Trägheitsmoment einer Kugel

Eine Halbkugel wird in n ( Bsp.: n =1000) Scheiben gleicher Höhe eingeteilt.

Abb. 1

Das Trägheitsmoment einer solche Scheibe weicht bei feiner Aufteilung nur geringfügig von dem Trägheitsmoment eines Zylinders gleicher Dicke R/n ab, dessen Radius mit dem Radius der Scheibenunterseite übereinstimmt. Mit zunehmender Verfeinerung der Aufteilung streben die Unterschiede gegen 0.Der k. Zylinder in der Höhe k ·R/n mit der Masse m_k hat das Trägheitsmoment j (siehe Abb. 2).  

Abb. 2

j = ½ · m_k r² ;   r² + (k ·R/n)² = R²  ;     r² = R² · (1- k² / n² )

   j = ½ · m_k · R² · (1- k² / n² );  m _k = π ·r² · R/n · ρ       

ρ: Dichte des Materials

r² = R² · (1- k² / n² )

↓

m _k = π ·R² · (1- k² / n² ) · R/n · ρ ; j = ½ · m_k · R² · (1- k² / n² )

↓

     j = ½ ·  π · R⁵ · ρ· (1- k² / n² )² / n

Die Masse der Halbkugel ist m_H = 2/3 · π· R³ · ρ 

↓

 j/m_H = 3/4 · R² · (1- k² / n² )²/n   →     j = m_H · 3/4 · R² · (1- k² / n² )²/n

Die Summe aller Trägheitsmomente j ist das Gesamtträgheitsmoment J_H der Halbkugel

J_H = m_H · (3/4) · R² · { (1- 0² / n² )²/n + (1- 1² / n² )²/n + (1- 2² / n² )²/n  ……..}

(¾) · [ (1- 0² / n² )²/n + (1- 1² / n² )²/n + (1- 2² / n² )²/n  ……..] = s

Der  Wert s wird für n = 1000 mit dem folgenden Programm berechnet:

n= 1000;s=s+3/4*(1-l^2/(1000^2))^2/1000; l=l+1

Berechnung ausführen!

Das Programm liefert für n = 1000 (1001 Rechnungen) den Wert  s = 0,400374  (siehe Variablenfeld „s =“) und für n = 10000 den Wert 0,40003.  

   s strebt mit wachsendem n gegen 2/5.

J_H = 2/5 · m_H · R²

  J_Vollkugel = J = 2/5 · 2· m_H · R² ;     2· m_H = m_Vollkugel = m

J_Vollkugel = 2/5 · m · R²

Zur Berechnung des Kugelvolumens