Berechnung des Zylinderträgheitsmoments J Zur Berechnung des Trägheitsmoments J denken wir uns den Zylinder mit dem Radius R, der Masse m und der Breite B in n konzentrische, dünnwandige Hohlzylinder mit den Radien rk und den Wanddicken d = R/n eingeteilt (Bsp.: n = 500).
Abb. 1 Abb. 2 | Für das Trägheitsmoment j eines solchen dünnwandigen Hohlzylinders mit der Masse mk gilt: j = mk · rk2 mk = 2·π·rk ·B· (R/n) ·ρ R/n = Wanddicke des Hohlzylinders (n =500), ρ = Dichte des Materials → j = 2·π·rk ·B· (R/n) ·ρ ·rk2 j = 2·π·rk3 ·B·(R/n) ·ρ = 2· π· B · ρ ·R4 ·(rk /R)3/n Das Gesamtträgheitsmoment J des Vollzylinders erhalten wir durch Summation der einzelnen j. J = 2· π· B · ρ ·R4 ·[(r1/ R)3 /n + (r2/ R)3 / n + (r3/ R)3 / n........] = 2· π· B · ρ ·R4 [(1/ n)3/n + (2/n)3 /n +(3/n)3/n........] r1 = R/n , r2 = 2· R/n, r3 = 3· R/n…… → rk/ R haben die Werte 1/n, 2/n, 3/n .........n/n ; n/n = 1

Die Berechnung der Summe w = [(1/ n)3/n + (2/n)3 /n +(3/n)3/n........] geschieht nach dem folgenden Programm: |w|k|n|=|0|0|500| wiederhole bis k = n k=k+1 w = w+(k/n)^3/n wenn k = n ?w= ?w ohnewenn zurück | Nach dem Eintrag von „31“ und „START “ kann das Programm ausgeführt werden. Es liefert für w den Wert ¼. → J = ½ · π· B · ρ ·R4 Statt des Innenradius rK sollte ein Wert genommen werden, der zwischen dem äußeren und inneren Radius des Hohlzylinders liegt. Der durch rK verursachte Fehler geht jedoch mit kleiner werdender Wanddicke ( wachsendem n ) gegen 0.
Wie verhält sich dieses Trägheitsmoment zur Gesamtmasse m des Zylinders ? m = π·R2 · B · ρ J/m = ½ · R2 → J = ½ · m · r2