4 . Quadratische Gleichungen

Aufgabe:

Es wird ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenusenlänge c = 20 cm gewünscht, dessen eine Kathete um 6 cm länger ist als die andere Kathete.

a = x; b = x+6; c = 20

x² + (x + 6)² = 400 → x² + x² +12x +36 = 400 → 2x² +12x = 364 → x² +6x = 182

→ x² + 6x - 182 = 0

Wenn wir eine Gleichung durch Äquivalenzumformungen in die Form a · x² + b · x + c = 0 bringen können , dann heißt diese Gleichung quadratische Gleichung.

In dem hier vorliegenden Beispiel gilt: a = 1; b = 6; c = -182

Wir wollen zunächst die einfachere quadratische Gleichungen behandeln und hoffen, dass wir hierbei Anregungen zur Entwicklung eines allgemeinen Lösungsverfahrens erhalten.

Beispiel für eine sehr einfachen quadratischen Gleichung:

Zur Erklärung des Betragszeichens muss auf die Definition des Wurzelbegriffs hingewiesen werden.

Definition:

Die Wurzel aus d ist diejenige positive Zahl, deren Quadrat d ist.

Hiernach ist immer positiv.

Da die Lösung von x2 = d sowohl positiv wie negativ sein kann, muss statt x = die Gleichung |x| = geschrieben werden.

Ist z.B. d = 25, dann gilt: x2 = 25; |x| = ; L = {-5;+5}

Beispiel für eine etwas komplizierteren Gleichung:

Die Gleichung (x + 2)2 = d kann in die Form a · x 2 + b · x + c = 0 gebracht werden.

(x + 2)2 = d → x2 + 4·x + 4 = d → x2 + 4·x + (4 – d) = 0

a = 1; b = 4; c = 4 – d

Die gerade behandelte Gleichung x2 + 4·x + (4-d) = 0 ähnelt der anfangs gegebenen Gleichung x2 + 6·x –182 = 0. Eine Umwandlung von x 2 + 6·x –182 = 0 in die Form (x + e)2 = d erscheint möglich.

x2 + 6 · x – 182 = 0 → x2 + 6 ·x = 182 → x2 + 6 · x + 9 = 182 + 9

→ (x+3)2 = 191

(x+3)2 = 191 → |x+3| = → x+3 = ± → x1 = -3 + ; x2 = -3 -

Die eingefügte 9 ermöglicht die Umwandlung der rechten Seite in ein Quadrat. Diese 9 heißt quadratische Ergänzung.

9 = (6/2)2

Die passende quadratische Ergänzung erhält man, indem man die Hälfte des bei x stehenden Faktors quadriert. Dies gilt nur dann, wenn der Faktor vor x² gleich 1 ist !

Zur Berechnung von z.B. im Rechenfenster von „Mathe.-Physik“ muss durch wrz(191) ersetzt werden.

Wird die Gleichung x2 + 6 · x – 182 = 0 in der Form gl(x): x^2 + 6*x –182 = 0 in das Rechenfenster von „Mathe.-Physik“ geschrieben, dann werden ihre Lösungen nach einem Doppelklick in der Zeile der Gleichung angezeigt.

Nach Eingabe einer „5“ und „START“ (siehe unten) kann dies geprüft werden.

Eine quadratische Gleichung kann von „Mathe.-Physik“ auch dann gelöst werden, wenn sie nicht in der Form gl(x): a * x^2 + b * x + c = 0 eingegeben wird. Es kann z.B. auch gl(x): a * x^2 = - b * x - c oder gl(x): x^2 + (x + 6)^2=400 in das Rechenfenster geschrieben werden.

Allgemeine Lösung einer quadratischen Gleichung

a · x2 + b· x + c = 0

Wird die Gleichung beiderseits durch a geteilt, dann entsteht eine äquivalente Gleichung mit dem Faktor 1 bei x2.

x2 + (b/a) · x + c/a = 0 → x2 + (b/a) · x = - c/a

Nun wird die quadratische Ergänzung (½ · b/a)2 beiderseits addiert.

x2 + (b/a) · x + (½ · b/a)2 = - c/a + (½ · b/a)2

→ ( x + ½ · b/a )2 = - c/a + ¼ · b2/a2 ( Beide Seiten werden mit 4 · a2 multipliziert.)

→ 4 · a2 · ( x + ½ · b/a )2 = b2 - 4 · a · c ( Von beiden Seiten werden Wurzeln gebildet.)

→

Unter Berücksichtigung von 4 · a2 · ( x + ½ · b/a )2 = 2 · a · ( x + ½ · b/a ) · 2 · a · ( x + ½ · b/a )

können wir schreiben:

→ →

→

Nach Eingabe einer „6“ und „START“ (siehe unten) können die Lösungen nach der letzten Formel bestimmt werden.

Nach Anklicken dieser Zeile wird die hier gegebene Herleitung noch einmal in einer Bilderserie dargestellt.

Die Diskriminante

Anhand des in der Wurzel stehenden Terms b2 – 4 · a · c = D kann entschieden werden, ob die quadratische Gleichung eine, zwei oder keine Lösung hat

D = 0: Es gibt nur die Lösung –b/ (2 · a)

D > 0 : Es gibt zwei Lösungen

D < 0: Es gibt keine Lösung, da aus einer negativen Zahl keine Wurzel gebildet werden kann. Es gibt keine Zahl deren Quadrat negativ ist.

b2 – 4 · a · c trägt den Namen „Diskriminante“

Mit Hilfe des Satzes von Vieta können die Lösungen manchmal sofort angegeben werden.

Satz von Vieta (anklicken !)

Quadratische Gleichungen liegen meistens nicht in der Form a· x2 + b· x + c = 0 vor. Sie müssen durch Äquivalenzumformungen in diese Form gebracht werden.

Äquivalenzumformungen von quadratischen Gleichungen (anklicken !)

Mit Hilfe des Programms Mathe.-Physik können quadratische Gleichungen graphisch gelöst werden.

Graphische Lösung einer quadratischen Gleichung mit Hilfe des Rechners (anklicken !)