Herleitung des Biot-Savartschen Gesetzes

Es soll untersucht werden, wie ein kleiner Ausschnitt der Länge ΔL aus einem stromführenden Leiter zur magnetischen Kraftflussdichte an einem Punkt P außerhalb des Leiters beiträgt.

Abb. 1

In der Abb. 1 ist ein solches Leiterstück abgebildet. Der erwähnte Punkt P hat den Abstand r von ΔL . Die Verbindungsstrecke zwischen P und ΔL bildet mit letzterem den Winkel α. Bei P ist eine Ladung q , die sich mit der Geschwindigkeit v parallel zum Leiter bewegt. q erzeugt bei ΔL ein B nach B y = -v/c 2 · E z.

Ez erhalten wird nach dem Coulombschen Gesetz:

|E| = q/(4·π·ε 0·r 2) → E z = -q·sin α /(4·π·ε 0·r 2)

By = -v/c2 · Ez

↓

B y = q·v·sin α /(4·π·c 2·ε 0·r 2)

Auf das Leiterstück wirkt demnach die Kraft F z = I· ΔL·q·v·sin α /(4·π·c 2·ε 0·r 2)

Nach dem Wechselwirkungsgesetz wird eine gleich große magnetische Kraft F* parallel zur z-Achse auf die Ladung q ausgeübt.

F*z = -I· ΔL·q · v·sin α /(4·π·c 2·ε 0·r 2)

Diese Kraft weist auf eine von ΔL verursachte magnetische Kraftflussdichte ΔB am Punkt P hin.

F*z = q ·v· ΔB y → -I· ΔL·q·v·sin α /(4·π·c 2·ε 0·r 2) = q ·v· ΔB y

ΔB y = -I· ΔL·sin α /(4·π·c 2·ε 0·r 2); c 2 = 1/(ε 0·µ 0)

ΔB y = -I· ΔL·µ 0·sinα /(4·π·r 2): Gesetz von Biot-Savart