Berechnung des Zylinderträgheitsmoments J
Zur Berechnung des Trägheitsmoments J denken wir uns den Zylinder mit dem Radius R, der Masse m und der Breite B in n konzentrische, dünnwandige Hohlzylinder (siehe Abb. 1) mit den Radien rk und den Wanddicken d = R/n eingeteilt (Bsp.: n = 1000).
Abb. 1
Für das Trägheitsmoment j eines solchen dünnwandigen Hohlzylinders mit der Masse mk gilt:
j = mk · rk2
mk = 2·π·rk ·B· (R/n) ·ρ
B = Breite des Zylinders, R/n = Wanddicke des Hohlzylinders (n =1000), ρ = Dichte des Materials
↓
j = 2·π·rk ·B· (R/n) ·ρ ·rk2 = 2· π· B · ρ ·R4 ·(rk /R)3/n
Das Gesamtträgheitsmoment J des Vollzylinders erhalten wir durch Summation der einzelnen j.
J = 2· π· B · ρ ·R4 ·[(r1/ R)3 /n + (r2/ R)3 / n + (r3/ R)3 / n........]
[(r1/ R)3 /n + (r2/ R)3 / n + (r3/ R)3 / n........] = s
J = 2· π· B · ρ ·R4 ·s
r1 = R/n, r2 = 2· R/n, r3 = 3· R/n……
s = [(1/ n)3/n + (2/n)3 /n +(3/n)3/n........]
Mit dem Programm n = 1000; L=L+1;s = s+(L/1000)^3/1000 in Rechenfenster von Rechner.html wird s für n = 1000 berechnet. Es liefert für n =1000 den Wert 0,250500. Mit wachsendem n strebt s gegen 0,25 = ¼.
J = ½ · π· B · ρ ·R4
Wie verhält sich dieses Trägheitsmoment zur Gesamtmasse m des Zylinders ?
m = π·R2 · B · ρ
J/m = ½ · R2 → J = ½ · m · r2