Berechnung einer Bewegung in einem rotierenden System unter Berücksichtigung der Zentrifugal- und Corioliskraft

Die Bewegung in einem rotierenden System wird nur dann richtig berechnet, wenn man neben den wirklichen Kräfte auch noch die Zentrifugal- und die Corioliskraft in die Rechnung eingehen lässt.

Beispiel:

Wir stellen uns einen Punkt P vor, der sich im ruhenden System auf einem Strahl nach s = v· t gleichförmig bewegt. Aus der Sicht eines mit der Winkelgeschwindigkeit ω links herum rotierenden x,y-Systems wird dieser Strahl mit der Winkelgeschwindigkeit ω nach rechts gedreht und bildet zum Zeitpunkt t den Winkel ω· t mit der x-Achse. In der Abb. 2 ist die Bahn im rotierenden System dargestellt.

Nach Eingabe von „30“ und „START“ erfolgt eine Vorführung.

x = v · t · cos(ω· t) ; y = - v · t · sin(ω ·t)

Abb. 1 | Abb. 2

Nach Eingabe von „162“ und „START“

kann das nebenstehende Programm zur Darstellung der in Abb. 2 sichtbaren Bahn nach x=v·t·cos(ω·t) und y=- v·t ·sin(ω·t) ausgeführt werden .

Anfangsbedingungen

|x|y|t|h|v|w|=|0|0|0|0.001|0.5|4|

wiederhole bis t>6

x=v*t

x =cos(w*t)*v*t

y=-v*t*sin(w*t)

t=t+h

_x;y;;10

zurück

Für einen Beobachter im rotierenden System ist die Zentrifugal- und die Corioliskraft für die Bahn maßgebend. Er berechnet mit Hilfe dieser Kräfte die gleiche Bahn.

Die Zentrifugalkraft hat den Betrag m·ω 2 · r und die Koordinaten Z x = ω 2 · x und Z y = ω 2 · y (siehe Abb. 3). Die Corioliskraft hat den Betrag 2·m·ω·v und die Koordinaten C x = 2 · m· ω· v y und C y = - 2 · m· ω· v x (siehe Abb. 4).

Abb. 3 | Abb. 4

Die Coriolis- und die Zentrifugalkraft haben zusammen die Kraftkoordinaten:

Fx = 2·m·ω·vy + m·ω2 · x; Fy = -2·m·ω·vx + m·ω2 · y.

→ ax = 2·ω·vy + ω2 · x; ay = -2·ω·vx + ω2 · y

Nach Eingabe von „162“ und „START“ kann nicht nur das oben stehende Programm, sondern auch noch das nächste Programm ( es steht unter dem ersten Programm) ausgeführt werden. Mit ihm wird die Bahn unter der Einwirkung der Zentrifugal- und Corioliskraft berechnet.

|x|y|t|h|v|V|m|w|f|=|0|0|0|0.001|0.5|0|1|4|0| wiederhole bis t>6 b=a a=2*w*V+ w*w*x c=a+(a-b)/2*f B=A A=-2*w*v+w*w*y C=A+(A-B)/2*f f=1 x=0.5*c*h^2+v*h+x y=0.5*C*h^2+V*h+y v=c*h+v V=C*h+V t=t+h _x;y;;1 zurück | v = v x ; V = v y ; a = a x ; A = a y ; w = ω; h = Δ t Anfangsgeschwindigkeit vx = 0,5m/s Anmerkungen zum Programm: Wird zur Berechnung der Änderungen von v, und x (Geschwindigkeit und Ort) während eines kleinen Zeitabschnitts h (Δt) die Beschleunigung a zu Beginn des Zeitabschnitts genommen, dann führt dies zu kleinen Fehlern, da sich die Beschleunigung innerhalb von h (Δt) ein wenig ändert. Zur Verringerung dieses Fehlers wird im Programm die Beschleunigung c in der Mitte des Zeitabschnitts h (Δt) zur Berechnung von Δx und Δv eingesetzt. Für die Änderung Δa der Beschleunigung in Δt/2 kann geschrieben werden: Δa ≈ (avor Δt – anach Δt )/2 Da anach Δt zunächst unbekannt ist, wird das zum letzten Zeitabschnitt gehörende Δa genommen. Δa = (a – b)/2 → C = a+ (a – b)/2 b = Beschleunigung zu Beginn des letzten Zeitabschnitts der Dauer h. Die Variable f (Anfangswert = 0) wurde eingeführt, damit a – b wegen des zunächst noch undefinierten b nicht in den ersten Rechenschritt eingeht .
Abb. 5 | In Abb. 5 ist die mit dem letzten Programm berechnete Bahn (schwarz) zusammen mit der Bahn zu sehen, die in Abb. 2 dargestellt ist (rot). Die schwarze Bahn liegt auf der roten Bahn.