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Aufgaben

Die Lösungen zu diesen Aufgaben finden Sie in der zweiten Hälfte dieser Seite !

1. Ein Kind dreht sich in einem Kettenkarussell so, wie dies in der Abb. 1 angedeutet ist.

Welche Geschwindigkeit hat das Kind ?

Abb. 1

2. Eine mit Wasser gefüllte Küvette rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω = 15 s^-1 um ihre Symmetrieachse. Hierbei bildet das Wasser eine parabelförmige Oberfläche aus.

Bestimmen Sie den Funktionsgrafen y = k·x² der zugehörenden Parabel !

Abb. 2

3. Auf einer um eine senkrechte Achse mit der Winkelgeschwindigkeit ω = 2 s^-1 rotierenden Scheibe schwingt eine von einem Stab geführte Kugel K der Masse m = 100 g um den Scheibenmittelpunkt. Die Schwingungsfrequenz der Kugel auf einer ruhenden Scheibe beträgt 1 Hz.

Mit welcher Frequenz schwingt die Kugel auf der rotierenden Scheibe ?

Abb. 3

4. Eine Kugel wird auf einer mit ω = 2 s^-1 rotierenden Scheibe unter der Zentrifugalkraft auf einem Führungsstab nach außen beschleunigt.

Im Abstand 5 cm vom Scheibenmittelpunkt beginnt ihre Bewegung, dort wird sie freigegeben.

Aufgabe, die Schüler und Lehrer gemeinsam lösen sollten.

Schreiben Sie ein kleines Programm, welches den Abstand y=r der Kugel vom Scheibenmittelpunkt in Abhängigkeit von der Beschleunigungszeit t =x graphisch darstellt.Versuchen Sie anhand des mit diesem Programm gewonnenen t-y-Diagramms einen Funktionsgraphen zu finden, welcher den Abstand r=y der Kugel vom Scheibenmittelpunkt in Abhängigkeit von der Beschleunigungszeit t beschreibt

Abb. 4

Lösungen

Zu 1.:

Das Kind mit der Masse m hat von der Drehachse den Abstand r + d.      d = L ·sin(α).   Bei der Winkelgeschwindigkeit ω erfährt es die Zentrifugalkraft F_Z.

F_Z = m · ω² · [ r+ L ·sin(α)]

Die Resultierende aus F_Z und der auf das Kind wirkenden Gewichtskraft m · g ist parallel zu L.

m · ω² · [ r+ L ·sin(α)] / (m ·g) = tan(α)

ω = 1,12 s^-1

Abb. 5

Zu 2.:

Wir betrachten eine Wassermenge M der Masse m auf der Wasseroberfläche. Auf M wirkt die Gewichtskraft m ·g und die Zentrifugalkraft m·ω²·x ( x = r ! ). Da M nicht entlang der Oberfläche verschoben wird, muss die Resultierende aus den beiden Kräften senkrecht zur Wasseroberfläche stehen. Die Parabeltangente durch M hat den Steigungswinkel α. tan(α) ist die Steigung y' = dy/dx.

y' = 2·k·x

y' = m·ω²·x / (m ·g) = ω²·x / g → k = ½ · ω² / g

y = ½ ·ω² ·x²/g

Zu 3.:

Die linke und die rechte Feder haben die Federkonstanten D. Die zurück treibende Kraft bei einer Schwingung auf einer ruhenden Scheibe beträgt demnach F = 2·D·x. Unter ihr schwingt die Kugel auf einer ruhenden Scheibe mit der Frequenz f_R .

f_R = 1/(2·π) · (2·D/m)^½ → D = 4·π² · f_R² · m / 2 → D = 1,97 N/m

Auf der rotierenden Scheibe wirkt der Federkraft die Zentrifugalkraft m·ω²· x entgegen.

Die zurück treibende Kraft ist somit F = 2·D·x - m·ω²· x = (2·D - m·ω² )· x

(2·D - m·ω² ) = D’ → D’ = 3,54 N/m

↓

f = 1/(2·π) · (D’/m)^½ → f = 0,94 Hz

Zu 4.:

Von dem folgenden Programm wird das Diagramm in der Abb. 6 erzeugt.

n=2;h=0,001;o=2;a=o^2*r;c=c+a*h;r=r+c*h;t=t+h; y=r;x=t;L=t

o steht für die Winkelgeschwindigkeit, c für die Teilchengeschwindigkeit und a für die Zentrifugalbeschleunigung.

Abb. 6

Die nach dem folgenden Programm erzeugten Diagramme in der Abb. 6 zeigen, dass der Graph (grün) der Exponentialfunktion z = 2,5 · e ^2·t (z= 2,5*exp(o*t)) dem Bewegungsdiagramm ähnelt..

n=2;h=0,001;o=2;a=o^2*r;c=c+a*h;r=r+c*h;t=t+h; y=r;x=t;z= 2,5*exp(o*t);L=t

Abb. 7

Das Diagramm zu z = 2,5 cm · e ^ω·t (z= 2,5*exp(o*t)) weicht nur bei kleinen Zeiten t vom Bewegungsdiagramm ab. Nach z = 2,5 cm · e ^ω·t hätte man zum Zeitpunkt t=0 die Anfangsgeschwindigkeit v = 2,5 · 2 cm/s. Die Anfangsgeschwindigkeit der Kugel ist jedoch 0. Vermutlich gelangt man zu einer passenden Funktion f(t), wenn man zu e ^ω·t noch einen Term addiert, der nur bei kleinen Werten t einen deutlichen Einfluss hat und der dazu führt, dass f(t) die Anfangsgeschwindigkeit 0 liefert. Als Summand kommt e ^-ω·t in Frage. e ^ω·t + e ^-ω·t hat bei t = 0 den Wert 2 cm und die Ableitung d(e ^ω·t + e ^-ω·t )/dt = 0. 5 cm ist der Anfangswert von r = y. Demgemäß erscheint f(t) = 5 cm · (e ^ω·t + e ^-ω·t ) /2 = 5*(exp(o*t)+ exp(-o*t))/2 als passende Funktion. Mit dem folgenden Programm wird gezeigt, dass y(t) und z(t) = f(t) übereinstimmen (siehe Abb. 8).

n=2;h=0,001;o=2;a=o^2*r;c=c+a*h;r=r+c*h;t=t+h; y=r;x=t;z= 5*(exp(o*t)+ exp(-o*t))/2;L=t

Abb.8

Für diese Übereinstimmung spricht auch die Tatsache, dass die Gleichung a = r· ω² von y = 5 cm · (e ^ω·t + e ^-ω·t ) /2 erfüllt wird.

dy/dt = v = 5cm· ω· (e ^ω·t - e ^-ω·t ) /2, a = dv/dt = 5cm· ω²· (e ^ω·t + e ^-ω·t ) /2, r = 5cm· (e ^ω·t + e ^-ω·t ) /2

↓

a = r · ω²

Anmerkung:

Die Funktion f(x) = (e ^x + e ^-x )/2 heißt Kosinus-hyperbolicus (Abkürzung: cosh(x)). Die Funktion f(x) = (e ^x - e ^-x )/2 heißt Sinus-hyperbolicus (Abkürzung: sinh(x)).

Für f(t) kann somit geschrieben werden: f(t) = 5 cm · cosh(ω· t)

Warum wählen wir die Namen sinh(x) und cosh(x) ?