2.14 Das Minkowski – Diagramm

Die Lorentztransformationen kann man so verändern, dass die Transformationsformeln für die Zeit t sich nicht mehr von denen für den Ort x unterscheiden. Man muss nur ein neues Zeitmaß einführen. Anstelle von t wird das Produkt c · t = m genommen. Mit m wird die Zeit durch den Weg beschrieben, den das Licht in dieser Zeit im Vakuum zurücklegt.

t = ( t’ + x’ ·v/c2 )/k | → | m = ( m’ + ß ·x’ ) /k ß = v/c | → | m = m’/k + ß · x’/k
x = (x’ + v · t’ )/k | → | x = ( x’ + ß · m’)/k | → | x = x’ /k + ß × m’ / k
t’ = (t - x ·v/c2)/k | → | m’ = ( m - ß ·x ) /k | → | m’ = m/k + (-ß) · x /k
x’ = (x – v · t )/k | → | x’ = ( x - ß · m)/k | → | x’ = x /k + (-ß ) ×m / k

Die ersten beiden Gleichungen in der dritten Spalte kann man zu der folgenden Vektorgleichung zusammenfassen.

|  | |a| = |b|

Sie zeigt an, wie man bei Kenntnis von m’ und x’ einen Punkt im Koordinatensystem mit den Koordinaten m und x findet. In Abb. 1 ist dies am Beispiel m’ = 4 Einheiten und x’ = 2 Einheiten dargestellt.

Abb. 1

# (m; x) erreicht man vom Nullpunkt aus mit m’ Schritten der Länge |a| in Richtung von a und x’ Schritten der Länge |b| in Richtung von b .

Man kann aber auch so vorgehen, wie dies in Abb. 2 angedeutet ist.

Abb. 2

Die Abb. 2 regt zur Einführung eines schiefwinkligen Koordinatensystems an, auf deren Achsen eine Länge = |a| = |b| als Einheit betrachtet wird (siehe Abb. 3).

Abb. 3

|a| = |b| = [ (1 + ß2) / (1 - ß2) ]½

tan α = ß = v/c

Es ist erkennbar, wie zu dem Wertepaar m; x leicht die zugehörenden m’, x’ – Werte gefunden werden können.

Die Punkte der x-Achse stellen Ereignisse dar, die im ruhenden System zum Zeitpunkt t = 0 stattfinden. Die Punkte der x’- Achse beschreiben Ereignisse, die sich im bewegten System zum Zeitpunkt t’ = 0 ereignen. Ereignisse am Ort x = 0 werden auf der m-Achse abgebildet, solche am Ort x’ = 0 auf der m’ –Achse.

Die m’ – Achse kann man auch als m - x - Diagramm sehen, welches die Bewegung des Koordinatenursprungs vom bewegten x’-y’- System beschreibt.

Für diesen Koordinatenursprung gilt: x = v · t → x = (v/c) · m