####

#### Beweis des Strahlensatzes

Da aus dem Teil I der Teil II des Strahlensatzes folgt, können wir uns auf den Beweis des 1. Teils beschränken. Damit der Satz des Pythagoras als Beweismittel in Frage kommt, werden die parallelen Strecken zunächst so gewählt, dass sie senkrecht zu einer Kreuzungsgeraden stehen (siehe Abb. 1).

Abb. 1

Auf der Suche nach einer Gleichung, die a, c, b und d enthält, lassen wir uns von der Frage leiten:

Was kann man mit a, b, c und d berechnen ?

a ·b/2 liefert uns den Flächeninhalt A1 des Dreiecks mit den Seitenlängen a, b und e und d ·c /2 den Flächeninhalt A2 des Dreiecks mit den Seitenlängen c, d und e . Schließlich kann noch der Flächeninhalt A3 des Trapezes zwischen den beiden parallelen Seiten angegeben werden.

A3 = (d - b) · (a + c)/2

d – b: Höhe des Trapezes

(a + c)/2: Mittelwert aus den Längen der parallelen Seiten

Es gilt: A1 + A3 = A2 → a ·b/2 + (d - b) · (a + c)/2 = d ·c /2 → a · b + d ·a + d ·c – b· a – b · c = d ·c

→ d ·a – b · c = 0 → d/b = c/a (Teil I des Strahlensatzes)

Nun soll noch f /e = c/a bewiesen werden.

f2 / e2 = (d2 + c2) / (a2 + b2),

d/b = c/a → d2 = b2 · c2 / a2

↓

f2 / e2 = ( b2 · c2 / a2+ c2) / (a2 + b2) = c2 / a2 → f /e = c/a

Nun werden die parallelen Strecken so gewählt, dass sie zu beiden Kreuzungsgeraden(rot) schief stehen ( siehe Abb. 2). Es wird noch eine weitere Kreuzungsgerade (grün) eingezeichnet, die mit den parallelen Strecken (Längen c und a ) rechte Winkel bildet. Die grüne Gerade mit ihren Abschnitten der Längen b und d teilt die parallelen Strecken in Abschnitte mit den Längen j, k und m, n.

Abb. 2

a = j + k; c = m + n

b und d sind die Abstände ( grün) der parallelen Strecken vom Kreuzungspunkt !

d/b nennen wir v (d/b = v ) → m/j = v; n/k = v ; f/e = v

m + n = v ·j + v · k = v · (j + k) → c/a = (m + n ) / (j + k) = v = f/e

→ c/a = f/e q.e.d. (was zu beweisen war)