1.13.1 Quer- und Längswellen

Seilwelle

Abb. 1

In Abb. 1 ist ein Seil zu sehen, welches mit der Kraft F zwischen den Punkten A und B aufgespannt ist. Wird auf das eine Ende dieses Seils geschlagen, dann bildet sich eine Verformung aus, die sich selbständig zum anderen Ende hin mit einer Geschwindigkeit v ausbreitet. Was sich hier mit v bewegt, ist kein Teil des Seiles, sondern eine Zustandsänderung des Seils. Eine sich ausbreitende Zustandsänderung wird Welle genannt. In dem hier beschriebenen Fall spricht man von einer Seilwelle.Die Berechnung der Geschwindigkeit, mit der sich diese Seilwelle ausbreitet erscheint zunächst sehr schwierig.

Wie soll F= m·a angewandt werden ?

Eine Änderung in der Betrachtungsweise bringt bekanntlich oft völlig unerwartete Einsichten. Dies ist auch hier der Fall. Man muss mit den Augen eines Beobachters schauen, der die Verformung (Wellenberg) mit der Wellengeschwindigkeit v begleitet.

Abb. 2

Er sieht das Seil unter dem Einfluss von Zentralkräften FZ mit v durch einen Bogen fließen (Abb. 2).

Abb. 3

Wir betrachten ein Bogenstück s aus dieser Seilwelle zwischen den Punkten S und T mit der Masse m (Abb. 3). Die Zentripetalkraft Fz = m·v2 /r auf dieses Bogenstück ist die Resultierende der bei S und T angreifenden Fadenzugkräfte F1 und F2 mit übereinstimmenden Beträgen F. r ist der sogenannte Krümmungsradius von s, hierunter verstehen wir den Radius des Kreises, der dem Bogenstück s angepasst werden kann.

F z/2 = F· sin(α / 2) → F z = 2·F· sin(α /2) → m·v 2/r = 2·F· sin(α /2)

m/s = σ (σ = längenbezogene Dichte) → m = s·σ

s = α·r (α = Winkel im Bogenmaß) → m = α ·r ·σ

Setzt man α ·r ·σ für m in 2·F· sin(α /2) = m·v2 /r ein, dann gelangt man zu:

2·F· sin(α /2) = α·r·σ·v2/r → 2·F· sin(α /2) = α·σ·v2

Bei kleinen Winkeln α kann geschrieben werden: sin(α /2) = α /2

2·F· sin(α /2) = α·σ·v2 → 2·F· α /2 = α·σ·v2 → F = σ ·v2 → v = √(F/ σ)

Messung der Wellengeschwindgkeit

Abb. 4

Ein dünnes Seil ist zwischen einem Scharnier Sa an der Experimentierwippe und einer um s = 5 m entfernten Rolle aufgespannt (siehe Abb. 4). Das angehängte Gewicht sorgt für eine bestimmte Zugkraft F. Mit einem kurzen Schlag auf das Seil entsteht eine Welle, die zwischen R und Sa mehrfach hin und her reflektiert wird. Die Erschütterung, welche die Wippe bei einer Reflexion erfährt, wird von einem Rechner registriert. Die Zeitdifferenz t zwischen zwei aufeinander folgenden Erschütterungen ist die Laufzeit einer Welle entlang einer 10 m langen Strecke. 2·s/t = Wellengeschwindigkeit.

Federwelle

Eine lange Schraubenfeder der Länge L und der Masse m ist unter der Zugkraft F zwischen einer Wand und der Hand eines Schülers aufgespannt. Der Schüler zieht plötzlich ruckartig an der Feder und erzeugt damit nahe seiner Hand einen stärker gedehnten Bereich B. B bewegt sich anschließend mit einer Geschwindigkeit v über die gesamte Feder (siehe Abb. 5). Er wird an den Enden hin und her reflektiert und breiter.

B ist eine Welle.

Abb. 5

Wünscht man eine Gleichung für die Wellengeschwindigkeit v, dann sollte man zum besseren Verständnis,wie im Falle der Seilwelle, mit den Augen eines Beobachters schauen, der B mit v begleitet. Aus seiner Sicht wandert eine Windung nach der anderen von rechts mit der Geschwindigkeit v in B hinein. Die Windungen mit der Anfangslänge L' und der Masse m' werden gedehnt, was zu einer Beschleunigung der Schwerpunkte führt. Schließlich nimmt die Dehnung der Windungen wieder ab. Die Schwerpunkte werden auf die Geschwindigkeit v gebremst (siehe Abb. 6).

Abb. 6

Für die Beschleunigung a einer Windung ist die Resultierende aus den links und rechts angreifenden Zugkräften maßgebend (siehe Abb. 7).

Abb. 7

Wir denken uns die Windungen in B von links nach rechts nummeriert. Die Nummer 1 ist gerade in B eingetreten. Für die Beschleunigung an der n. Windung der Masse m' gilt:

m'·an = Fn – Fn-1

Fn-1 ist nach dem Wechselwirkungsgesetz gleich der von rechts wirkenden Zugkraft auf die n-1. Windung. Für die nachfolgenden Windungen n-1, n-2....2, 1 gilt :

m'·an-1 = Fn-1 – Fn-2

m'·an-2 = Fn-2 – Fn-3

…..................

m'·a2 = F2 – F1

m'· a1 = F1 – F

↓

m'·an + m'·an-1 + …..+ m'·a2 + m' a1 = Fn – Fn-1 + Fn-1 – Fn-2 +....+F2 – F1 + F1 – F

m'·(an +an-1 + …..+a2 + a1 )= Fn – F

Die Zugkraft auf die n. Windung ist in B um Fn – F = m'·(an +an-1 + …..+a2 + a1 ) größer geworden. Nach dem Federgesetz hat diese Windung somit in B eine Dehnung um ΔL'=m'·(an +an-1 + …..+a2 + a1 )/D' erfahren. D' ist die Federkonstante einer Windung.

Wenn B in der Zeit Δt eine weitere Windung erfasst, dann rückt die n-1. Windung an die Stelle der n.Windung und verschiebt diese um L' + ΔL'.

(L' + ΔL')/Δt = v+ΔL'/Δt ist ihre Geschwindigkeit. Der Geschwindigkeitszuwachs ΔL'/Δt = [m'·(an +an-1 + …..+a2 + a1 )/D']/ Δt kann auch auf andere Art berechnet werden.

Die n. Windung hat als 1., 2. , 3. , ...n. Windung die Geschwindigkeitszuwächse a1· Δt, a2· Δt, a3· Δt, usw. erfahren.

ΔL'/Δt = a1· Δt + a2· Δt + a3· Δt +...........+ an· Δt = Δt·(an +an-1 + …..+a2 + a1 )

↓

m'·[(an +an-1 + …..+a2 + a1 )/D'] /Δt = Δt·(an +an-1 + …..+a2 + a1 )

↓

m'/D' = Δt2 → v = L'/ Δt = L' · √(D'/m')

D' und m' kann anhand der Masse m und der Federkonstanten D der gesamten Feder berechnet werden. j sei die Zahl ihrer Windungen.

m = j·m' → m' = m / j

Ist eine Windung um ΔL' gedehnt, dann ist die gesamte Feder bei gleichmäßiger Dehnung um j · ΔL' verlängert. In diesem Fall ist die Kraft einer Windung gleich der Kraft der gesamten Feder.

D·j·ΔL' = D'·ΔL' → D' = j·D

↓

v = L' · √[D·j / (m / j)] = L' · √(D·j2 / m) = j·L'· √(D / m); j·L' ist die Federlänge L

↓

v = L· √(D / m)

Die Seilwelle und die Federwelle sind Beispiele für Quer- und Längswellen. Verursacht eine Welle Änderungen quer zur Bewegungsrichtung, dann spricht man von einer Querwelle (Transversalwelle), andernfalls von einer Längswelle (Longitudinalwelle). Als Beispiel einer Längswelle ist auch die Schallwelle zu nennen. Platzt ein Luftballon, dann breitet sich ein Überdruckbereich mit ca. 330 m/s aus; er wird als Knall wahrgenommen.