beobachters in S der Wert für x'1 zu groß und folglich die Differenz x’2 – x’1 zu klein ausfällt.

Nach den Lorentztransformationen gilt:

x1 = (x’1 + v ·t’)/k ; x2 = (x’2 + v ·t’)/k

→ x2 – x1 = (x’2 - x’1)/k → x’2 - x’1 = (x2 – x1) · k → x’2 – x’1 < x2 - x1

Es wurde früher gezeigt, dass bewegte, zur Ausbreitungsrichtung parallele Strecken dem irdischen Beobachter kleiner erscheinen als gleichartige ruhende Strecken. Da dies der gerade hergeleiteten Ungleichung zu widersprechen scheint, muss darauf hingewiesen werden, dass irdische Beobachter x1 und x2 nach irdischen Uhren gleichzeitig messen, während die bewegten Beobachter x’1 und x’2 nach den Uhren ihres System zum gleichen Zeitpunkt bestimmen.

Zu 4.:

Abb. 4

Zum Zeitpunkt t = t’ = 0 werde an dem zu diesem Zeitpunkt gemeinsamen Koordinatenursprung von S und S’ eine kugelförmige Welle ausgesandt. P sei ein Punkt, der zu einem Zeitpunkt t, t’ auf der Wellenfront der Kugelwelle liegt. Für seinen Abstand L vom Koordinatenursprung des Systems S gilt:

L2 = x2 + y2 + z2 = c2· t2

Hieraus folgt unter Berücksichtigung der Lorentztransformationen:

→ (x’ + v ·t’)2 / k2 + y’2 + z’2 = c2· (t’ + v ·x’/c2)2/k2

→ x’2 + v2·t’2 + 2·x’·v· t’ + y’2 · k2 + z’2 · k2 = t’2 · c2 + x’2 · v2/c2 + 2·x’ ·v ·t’

→ x’2 · (1- v2/c2) + y’2 · k2 + z’2 · k2 = c2 · t’2· (1- v2/c2)

k2 =(1- v2/c2)

→ x’2 + y’2 + z’2 = c2 · t’2

Hiernach entfernt sich die Welle in S’ so wie in S nach allen Seiten mit der Geschwindigkeit √(x’2 + y’2 + z’2 ) /t’ = c vom Koordinatenursprung.