5. Der Höhen- und Kathetensatz

Die im 1. Kapitel ( Satz des Pythagoras) genannten Dachsparren sollen noch durch Balken der Länge hc abgestützt werden. Bei Kenntnis von a, b und c muss hc ( Höhe im rechtwinkligen Dreieck) berechnet werden.

Abb. 1

Auf der Suche nach einer Gleichung, in der hc enthalten ist, lassen wir uns von der Frage leiten:

Was kann man mit a, b, c und hc berechnen ?

Es kann der Flächeninhalt A des Dreiecks bestimmt werden.

A = a · b /2 ; A = hc · c/2 → a · b/2 = hc · c/2 → hc = (a · b )/ c

Die Höhe teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte p und q.

## Wie lang ist q ?

Abb. 2

q2 + hc2 = b2 → q2 = b2 – hc2

hc2 + ( c - q)2 = a2 → hc2 = a2 - ( c - q)2

↓

q2 = b2- [a2 - ( c - q)2 ] → q2 = b2- a2 + c2 + q2 - 2·c·q

Unter Berücksichtigung von c2 = a2 + b2 können wir schreiben: q2 = 2 · b2 + q2 - 2 · c · q → 0 = 2 · b2 - 2 · c · q

→ q · c = b2 → q = b2 / c

Eine entsprechende Gleichung kann auch für p aufgestellt werden : p· c = a2 → p = a2 / c

Kathetensatz: Das Quadrat einer Kathete gleicht dem Produkt aus dem zugehörenden Hypotenusenabschnitt und der Hypotenuse.

Für hc wurde hergeleitet: hc = (a · b )/ c → hc2 = (a2 · b2 )/ c2 → hc2 = a2 / c · b2 / c

→ h c 2 = p · q

Höhensatz: Im rechtwinkligen Dreieck gleicht das Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte dem Quadrat der Höhe.