3.3.5 Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen

In der unter 3.3.4 behandelten Wheatstonebrücke sehen wir Widerstände, die in Reihe und solche die parallel geschaltet sind. Abb. 1 ist die Darstellung einer Reihenschaltung und Abb. 2 die einer Parallelschaltung.

Abb.1 Abb.2

Bei der Untersuchung von Leiternetzen wird immer wieder die Frage nach dem Gesamtwiderstand R solcher Widerstandspaare gestellt. Vermutlich ist bei der Reihenschaltung der Gesamtwiderstand gleich der Summe der Einzelwiderstände

R = R1 + R2

und bei Parallelschaltung der Kehrwert des Gesamtwiderstands gleich der Summe aus den Kehrwerten der einzelnen Widerstände.

1/ R = 1/R1+1/R2

Für die letzte Vermutung spricht die folgende Tatsache:

Wird zu einem Leiter mit dem Widerstand R1 ein zweiter Widerstand R2 parallel geschaltet, dann wird der Gesamtwiderstand R kleiner, der Kehrwert dieses Widerstands demzufolge größer.

1/R = I/U heißt Leitwert

Aus 1/ R = 1/R1+1/R2 folgt:

1/ R = (R2 + R1) / (R1 · R2)

Die geäußerten Vermutungen zur Reihen-und Parallelschaltung können leicht bewiesen werden.

1. Zur Reihenschaltung (siehe Abb. 1):

U = U1 + U2

U: Spannung zwischen dem Anfang und Ende des Widerstandspaars

U1: Spannung zwischen den Enden von R1

U2: Spannung zwischen den Enden von R2

U1 = I · R1

U2 = I · R2

↓

U = I · R1 + I · R2 = I · (R1 + R2 )

↓

R = U/I = R1 + R2

2. Zur Parallelschaltung (siehe Abb. 2):

I = I1 + I2

Der von der Stromquelle kommende Strom wird in zwei Ströme aufgeteilt.

U = I1 · R1 ; U = I2 · R2

I1 = U / R1 ; I2 = U / R2

↓

I = U / R1 + U / R2 = U · (1 / R1 + 1 / R2 )

I/U = 1 /R = 1 / R1 + 1 / R2

Mit „194“ und „START“ wird ein Rechenprogramm zur Parallelschaltung aufgerufen

Änderung des Widerstandes eines Drahtes durch Biegung

In 3.3.4 wurde darauf hingewiesen, dass der Widerstand eines Drahtes abnimmt, wenn dieser ohne gleichzeitigen Zug gebogen wird. Dieser meistens unerwartete Effekt kann anhand von Abb. 3 erklärt werden.

Abb. 3

Ein Stück eines gekrümmten Leiters ist dargestellt, dessen rechte und linke Hälfte wie zwei parallel geschaltete Leiter behandelt werden können. Bei der Biegung wird der Widerstand der linken Hälfte um ΔR größer und der Widerstand der rechten um ΔR kleiner.

Nun gilt: Zwei parallel geschaltete Widerstände mit einer konstanten Widerstandssumme haben dann den größten Gesamtwiderstand R, wenn die Einzelwiderstände gleich sind. So ist der Gesamtwiderstand zweier parallel geschalteter 15Ω-Widerstände größer als der Widerstand, den ein 10Ω-Leiter mit einem 20Ω-Leiter bildet.