### Über den Umgang mit Einheiten

Es gibt bekanntlich Grundeinheiten wie m, s und kg und solche Einheiten, die von diesen Grundeinheiten abgeleitet werden z.B. cm = 0.01 m, m/s, m/s2, kg·m/s2 usw.. Unter den Einheiten kg, m und s kann man sich noch etwas vorstellen. Anders verhält es sich mit m/s2 und kg · m/s2. Mit diesen Einheiten können keine Bilder verbunden werden. m/s2 und kg·m/s2 sollen darüber informieren welche Größen in eine Rechnung eingingen und wie sie miteinander verknüpft wurden.

Da sind Größenangaben zu finden wie 2· kg·m/s2 und 200000 g·cm/s2. Es handelt sich um Produkte aus Zahlenwert und Einheit. Zum Verständnis dieser Darstellungen sollte man sich unter m, kg und s jeweils die Zahl 1 und unter cm, g, und h (Stunde) 1/100, 1/1000 und 3600 vorstellen.

Hiernach ist es gleichgültig ob man den Wert einer Kraft z.B. 2·kg · m/s2 in der hier angegeben Form oder aber in der Form 200000 g ·cm/s2 in eine Gleichung einsetzt. Das Produkt aus Zahlenwert und Einheit ist in beiden Fällen gleich groß. Entsprechendes gilt für andere Größen. Man kann sich selbstverständlich auch andere Zahlen unter m, kg, s vorstellen. Die Beziehungen der Einheiten zueinander werden dadurch nicht geändert. Auch die Größengleichungen lassen dies zu, denn bei der Herleitung solcher Größengleichungen ist eine Vereinbarungen über die zu wählenden Einheiten nicht nötig. Wenn in einer Gleichung gleichen Größen gleiche Einheiten zugewiesen werden, dann kann man alle diese Einheiten als Vertreter der Zahl 1 ansehen. Daraus folgt, dass in diesem Fall die Gleichung auch dann gültig ist, wenn die Einheiten weggelassen werden. Nach der Streichung der Einheiten liegt eine sogenannte Zahlenwertgleichung vor. Es ist unüblich mit Zahlenwertgleichungen zu arbeiten, denn es soll immer deutlich bleiben, mit welchen Größen und Einheiten gearbeitet wird. Außerdem kann man oft durch die während der Rechnung auftretenden Einheiten Fehler erkennen. Wenn z.B. in einer Summe Summanden mit verschiedenen Einheiten auftreten, dann ist damit ein Hinweis auf einen Fehler gegeben.

Mit Hilfe von Einheiten können oft Gesetze erraten werden.

Beispiel 1:

Wir wissen, dass auf einen gleichförmig kreisenden Körper eine zum Drehpunkt gerichtete Kraft wirkt. Wir vermuten, dass diese Kraft F von der Masse m des Körpers, seiner Geschwindigkeit v und dem Bahnradius r abhängig ist.

v, r und m müssen so verknüpft werden, dass ein Term mit der Einheit kg · m/s2 (N) entsteht.

[m] = kg ( [m] heißt Einheit von m )

[v] = m/s

[r] = m

→ [v2 · m/r ] = kg · m/s2

#### Dies gibt Anlass zur Vermutung: F = v 2 · m/r

Beispiel 2:

Es wird angenommen, dass die Schallgeschwindigkeit v von der Luftdichte und dem Luftdruck bestimmt ist.

[ρ] = kg/m3

[p] = kg/(m·s2)

[p/ρ] = m2 / s2