Herleitung des Biot-Savartschen Gesetzes
Es soll untersucht werden, wie ein kleiner Ausschnitt der Länge ΔL aus einem stromführenden Leiter zur magnetischen Kraftflussdichte an einem Punkt P außerhalb des Leiters beiträgt.
Abb. 1
In der Abb. 1 ist ein solches Leiterstück abgebildet. Der erwähnte Punkt P hat den Abstand r von ΔL . Die Verbindungsstrecke zwischen P und ΔL bildet mit letzterem den Winkel α. Bei P ist eine Ladung q , die sich mit der Geschwindigkeit v parallel zum Leiter bewegt. q erzeugt bei ΔL ein B nach By = -v/c2 · Ez.
Ez erhalten wird nach dem Coulombschen Gesetz:
|E| = q/(4·π·ε0·r2) → Ez = -q·sin α /(4·π·ε0·r2)
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Wichtige Anmerkung: Man denke sich eine Probeladung q' am Leiterabschnitt ΔL . Sie wirkt nach dem Coulombschen Gesetz mit der Kraft F auf die Ladung q bei P. |F| = q' · q /(4·π·ε0·r2) Eine dem Betrage nach gleich große Kraft erfährt die ruhende Ladung q' nach dem Wechselwirkungsprinzip. ↓ Für die Feldstärke E bei ΔL gilt somit: |E| = |F/q'| = |q| /(4·π·ε0·r2) |
By = -v/c2 · Ez
↓
By = q·v·sin α /(4·π·c2·ε0·r2)
Auf das Leiterstück wirkt demnach die Kraft Fz = I· ΔL·q·v·sin α /(4·π·c2·ε0·r2)
Nach dem Wechselwirkungsgesetz wird eine gleich große magnetische Kraft F* parallel zur z-Achse auf die Ladung q ausgeübt.
F*z = -I· ΔL·q · v·sin α /(4·π·c2·ε0·r2)
Diese Kraft weist auf eine von ΔL verursachte magnetische Kraftflussdichte ΔB am Punkt P hin.
F*z = q ·v· ΔBy → -I· ΔL·q·v·sin α /(4·π·c2·ε0·r2) = q ·v· ΔBy
ΔBy = -I· ΔL·sin α /(4·π·c2·ε0·r2); c2 = 1/(ε0·µ0)
ΔBy = -I· ΔL·µ0·sinα /(4·π·r2): Gesetz von Biot-Savart