Trägheitsmoment einer Kugel
Abb. 1 Abb. 2 | Eine Halbkugel wird in n ( Bsp.: n =1000) Scheiben gleicher Höhe eingeteilt. Das Trägheitsmoment einer solche Scheibe weicht bei feiner Aufteilung nur geringfügig von dem Trägheitsmoment eines Zylinders gleicher Dicke R/n ab, dessen Radius mit dem Radius der Scheibenunterseite übereinstimmt. Mit zunehmender Verfeinerung der Aufteilung streben die Unterschiede gegen 0. Der k. Zylinder in der Höhe k ·R/n hat das Trägheitsmoment j (siehe Abb. 2): j = ½ · mk r2 ; r2 + (k ·R/n)2 = R2 ; r2 = R2 · (1- k2 / n2 ) → j = ½ · mk · R2 · (1- k2 / n2 ); m k = π ·r2 · R/n · ρ ρ: Dichte des Materials r2 = R2 · (1- k2 / n2 ) ↓ m k = π ·R2 · (1- k2 / n2 ) · R/n · ρ j = ½ · mk · R2 · (1- k2 / n2 ) ↓ j = ½ · π · R5 · ρ· (1- k2 / n2 )2 / n Die Masse der Halbkugel ist mH = 2/3 · π· R3 · ρ Zur Berechnung des Kugelvolumens j/mH = 3/4 · R2 · (1- k2 / n2 )2/n → j = mH · 3/4 · R2 · (1- k2 / n2 )2/n Die Summe aller Trägheitsmomente j ist das Gesamtträgheitsmoment JH der Halbkugel JH = mH · (3/4) · R2 · { (1- 02 / n2 )2/n + (1- 12 / n2 )2/n + (1- 22 / n2 )2/n ……..} s = [ (1- 02 / n2 )2/n + (1- 12 / n2 )2/n + (1- 22 / n2 )2/n ……..] Der Wert s wird für n = 1000 mit dem folgenden Programm berechnet:
|s|k|n|=|0|0|1000| wiederhole bis k=n s=s+3/4*(1-k^2/(n^2))^2/n k=k+1 wenn k=n ?s= ?s ohnewenn zurück | Das Programm kann nach Eingabe von „170“ und „START“ ausgeführt werden. Es liefert für n = 1000 den Wert s = 0,400375 und für n = 10000 den Wert s= 0.40003749. → s strebt mit wachsendem n gegen 0,4 = 2/5. → JH = 2/5 · mH · R2 → JVollkugel = J = 2/5 · 2· mH · R2 ; 2· mH = mVollkugel = m → JVollkugel = 2/5 · m · R2