3.3.11 Entladung und Aufladung eines Kondensators

In 3.3.10 wurde darauf hingewiesen, dass es schwierig ist, die Spannung eines Kondensators mit kleiner Kapazität mit üblichen Voltmetern zu messen, weil die Ladung zu schnell über das Voltmeter abfließt.

Wie schnell wird ein Kondensator über einen Widerstand entladen (siehe Abb.1)?

Auf diese Frage soll nun eine Antwort gefunden werden.

Abb. 1

Nach der Definition der Kapazität C = Q/U gilt für die Spannung zwischen den Kondensatoranschlüssen: U = Q/C. Nach dem Schließen des Schalters S fließt ein Strom der Stärke I nach Q/C = I· R → I = Q/ (C· R) und vermindert in der kleinen Zeitabschnitts Δt die Ladung Q um ΔQ=I·Δt=Q/(C·R)·Δt. Δt ist so klein gewählt, dass sich die Stromstärke in dieser Zeit kaum verändert. Die Ladung zu Beginn von Δt wird mit Q und die am Ende mit Q’ bezeichnet.

Q’ = Q –I · Δt; I = Q/ (C· R)

↓

Q’ = Q – Q/ (C · R) · Δ t = Q · [1 – 1/(R·C) ·Δ t ]

↓

U’ = U · [1 – 1/(R·C) · Δ t ] U, U’ : Spannungen vor und nach Δt

Mit „57“ und „START“ wird das nebenstehende Programm zur Berechnung der Spannungsabnahme aufgerufen.

Anfangsbedingungen:

|U|R|C|t|T|h|=|10|1000|0.002|0|10|0.01|

C = 0,002 F; R = 1000 Ω

Anfangsspannung U = 10V

Programm:

wiederhole bis t>T

U=U*(1-1/(R*C)*h)

t=t+h

_t;U

zurück

Mit der zweiten Zeile nach „wiederhole bis..“ wird die Spannung nach Δt = h berechnet. U auf der linken Seite steht für U’. t = t+h in der dritten Zeile steht für die neue Zeit nach Δt = h. Der Befehl„_t;U“ bewirkt, dass ein Punkt P(t|U) gesetzt und mit seinem Vorgänger verbunden wird. Wenn die drei Programmzeilen für ein kleines Δt = h abgearbeitet sind, dann werden die gleichen Programmschritte für den nächsten Zeitabschnitt Δt = h vollzogen. Mit der Zeile über dem Programm werden die Anfangsbedingungen festgelegt.

Der Start erfolgt mit einem Doppelklick auf „Wiederhole bis..“

Vor dem Start müssen die Anfangsbedingungen doppelt angeklickt werden !

Das mit dem obigen Programm gezeichnete Diagramm (Abb. 2) ähnelt sehr dem Diagramm, welches die Massenabnahme in einem zylindrischen Gefäß mit textilem Boden beschreibt. Dies wird verständlich, wenn wir die folgenden Gleichungen gegenüberstellen.

Massenabnahme im Gefäß Δm = m · k · Δt

Ladungsabnahme im Kondensator: Δ Q = Q · [1/ (C· R) ] · Δ t

### Abb. 2

Angesichts der Ähnlichkeit dieser Gleichungen kann von der für die Massenabnahme gültigen Gleichung

#### m = m0 · e –k·t auf Q=Q0 · e – t/ (R· C) bzw. U = U0 · e – t/ (R· C) geschlossen werden.

Nach Aufruf des obigen Programms im Tabellenfenster von „Mathe.-Physik“ ist unter dem Programm die Funktion

f(t)=10*exp(t/(R*C)) zu sehen.

exp(t/(R*C)) steht für e – t/ (R· C)

Nach einem Doppelklick auf dem Funktionsterm wird ein Funktionsgraf genau auf die vom Programm erzeugte Kurve gezeichnet.

Zur Beschreibung des Entladungstempos wird meistens die Halbwertszeit angegeben, es ist die Zeit th, während der die Spannung auf die Hälfte ihres Anfangswertes absinkt. Für diese Halbwertszeit gilt:

U/U'0 = ½ = e – th / (R· C) → ln (½) = -th / (R· C) → ln (2) = th / (R· C) → th = R·C · ln (2)

th = R·C · ln (2); ln(2) = 0.693147180559945 → th ≈ R·C · O,7

Beispiel: R = 1000 Ω, C = 0,002 F = 2 mF

th = 1,4 s

Wie entwickelt sich die Kondensatorspannung bei einerAufladung (siehe Abb. 3 ) ?

Abb. 3

Die Summe aller Spannungen in der Leitermasche ist 0: U – UB + I· R = 0

I = dQ/dt; Q = C · U → I = C · dU/dt

Für kleine Δ t gilt:

U – U B + R ·C· ΔU/Δt = 0 → ΔU = (U B – U)·Δt / (R · C)

Ist U die Spannung vor Δt dann ist die Spannung nach Δt gleich U’ = U + ΔU

U’ = U + (UB – U)·Δt / (R · C)

↓

UB – U’ = (UB – U) · [1 - Δt / (R · C)]

Für die Entladung wurde gefunden: U’ = U · [1 – Δt/(R·C) ]

U verhält sich bei der Entladung so wie UB – U (Abweichung von der Maximalspannung) bei der Aufladung.

↓

U B – U = (U B – U Anfang ) · e-t/(R·C) → U B – U = U B · e-t/(R·C) → U = U B · ( 1 - e-t/(R·C) )

siehe Abb. 4

Abb. 4

Untersuchung einer Kondensatorentladung mit dem Cassy-E von Leybold bei Verwendung des Messprogramms „MauS“