2.9 Transformation der Masse und des Impulses und der Kraft

2.9.1 Transformation von Masse und Impuls

Wir betrachten die Lorentztransformationen für x’ und x.

x’ = (x – v ·t)/k | t’ = (t - x ·v/c2)/k
x = (x’ + v ·t’)/k | t = (t’ + x’ ·v/c2)/k

Dem x' ordnet der ruhende Beobachter die Länge x - v·t zu. Teilt man sie durch k (k2 = 1 – v2/c2 ) , dann erhält man x’ aus der Sicht des bewegten Systems.

Dem x ordnet der bewegte Beobachter die Länge x’+ v·t’ zu. Teilt man ihn durch k (k2 = 1 – v2/c2 ) , dann erhält man x aus der Sicht des ruhenden Systems.

In gleicher Weise werden die Impulse transformiert:

p'x = (px – m· v) / k | m’ = (m - px ·v /c2) /k
px = (p’x + m’· v) / k | m = (m’ + p’x ·v /c2) /k

(px – m· v) ist der Impuls im bewegten System aus der Sicht des ruhenden und (p’x + m’· v) ist der Impuls in Bezug auf das ruhende System aus der Sicht des bewegten Systems. Aus den Transformationsformeln für die Impulse kann man leicht die Transformationsgleichungen für die Massen herleiten.

py und pz sind wie y und z in beiden gleichförmig zueinander bewegten Systemen gleich groß !

→ Impulse und Massen werden wie Ortskoordinaten und Zeiten transformiert !

Der Beweis dieser Gleichungen ist mit Hilfe des Additionstheorems der Geschwindigkeiten möglich. Er ist wegen aufwendiger algebraischer Umformungen etwas mühsam.

Herleitung !

2.9.2 Transformation der Kraft

Wir betrachten einen Körper K, der parallel zu der x- Achse (x’-Achse) unter einer Kraft Fx bzw. F’x bewegt wird.

Mit einem „'“ werden die Größen im bewegten System S' markiert.

Fx = Δpx/Δt = [(Δp’x + v· Δm’ )/k] /[ ( Δt’ + Δx’ · v /c2 )/k]

Fx = (Δp’x/ Δt’ + v· Δm’/ Δt’ ) / ( 1 + Δx’/ Δt’ · v /c2 )

Δm’·c2 ist die im x’;y’-System gegen K verrichtete Arbeit.

Δm’·c2 = F’x · Δx’ → Δm’ = F’x · Δx’/ c2 ; F’x = Δp’x/Δt’

↓

Fx = F’x · [ 1 + v · Δx’ /(c2 · Δt’) ]/ [ 1 + Δx’ · v /(c2 · Δt’) ]

↓

Fx = F’x

Wenn die Kraft und die Bewegungsrichtung nicht parallel zur x- Achse sind, dann gilt:

Δm’ · c2 = F’x · Δx’ + F’y · Δy’ + F’z · Δz’

↓

Fx ≠ F’x

Wir betrachten nun einen Körper K, der parallel zur y’-Achse unter einer Kraft Fy bzw. F’y bewegt wird.

Fy = Δpy/Δt; F’y = Δp’y /Δt’

Die Impulsänderungen sind in beiden Systemen gleich groß.

→ Fy = Δp’y/Δt

→ Fy = Δp’y/[( Δt’ + Δx’ · v /c2 )/k]

→ Fy = (Δp’y/Δt’) / {[ 1 + (Δx’\ Δt’) · v /c2 ]/k}; (Δx’\ Δt’) = 0

→ Fy = (Δp’y/Δt’) ·k → Fy = F’y · k

Aus der Sicht des ruhenden Beobachters misst der bewegte Beobachter zu einer Impulsänderung eine zu kurze Zeit und erhält damit eine zu große Kraft.