2. 1 Kreisumfang und Kreisfläche

Umfang des Kreises

Der Umfang eines Kreises mit dem Radius r sei zu berechnen.

Der Begriff Länge erscheint in bezug auf einen Kreisbogen zunächst unpassend, denn man verbindet mit ihm eine Zahl von Einheitsstrecken, die an eine gegebene Strecke anlegt werden können. Da zu einem Kreisbogen keine geraden Längeneinheiten passen, könnte die gestellte Aufgabe für unlösbar erklärt werden. Man wird sich zunächst mit einer näherungsweisen Beschreibung der Bogenlänge zufrieden geben müssen. Einem Kreis wird ein reguläres 6- oder 12- oder 24 - Eck entsprechend der Vorführung nach einbeschrieben, und der Umfang eines solchen Vielecks angeben.

Abb. 1

Das 12- Eck ist dem Kreis schon ziemlich gut angepasst, so dass sein Umfang schon fast als geeignetes Maß für den Kreisumfang angesehen werden könnte. Vor einer Entscheidung erscheint es jedoch angebracht noch 24-, 48 - Ecke usw. zu prüfen. Wir betrachten zu diesem Zweck einen Kreis mit dem Radius 1 Längeneinheit. Das einbeschriebene 6-Eck hat den Umfang 6 LE. In Abb. 2 ist zu sehen, wie nach Kenntnis der 6-Eck - Seite eine 12-Eck-Seite und dann eine 24-Eck-Seite usw. ausgerechnet werden kann.

Abb. 2

Zur Berechnung von s24 muss in der für s12 gültigen Formel s12 durch s24 und s6 durch s12 ersetzt werden. In gleicher Weise kann dann auch das 48-, 96-Eck usw. berechnet werden.

Die Berechnung erfolgt für r = 1 LE nach dem folgenden Programm:

|s|a|u|b|n|=|1|0|0|0|6|

wiederhole bis a<0.000000000000001

n=2*n

s = wrz(s^2/4+(1-wrz(1-s^2/4))^2)

u=s*n

a=abs(u-b)

b=u

?Zahl der Ecken =

?n

?, Umfang =

?u

?

zurück

Die Anfangsbedingungen „|s|a|u|b|n|=|1|0|0|0|6|“ gelten für ein Sechseck mit dem Radius r = 1 LE. In diesem Fall ist die Sechseckseite s6 = s = r = 1 LE. u ist der Umfang des n-Ecks. a = abs(u-b) gleicht nach einem Programmdurchlauf dem Differenzbetrag |2n-Eck-Umfangs - n-Eck-Umfang|. Ist a<0.000000000000001, dann wird die Rechnung abgebrochen. abs(u-b) = |u-b|.

Steht hinter dem Fragezeichen mehr als ein Zeichen (z.B. , Umfang = ), dann werden diese Zeichen angezeigt. Ist nur ein Buchstabe hinter „? “, dann wird dieser Buchstabe als Variable angesehen und es wird die zugeordnete Zahl ausgedruckt. Das Fragezeichen allein ist ein Befehl zum Zeilenwechsel.

Nach Eingabe von „44“ und „START“ kann das Programm ausgeführt werden.

Es ist zu sehen, dass der Umfang mit steigender Eckenzahl gegen den Grenzwert U = 6.2831853071795.. strebt. Diesen Grenzwert definieren wir als Umfang des Kreises mit dem Radius r = 1 LE.

Nun kann auch der Umfang U(r) eines Kreises mit dem Radius r bestimmt werden. Da der Umfang eines einbeschriebenen regulären n - Ecks nach dem Strahlensatz dem Radius r proportional ist, muss auch gelten:

U(r) ~ r

Hieraus folgt:

U(r) / r = 6.28318530717957.. / 1 → U(r) = (6.28318530717957..) · r

Umfang / Durchmesser = 6.28318530717957.. / 2 = 3,14159265358979...

Der Quotient Umfang / Durchmesser heißt Kreiszahl π (Pi).

Somit können wir für den Kreisumfang U schreiben: U = π· 2 · r = 2 · r · π

Kreisbogen s zu einem gegebenen Mittelpunktswinkel φ

Abb. 3

Das Verhältnis s/r beschreibt in eindeutiger Weise die Größe des Winkels. Man nimmt deshalb s/r unter dem Namen Bogenmaß auch zur Beschreibung eines Winkels.

Flächeninhalt eines Kreises

Der Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius r wird zunächst nur annähernd durch den Flächeninhalt eines einbeschriebenen Vielecks beschrieben. Zur genaueren Beschreibung wird die Eckenzahl vergrößert. Mit zunehmender Eckenzahl streben die Flächeninhalte gegen einen Grenzwert, der als Kreisflächeninhalt definiert wird (siehe Abb. 4).

Abb. 4

Flächeninhalt As eines Kreissektors

Abb. 5