Ausflug in die Differentialrechnung

Dieser Ausflug ist vorerst nicht zum Verständnis der Mechanik nötig !

Zu einer Bewegung nach s = k· t2 wurde die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t nach v = ds/dt = lim Δs/Δt ( Δt → 0) = 2·k· t berechnet. Es sind andere Weg - Zeit- Gesetze denkbar wie z.B. s = k·t3 , s = k · t4 , s = k·t2 + j·t3 , s = A · sin( k· t) usw.. Es werden Regeln gewünscht, nach denen in jedem Fall ds/dt gebildet werden kann. Einige Regeln werden nun hier angegeben und darüber hinaus einige dazu passende Begriffe erläutert.

1. Zum Begriff „Grenzwert“

Der Begriff „Grenzwert“ wurde in Verbindung mit der folgenden Tabelle genannt. Die zweite Spalte dieser Tabelle enthält Δs zu Zeitabschnitten Δt verschiedener Dauer, die auf den Zeitpunkt t = 1 s folgen. Sie wurden nach s = 8,9 cm/s2 · t2 berechnet. Die Folge der Werte Δs/Δt, die wir der Reihe nach mit a1 , a2 , a3 ... bezeichnen, strebt gegen 17,80008 cm/s.

Δt | Δs | Δs/Δt
0,1 s 0,01 s 0,001 s 0,0001 s 0,00001 s ….. | 1,869 cm 0,17889 cm 0,017808 cm 0,00178008 cm 0,00017800089 cm ….. | 18,69 cm/s =a1 17,889 cm/s =a2 17,808 cm/s =a3 17,8008 cm/s =a4 17,800089 cm/s =a5 …..

Man sagt, die Folgenglieder an rücken mit wachsendem n ( n = Ordnungszahl des Folgengliedes) an G = 17,8 beliebig nahe heran und nennt G den Grenzwert der Folge.

Was heißt „beliebig nahe heran“ ?

Zur Beantwortung dieser Frage muss der Begriff „ε-Umgebung“ eingeführt werden. Unter einer ε-Umgebung ( ε> 0) von G versteht man die Gesamtheit aller Zahlen zwischen G-ε und G+ ε liegt (siehe Darstellung in auf der Zahlengeraden in Abb. 1).

Abb. 1

Die Aussage „eine Folge rückt beliebig nahe an einen Wert G“ ist wie folgt zu verstehen:

Nach Wahl einer ε-Umgebung von G ( ε kann beliebig klein sein) kann immer ein Folgenglied gefunden werden, welches mit seinen Nachfolgern in der ε-Umgebung liegt. Wählt man für die obige Folge ε = 0,001, dann fällt a4 mit seinen Nachfolgern in die ε-Umgebung von G = 17,8 cm/s. Bei einem ε = 0,0001 fällt a5 mit seinen denkbaren Nachfolgern in die ε-Umgebung von G = 17,8 cm/s.

Die ε-Umgebung macht eine genauere Definition eines Grenzwerts möglich. Grenzwert zu einer Folge an wird ein Wert G genannt, wenn nach Wahl einer ε-Umgebung von G immer ein Folgenglied gefunden werden kann, das mit seinen Nachfolgern in dieser ε-Umgebung liegt. Die Zahlen an in der ε-Umgebung haben von G einen Abstand < ε → |G - an| < ε .

2. Zum Begriff „ Differentialquotient“

In der Mathematik ist es üblich, die unabhängige ( frei wählbare ) Variable ( hier die Zeit t) mit x und die abhängige Variable ( hier s) mit y zu bezeichnen. Die Bildung von dy/dx wird differenzieren genannt. dy/dx heißt Differentialquotient oder Ableitung. Für dy/dx ist die Kurzbezeichnung y’ üblich.

y’ = dy/dx

Für die Ableitung von y = f(x) wird auch f ’(x) geschrieben.

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Es wird die Bildung einer linksseitigen- und einer rechtsseitigen Ableitung vorgeführt. Sind die Δx <0 ( x > x+ Δx), dann spricht man von einer linksseitigen, andernfalls von einer rechtsseitigen Ableitung. Differenzierbar an der Stelle x nennt man eine Funktion dann, wenn die beiden Ableitungen übereinstimmen.

3. Zum Begriff „Ableitungsfunktion“

Mit der Ableitung zu einem beliebig wählbaren x hat man eine neue Funktion; man nennt sie Ableitungsfunktion. So ist y = 2·x die Ableitungsfunktion von y = x2 und y = 3·x2 die von y = x3.

Nach Wahl von „187“ und „START“ können die Funktionen y = sin(x) und y = cos(x) und deren Ableitungsfunktionen dargestellt werden.

4. Differentiationsregeln

Regel zum Differenzieren von y = xn Behauptung : y’ = n · xn-1. Die Potenz ist mit dem Exponenten zu multiplizieren, der Exponent ist um 1 zu verkleinern. Beweis für ganze positive Zahlen n | Regel zum Differenzieren y = a · f(x) a ist eine Konstante, f(x) steht für x2 oder x3…. y’ = a · f ’(x), f ’(x) = df(x)/dx Die Ableitung von f(x) wird mit a multipliziert. Beispiel: y = 3·x4 , y’ = 3 ·(4·x3) = 12 · x3 Beweis
Regel zum Differenzieren von y = f(x)+ g(x) y’ = f ’(x) + g’(x) Die Ableitung ist gleich der Summe aus den Ableitungen der Summanden. Beispiel: y = 2·x2 + 5 · x y’ = 4 ·x + 5 ·x0 = 4 ·x + 5 Beweis | Kettenregel Eine Funktion ist durch 2 Funktionen in folgender Weise definiert: y = f(u); u = g(x) Man spricht von der Verkettung zweier Funktionen. dy/dx = dy/du · du/dx Beispiel : y = (2·x2+4)3 y = u3 ; u = (2·x2 +4) y’ = 3· u2 · 4·x y’ = 3 · (2·x2 +4)· 4 · x Beweis
Regel zur Differentiation der Winkelfunktionen y= sin(x) und y=cos(x) x steht für das Bogenmaß eines Winkels ! Nach der Wahl von „187“ und „START“ können y=sin(x) und y=cos(x) und deren Ableitungsfunktionen graphische dargestellt werden. Es ist erkennbar: y = sin(x), y’ = cos(x) y = cos(x), y’ = - sin(x) | Regel zur Differentiation von y= ex Nach Wahl von „188“ und „START“ kann die Funktion y=ex und die zugehörige Ableitungsfunktion dargestellt werden In das Rechenfenster von „Mathe.-Physik“ wird ex in der Form exp(x) eingetragen. Es ist zu erkennen: y=ex ist eine Funktion, die mit ihrer Ableitungsfunktion übereinstimmt.
Produktregel der Differentiation Die Funktion sei als Produkt gegeben: y = f(x) · g(x) In diesem Fall gilt: y’ = df(x)/dx · g(x) + f(x) · dg(x)/ d(x) Beispiel : y = x2 · sin(x) y’ = 2· x · sin(x) + x2 · cos(x) Beweis | Quotientenregel Die Funktion sei als Produkt gegeben: y = f(x) /g(x) In diesem Fall gilt: y’ = [df(x)/dx · g(x) - f(x) · dg(x)/ d(x)]/g(x)2 Beispiel : y = x2 / sin(x) y’ = [2· x · sin(x) - x2 · cos(x)]/sin2(x) Beweis