1.4.1 Bewegung unter konstanter Kraft

Es gibt eine Vielzahl von Bewegungen, die unter konstanter Kraft ablaufen. Man denke zum Beispiel an einen Wagen auf einer schiefen Ebene, an das Abbremsen eines Autos oder den Wurf eines Körpers. Bei der Behandlung solcher Bewegungsarten beschränken wir uns zunächst auf die geradlinige Bewegung. Man stelle sich einen Körper K der Masse m vor, der unter einer Kraft F entlang der x-Achse bewegt wird (siehe Abb. 1).

Abb. 1

Zum Zeitpunkt t = 0 befindet er sich am Ort x0 und hat die Anfangsgeschwindigkeit v1;0 .

Kräfte, Beschleunigungen und Geschwindigkeiten in x-Richtung erhalten den Zeiger (Index) 1.

Welche Geschwindigkeit v1 hat der Körper zu einem späteren Zeitpunkt t?

Es gilt: F1 = m · a1 → a1 = F1 /m

Da die Beschleunigung konstant ist, gehören zu gleichen Zeiten gleiche Geschwindigkeitsänderungen. Die Änderung der Geschwindigkeit v1 – v1;0 ist der Zeit t proportional.

(v1 – v1;0 )/t = a1 → v1 = a1 ·t + v1;0

Welchen x-Wert hat der Körper zum Zeitpunkt t ?

Bei konstanter Beschleunigung ist die mittlere Geschwindigkeit gleich dem Mittelwert aus Anfangs- und Endgeschwindigkeit.

(x - xo)/t = (v1 + v1;0 )/2

v1 = a1 ·t + v1;0

↓

(x-x0)/t = ( a1 ·t + v1;0+ v1;0 )/2 = ½ · a1 ·t + v1;0 → x = ½ · a1 ·t² + v1;0 ·t +x0

Bei einer räumlichen Bewegung von K erhält man für dessen Projektionen P1, P2, und P3 auf die Achsen (siehe Abb. 2):

v1 = a1·t + v1;0 ; x = ½ · a1 · t2 + v1;0· t + x0

v2 = a2·t + v2;0 ; y = ½ · a2 · t2 + v2;0 · t + y0

v3 = a3·t + v3;0 ; z = ½ · a3 · t2 + v3;0 · t + z0

v1;0 , v2;0 ,v3;0 : Geschwindigkeiten zum Zeitpunkt t = 0

x0, y0, z0 : Koordinaten von K zum Zeitpunkt t = 0.

Die Beschleunigungen können bei konstanter Masse aus den Kraftkomponenten

F1 = m· a1 , F2 = m· a2, F3 = m· a3 bestimmt werden.

Abb. 2

Die zuletzt angegebenen Gleichungen werden zu Vektorgleichungen zusammengefasst.

{v1 ; v2 ; v3 } = {a1 ; a2 ; a3 }· t + {v1;0 ; v2;0 ; v3;0 }

v = a·t + v0

{x ; y ; z } = ½ · {a1 ; a2 ; a3 }· t2 + {v1;0 ; v2;0 ; v3;0 } ·t + {x0 ; y0 ; z0 }

r = ½ ·a·t2 + v0 · t + r0

r = {x ; y ; z } ; r0 = {x0 ; y0 ; z0 }

Wirkt keine Kraft ( a =0), dann verläuft die Bewegung gleichförmig nach r = v0 · t + r0 .

K weicht zum Zeitpunkt t um ½ ·a·t2 von dem Ort P’ ab, den K zu diesem Zeitpunkt bei fehlender Kraft erreicht hätte und hat dann in Bezug auf P’ die Geschwindigkeit a · t.

Vorführung mit „218“ und „START“

Aufgaben

Anwendungsbeispiel: Der Wurf