1.7.1 Schiefer Wurf unter Berücksichtigung der Luftreibung

Unter 1.6.4.3 wurde ein Gesetz zur Reibungskraft in Luft behandelt. Dies dort aufgestellte Reibungsgesetz muss berücksichtigt werden, wenn es darum geht, die Bahn einer Kanonenkugel zu berechnen. Die Bewegung einer solchen Kugel weicht infolge der Luftreibung erheblich von einem Parabelbogen ab. In der Schule ist die mathematische Behandlung dieser Bewegung nur mit Hilfe eines Rechners möglich. Hierbei wird in folgender Weise vorgegangen:

Die Bewegungszeit wird in sehr kleine Zeitabschnitte Δt = h zerlegt. Ein h ist so klein gewählt, dass innerhalb dieses Abschnitts die Kraft als konstant angesehen werden kann. Mit den für konstante Kraft geltenden Bewegungsgleichungen wird die Orts- und Geschwindigkeitsänderung während des ersten Zeitabschnitts h unter Berücksichtigung der für h geltenden Kraft berechnet.

Nach dieser Rechnung ist der Ort und die Geschwindigkeit zu Beginn des zweiten Abschnitts h bekannt. Wie zuvor wird für den nächsten Zeitabschnitt der Dauer h gerechnet usw.

a1 = F1/m; v1 = a1·h + u1; x = 0,5 · a1 · h² + u1 · h + x0

a2 = F2/m; v2 = a2·h + u2 ; y = 0,5 · a2 · h² + u2 · h + y0

a1 , a2 (a ; A) Beschleunigungen in x- und y-Richtung; u1, u2 : Anfangsgeschwindigkeiten; v1, v2 (v ;V) : Geschwindigkeiten nach h

x0, y0: Koordinaten des Ortes vor h; x, y : Ortskoordinaten nach h

Abb. 1

Die der Geschwindigkeit entgegen gerichtete Reibungskraft F ist v2 proportional. F/v2 = k; F = k·v2

Die Komponenten der Reibungskraft F werden so berechnet, wie dies an Abb. 1 zu sehen ist. -g · m ist die neben der Reibungskraft wirkende Gewichtskraft. Sie ist ebenfalls durch ein Minuszeichen gekennzeichnet, da die y-Achse nach oben weist. Für die beiden Kraftkomponenten F1 und F2 der Resultierenden aus der Reibungs- und der Gewichtskraft gilt demnach:

F1 = - k · v · v1; F2 = -g · m - k · v · v2

→ a1 = - k · v · v1 / m; a2 = - g – k · v · v2 / m

Mit dem nachfolgenden Programm, ausführbar im Tabellenfenster von „Mathe.-Physik“ , kann die Bewegung einer Kanonenkugel simuliert werden (siehe Abb. 3). Der rote Graph in der Abb. 3 beschreibt die Steigung der Bahn. Er wurde mit “Mathe._Differenzieren“ angelegt. Bei der Steigung 0 ist der höchste Punkt erreicht.

|v|V|x|y|h|k|g|m|=|15|15|0|0|0.003|0.1|-10|1|: Anfangsbedingungen wiederhole bis n=1 w=wrz(v*v+V*V) a=-k*w*v/m A=g-k*w*V/m x=a/2*h^2+v*h+x v=a*h+v y=A/2*h^2+V*h+y V = A*h+V _x;y zurück | wrz(v^2+V^2) steht für Wurzel aus (v2 + V2) a = a1 ; A = a2 ; v = v1; V = v2; w = Bahngeschwindigkeit v Rechts stehen die alten, links die neuen Werte (nach h) _x;y bewirkt, dass ein Punkt P(x|y) gesetzt und mit seinem Vorgänger verbunden wird. Da die Bedingung „n = 1“ niemals erfüllt wird, kann das Programm nur mit einem Mausklick (Rechtsklick) abgebrochen werden. Zur Ausführung des Programms muss nach dem Eintrag von „15“die Taste „START“ angeklickt werden !
Abb. 2 | Mit „16“ und „START “ wird das Menü „Simulation (Hauptmenü)“ gezeigt, mit dem auch eine Möglichkeit zur Simulation eines Wurfes gegeben ist ! Im Menü ist „x-y-Diagramme“ zu wählen ! Die Simulation ist mit einem Mausklick abzubrechen !