1.1 Potenzen mit reellen Exponenten

Aufgabe:

Wir stellen  uns  vor, auf  einem Nährboden  für  Bakterien seien zu einem Zeitpunkt t = 0 etwa 100 Bakterien, die  sich  uneingeschränkt  vermehren können.  Es  soll untersucht werden, wie sich diese Bakterien mit zunehmender Zeit t vermehren. Bei dieser Untersuchung kann davon  ausgegangen werden, dass der Zuwachs Δb der  Bakterienzahl b in einem kleinen  Zeitabschnitt  Δt proportional zur augenblicklich  vorhandenen Zahl b der Bakterien  und zur Dauer Δt des Zeitabschnitts ist.

Δb  ~   b;  Δb  ~  Δt       →        Δb ~  b · Δt     →        Δb / (Δt ·b )  = Konstante = k        →    Δb   =  k · b · Δt

Somit gilt für die Bakterienzahl b' nach Δt:    b' = b + k ·b · Δt

Die Entwicklung der Bakterien wird mit dem folgenden Programm in sim.html beschrieben:n=10;h=0,1; n=10;h=0,1; t=t+h; k=0,2; b=b+k*b*h; y=b; x=t;L=t

h=0,01 steht für Δt (Einheit: Stunde)

Im Variablenfeld von sim.html wird für b der Werte 100 eingetragen. Mit n = 10 wird der Abbruch des Programms bei t = 10 h veranlasst. Das Programm wird beendet, wenn L den Wert von n erreicht. Nach „START“ entsteht das Diagramm in der Abb. 1.

Abb. 1                                                                                   Abb. 2

Das oben  angegebenen Programm beschreibt mit h = Δt < 0 auch die Entwicklung der Bakterien vor dem willkürlich gesetzten Zeitnullpunkt. So kann man erfahren, wie viele Bakterien zum Zeitpunkt – 1 Stunde ( eine Stunde vor dem Zeitnullpunkt) oder zum Zeitpunkt – 2 Stunden existiert haben. Wird z.B. für h der Wert -0,01 festgelegt, dann bestimmt das Programm im 1. Schritt die Zahl der Bakterien zum Zeitpunkt - h und im 2. Schritt die zum Zeitpunkt – 2·h usw.. Mit h = -0,01 wurde das Diagramm in der Abb. 2 entwickelt.    In der Abb. 3 sehen wir beide Diagramme zusammen.

Abb. 3

An  dem  Diagramm  fällt auf ,  dass  3,46 Stunden nach jedem beliebigen  Zeitpunkt eine Verdopplung der Bakterienmenge stattfindet. Wenn  es  anfänglich  100  Bakterien  sind,  dann  existieren  nach  3,46 Stunden   200 Bakterien  und  nach weiteren 3,46 Stunden 400 Bakterien. Wenn  man  vom  Koordinatennullpunkt um 3,46  Stunden  nach  links  geht, dann findet  man  50 und nach weiteren 3,46 Stunden nur noch 25 Bakterien (siehe Abb. 4).

Abb. 4

In  der  folgenden  Tabelle  ist  dieser  Sachverhalt  übersichtlich  in  einer  Tabelle   zusammengefasst.

T ist die Verdopplungszeit = 3,46 h.

Für Produkte wie 2·2·2 ,  2 ·2 und 2·2·2·2  ist die Schreibweisen  2³ bzw. 2² bzw. 2⁴ üblich. Ein Term der Form b^a heißt Potenz von b. Die Grundzahl b heißt Basis  und die Hochzahl a Exponent.

Angesichts des in der Tabelle erkennbaren  Sachverhalts ist man geneigt, das Bakterienwachstum durch b = 100 · 2^t/T darzustellen (siehe Tabelle). Zulässig ist dies aber zunächst nur für natürliche Zahlen als Exponenten.

Zur Behebung dieser Einschränkung auf natürliche Zahlen soll nun eine Erweiterung des Potenzbegriffs versucht werden, so dass eine Beschreibung des Bakterienwachstums mit b = 100 · 2^t/T  auch dann als erlaubt gilt, wenn  t/T  keine natürliche Zahl ist.

1. Definition für ganzahlige negative Exponenten und den Exponent 0

Nach b = 100 · 2^t/T  erhalten wir für t = 0 den Wert  n = 100 · 2⁰.  Da anfangs 100 Bakterien vorhanden sind, muss 2⁰  als 1 definiert werden. Nach b = 100 · 2^t/T finden wir für die Zeiten –T und – 2· T  die Werte n = 100 · 2^-1 und   n = 100 · 2^-2. Diese Angaben passen dann zu der Wachstumskurve, wenn wir 2^-1 als 1/2 und 2^-2 als 1/ 2² definieren.

Deshalb wird vereinbart: b⁰ = 1;    b^-n = 1/ bⁿ

2. Definition für Stammbrüche als Exponenten

Eine Definition  anhand  des Diagramms in  Abb. 3  scheint unmöglich. Es wird erwartet, dass die Potenzgesetze auch für nicht ganzzahlige Exponenten gelten. Danach muss man sich bei der Definition richten. Möglicherweise passen die nach dieser Richtlinie definierten Potenzen auch zur Wachstumskurve.

Beim Multiplizieren, Dividieren  und Potenzieren  von  Potenzen  mit   ganzzahligen  Exponenten  stößt man auf die folgenden Gesetzmäßigkeiten:

1. aⁿ · a^m = a ^{m + n} ;      Beispiel: a²· a³ = a · a · a · a · a = a⁵

2. aⁿ / a^m = a ^{n- m} ;       Beispiel: a⁴ / a⁶ = 1/a² = a ^–2  = a^{4 - 6}   

3. (aⁿ)^m = a^{n · m} ;         Beispiel:  (a³)² = (a · a · a) · (a · a · a) = a⁶ = a^{3 · 2}

4. (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ

5. (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

Von Potenzen  mit  Bruchexponenten  fordern  wir, dass auch  sie die genannten Gesetzmäßigkeiten erfüllen. a^1/2 · a^1/2  sollte demnach gleich  a^1/2+1/2 = a¹ = a sein.   

a^1/2 · a^1/2  = a   →   

Wie soll a^1/3 definiert werden ?

Es soll gelten:  a^1/3 · a^1/3 · a^1/3  =  a^1/3+1/3+1/3  =  a.

a^1/3 ist demnach eine positive Zahl, die dreimal mit sich multipliziert a ergibt.

Wir schreiben für a^1/3 =  ( dritte Wurzel aus a).   

Beispiele: 

Wie soll a^1/4 definiert werden ?

Wir erwarten: a^1/4 · a^1/4 · a^1/4 ·  a^1/4 = a^{1/4+1/4+1/4+1/4} = a     →     a^1/4 =  ( vierte Wurzel aus a)

Beispiele: 

Wir definieren:   

Die so definierten Potenzen passen zur Beschreibung des Bakterienwachstums. 

Zur halben Verdopplungszeit T/2 wird n = 100 · 2^t/T = 100 · 2^{1/2 =}100 ·  ≈  141errechnet. Dieser Wert passt zum Diagramm in Abb. 5 ((Ausschnitt aus der Abb.1) .

Abb. 5

3. Definition  einer Potenz mit einem beliebig  gewählten  Bruchexponenten

Wie soll a^2/3 definiert werden ?

Es soll gelten: a^1/3 · a^1/3 = a^2/3    →   

Wir definieren:

Es liegt nun nahe, die Gleichung n = 100·2^t/T daraufhin zu prüfen, ob die nach ihr für Bruchexponenten m/n (m>1) errechneten Werte auch zur Wachstumskurve passen. Für t/T = 7/3 ( t = 7/3*3,46 h = 8,07h) erhält man  nach der obigen Definitionsgleichung den Wert 504, eine Bakterienzahl, die zum Diagramm in der Abb. 3 passt. Da die Prüfung an einem einzigen Wert etwas unzureichend erscheint, soll nun noch der vom Wachstumsprogramm erzeugte Graph mit dem von w=100*2^(t/3.46) verglichen werden.

Dies geschieht mit der Programmzeile:

h=0,01; t=t+h; k=0,2; b = b + k*b*h; y=b; x=t; w=100*2^(t/3,46); l=t (Anfangswerte: t = -10h; b = 100*2^(-10/3,46) =13,5)

Zur Ausführung des Programms

Abb. 6

Die rote Programmkurve wird von einer blauen Kurve zu w = 100 * 2^(t/3,46)  überdeckt.

Es muss noch angemerkt werden, dass die Potenzgesetze nach der Definition für Bruchexponenten ihre Gültigkeit uneingeschränkt behalten und dass eine Potenz ihren Wert nicht ändert, wenn der Bruchexponent erweitert bzw. gekürzt wird.

Die letzte Angabe ist keineswegs selbstverständlich, sie muss bewiesen werden.

Beweis: 

Es wird erst die linke und dann die rechte  Seite der letzten Gleichung  mit   k · n   potenziert. Wenn die Behauptung richtig ist, dann müssen beide Ergebnisse übereinstimmen. Nach dem 3. Potenzgesetz gilt:

 ↓

4. Definition für irrationale Exponenten

An einem Beispiel wird gezeigt, wie bei irrationalen Exponenten vorzugehen ist. Die irrationale Zahl wird durch die folgende Intervallschachtelung erfasst:

Dieser Intervallschachtelung wird die folgende Intervallschachtelung zugeordnet:

Auf der Zahlengeraden erfasst diese Intervallschachtelung einen Einschnitt , der als  bezeichnet wird.

Die  Definition einer Potenz mit Bruchexponent ist auf positive Grundzahlen  beschränkt.  Diese  Einschränkung  wird verständlich, wenn man bedenkt, dass Wurzeln der Form  (n = gerade) nicht aus negativen Zahlen gezogen werden können, so ist z.B. die Quadratwurzel aus – 2  in der Menge der reellen Zahlen nicht definiert.