1.3.8 Bewegung eines Läufers (Momentanbeschleunigung)

Wie bewegt sich ein Rennläufer beim Start. Zur Beantwortung dieser Frage wird die in Abb. 1 sichtbare Messanordnung verwirklicht. Der Läufer spult von der Welle eines Dynamos (anklicken !) einen Faden ab. Da die elektrische Spannung der Geschwindigkeit des Läufers proportional ist, kann das zu diesem Vorgang gehörende Zeit - Spannungs - Diagramm als ein t-v-Diagramm aufgefasst werden.

Abb. 1

Von Interesse ist die Kraft beim Anlaufen.

Zu ihrer Berechnung muss die Beschleunigung zu einem interessierenden Zeitpunkt t ermittelt werden. Am Diagramm kann die Geschwindigkeitsänderung Δv abgelesen werden, die der Läufer in einem kleinen Zeitabschnitt Dt nach t erfährt. Δv/Δt, der Quotient aus dieser Geschwindigkeitsänderung und der zugehörenden Zeit, ist die mittlere Beschleunigung in Dt. In Abb. 1 sehen wir eine Gerade g, deren Steigung dieser mittleren Beschleunigung gleicht. Da sich die Kraft in Dt ändert, kann aus der mittleren Beschleunigung nicht auf die Kraft F zum Zeitpunkt t geschlossen werden. Dt muss so klein gemacht werden, dass sich die auf t folgende Kraftänderung kaum auswirken kann und demnach nur mit einem kleinen Fehler zu rechnen ist, wenn die Beschleunigung in Δt zur Berechnung der zum Zeitpunkt t wirkenden Kraft F genommen wird.

Lässt man zur Verringerung dieses Fehlers Dt nach und nach gegen 0 gehen, dann strebt die mittlere Beschleunigung gegen die zu F passende Momentanbeschleunigung a. Die den Änderungen Δt und Δv zugeordnete Gerade wird hierbei in eine Grenzlage gedreht. In dieser Grenzlage heißt sie Tangente T. An T kann die Momentanbeschleunigung bestimmt werden, die eine genaue Berechnung der Kraft F ermöglicht.

Der Grenzwert lim Δv/Δt (Δt → 0) wird als Momentanbeschleunigung a zum Zeitpunkt t bezeichnet.

Für lim Δv/Δt (Δt → 0) schreiben wir dv/dt (sprich dv nach dt)

a = dv/dt

Vom t-v-Diagramm zum t-a-Diagramm

Am t-v-Diagramm können Beschleunigungen ermittelt werden. Man erhält sie, indem man Tangenten anlegt und deren Steigung bestimmt. Das in Abb. 2 sichtbare Diagramm zeigt neben dem t-v-Diagramm eines Rennläufers das zugehörende t-a-Diagramm. Es fällt die erstaunlich hohe Anfangsbeschleunigung auf. Auf den 65 kg schweren Schüler wirkten kurzzeitig etwa 4500 N.

Abb. 2

Vom t-v-Diagramm zum t-s-Diagramm

Wie soll zum t-v-Diagramm ein t-s-Diagramm entwickelt werden ?

Wenn die Geschwindigkeit konstant ist, dann kann s nach s = v · t berechnet werden. Hier ist die Geschwindigkeit leider nicht konstant. Wir müssen den Bewegungsabschnitt in viele kleine Zeitintervalle Δt zerlegen, innerhalb deren die Geschwindigkeit als annähernd konstant angesehen werden kann. Für die Wegänderung innerhalb eines solchen Intervalls können wir schreiben: Δs = Δt · v

Die Summe aller Δs gleicht dem Weg s. → s = Σ Δ s = Σ v · Δ t

Wie in Abb. 3 angedeutet ist, kann das Produkt v ·Δt durch den Flächeninhalt einer streifenförmigen Fläche dargestellt werden. k und h beschreiben die Längen, die einer Geschwindigkeits- bzw. Zeiteinheit entsprechen. Teilt man die gesamte Fläche unter dem Diagramm durch k · h, dann erhält man den zurückgelegten Weg s. Diese Tatsache ermöglicht die Entwicklung des rechts unten sichtbaren t-s-Diagramms z.B. mit Hilfe des Programms „Mathe.-Physik“.

Abb. 3

Die Bildung des t-s-Diagramms kann nach dem Eintrag von „40“ und „START“ durchgeführt werden.

Es erscheint eine Tabelle mit den Koordinaten des vorliegenden Diagramms. Zunächst wird das Diagramm durch Anklicken von „_a; b“ (setze alle Punkte a; b und verbinde sie miteinander) erzeugt. Anschließend kann diesem Diagramm mit „Mathe_Integralfunktion (Hauptmenü)“ ein t-s-Diagramm zugeordnet werden. Zuvor sollte das Diagramm mit „Diagrammausschnitt ( über dem Tabellenfenster !)“ auf eine passende Größe gebracht werden.

Nach Anklicken dieser Zeile erfahren Sie, wie die Koordinaten von Diagrammpunkten in ein Tabellenfenster kommen.