Der Satz des Apollonius

Eine Strecke [AB] sei durch die Punkte C und D innen und außen im gleichen Verhältnis geteilt. Durch C und D verlaufe ein Kreis, dessen Mittelpunkt M zwischen C und D liegt.

Behauptung: Es gilt der Satz des Appolonius, er besagt, dass die Abstände eines Kreispunktes P von A und B sich so zueinander verhalten wie die Abstände des Punktes C von A und B.

Abb. 1

Beweis:

Abb.2

Nach dieser Behauptung ist , denn für gilt nach dem Strahlensatz . E ist der Schnittpunkt der Geraden AP mit einer Parallelen zu [CP] durch den Punkt B. Zum Beweis muss gezeigt werden dass das Dreieck BEP mit den Schenkeln [PE] und [PB] gleichschenklig ist. Dies ist dann der Fall, wenn G die Strecke [BE] halbiert. In G schneiden sich die Strecken [BE] und [PD] nach dem Satz des Thales rechtwinklig. Wenn G die Strecke [BE] halbiert, dann halbiert D nach dem Strahlensatz die Strecke [BF]. F ist der Schnittpunkt der Geraden AB mit einer Parallelen zu PD durch den Punkt E.

Die letzte Aussage ist leicht zu beweisen.

Nach dem Strahlensatz teilt G die Strecke [BE] so wie D die Strecke [BF]. F ist der Schnittpunkt der Geraden AD mit der Parallelen zu PD durch den Punkt E. Nach dem Strahlensatz gilt außerdem:

Hieraus folgt: G halbiert [BE], folglich ist das Dreieck BEP gleichschenklig.

Aus und folgt: