10. Quadratische Funktionen

Abb. 1

Wir lassen eine Kugel auf einer schiefen Ebene mit geringer Neigung abwärts rollen und klicken im Tabellenfenster von „Mathe.-Physik“ den Knopf „Zeit in Tab. I“ immer dann an, wenn sie eine der angedeuteten Markierungen passiert ( siehe Abb. 1). Anschließend werden den eingetragenen Zeiten die zugehörenden Wege angefügt ( siehe nachfolgende Tabelle). Links stehen die Zeiten in Sekunden und rechts die Wege in cm.

| 0.0000 | 0 |

| 1.7580 | 5 |

| 2.5260 | 10 |

| 3.5830 | 20 |

| 4.4030 | 30 |

| 5.6510 | 50 |

| 6.7310 | 70 |

| 7.6740 | 90 |

Den Zeit-Weg-Paaren wird ein Variablenpaar x; y zugeordnet ( x: Zeit; y: Weg).

x; y = 1,7580 | 5 ; x; y = 2,5260 | 10 usw.

In dem hier vorliegenden Fall kann man nach der Angabe des x-Werts anhand der Tabelle sofort den y-Wert nennen, da es keine unterschiedlichen Paare mit gleichen x-Werten gibt. Dies wäre dann nicht der Fall, wenn es z.B. neben dem Paar 2,5260 | 10 ...... noch das Paar 2,5260 | 15 ...... gäbe. Ist der Wert einer Variablen y eindeutig durch den Wert einer Variablen x festgelegt, dann sagt man y sei eine Funktion von x.

Die Kurzform für diese Aussage ist: y = f(x)

Die Werte der Variablen x bilden die Definitionsmenge, die der Variablen y die Wertemenge der Funktion.

In dem hier vorliegenden Fall kann x auch als eine Funktion von y aufgefasst werden; die Funktion ist umkehrbar. Bei einer Paarmenge x; y steht y in der Regel für die Funktion. Die Abhängigkeit des zweiten Wertes y vom ersten Wert x kommt in einer graphischen Darstellung ( siehe Abb. 2) besser zum Ausdruck als in einer Tabelle. Wir ordnen jedem Zahlenpaar einen Punkt P(x; y) im Koordinatensystem zu.

Abb. 2

Zur Darstellung dieser Funktion muss nach der Eingabe von „15“ der Knopf „START“ angeklickt werden.

Im Tabellenfenster von Mathe.-Physik sind den Werten der aufeinander folgenden Spalten die Variablen a, b, c... zugeordnet.

Zu Funktionen können oft Zuordnungsvorschriften gegeben werden, nach denen y anhand von x berechnet werden kann. Auch in dem hier vorliegenden Fall kann eine solche Zuordnungsvorschrift gefunden werden.

Möglicherweise besteht eine Proportionalítät zwischen y und x.

Nach Auswertung der Tabelle mit b/a (entspricht y/x) erscheint eine dritte Spalte mit ansteigenden Werten c = b/a. Eine Proportionalität zwischen y und x liegt demnach nicht vor, denn im Falle der Proportionalität müsste y/x konstant sein. Die Werte y/x sind mittlere Geschwindigkeiten. Unter einer mittleren Geschwindigkeit v verstehen wir das Verhältnis aus einem Weg y und der zugehörenden Zeit x. Für die Definition von v ist es ohne Bedeutung ob der bewegte Gegenstand in dieser Zeit unterschiedlich schnell ist.

b/a

| 1.7580 | 5 | 2.84414106939704 |

| 2.5260 | 10 | 3.95882818685669 |

| 3.5830 | 20 | 5.58191459670667 |

| 4.4030 | 30 | 6.81353622530093 |

| 5.6510 | 50 | 8.84799150592815 |

| 6.7310 | 70 | 10.3996434407963 |

| 7.6740 | 90 | 11.7279124315872 |

Es ist denkbar, dass die mittlere Geschwindigkeit v = y/x der Zeit x proportional ist.

Eine Auswertung der dreispaltigen Tabelle mit c/a (c ist die Variable zur 3. Spalte) zeigt an, dass v~ x zutrifft. Die geringen Abweichungen unter den Werten der 4. Spalte sind auf Ungenauigkeiten bei der Messung zurückzuführen.

c/a

| 1.7580 | 5 | 2.84414106939704 | 1.61782768452619 |

| 2.5260 | 10 | 3.95882818685669 | 1.5672320613051 |

| 3.5830 | 20 | 5.58191459670667 | 1.55788852824635 |

| 4.4030 | 30 | 6.81353622530093 | 1.54747586311627 |

| 5.6510 | 50 | 8.84799150592815 | 1.56573907377953 |

| 6.7310 | 70 | 10.3996434407963 | 1.54503690993854 |

| 7.6740 | 90 | 11.7279124315872 | 1.52826588892197 |

Nach Eingabe einer „16“ und „START“ kann die hier beschriebene Auswertung der Tabelle vorgenommen werden.

v / x = (y/x)/x → v / x = y/x2

v / x → k (Konstante) ≈ 1,55 → y/x2 = k → y = k · x 2

Die hier vorliegende Funktion wird wegen der Zuordnungsvorschrift y = k · x2 als quadratische Funktion bezeichnet.

Quadratische Funktionen heißen solche mit der Zuordnungsvorschrift y = a·x² + b·x + c .

Für y= 1,55·x² können wir schreiben y = 1,55·x² + 0·x + 0 (a =1,54; b = 0; c = 0).

Über die Graphen quadratischer Funktionen (anklicken !)