# Berechnung von sin-, cos- und tan - Werten zu 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120° ..........

Die sin-, cos- und tan- Werte zu den Winkeln 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120° ..... können leicht berechnet werden.

# 1. α = 0°: sin α = 0; cos α = 1, tan α = 0

2. α = 30°: # # Abb . 1 | 3. α = 45°: # # Abb. 2 | 4. α = 60°: # # Abb. 3
# Das Dreieck MAB ist gleichseitig. # y z = 0,5 · r; # x z = 0,5 · · r # ↓ # sin α = ½; cos α = ½ · # tan α = 1/ | # Das Dreieck MAB ist rechtwinklig-gleichschenklig. # x z = y z ; x z 2 + y z 2 = r 2 # 2 · x z 2 = r 2 ; x z = r · # ↓ # # tan α= 1 | # Das Dreieck MAB ist gleichseitig. # yz = 0,5 · · r ; x z = 0,5 · r # ↓ # sin α = ½ · ; cos α = ½ # tan α = #
# 4. α = 90°: # sin α = 1; cos α = 0; tan α ist nicht definiert
# 5. α = 120°: #  | # 6. α = - 30° #
# Abb. 4 | # Abb. 5
# # Das Dreieck MAB ist gleichseitig. # yz = 0,5 · · r ; x z = 0,5 · r # # sin α = ½ · ; cos α = - ½; tan α = | # # Diese Rechnungen können fortgesetzt werden für 135°, 150°, 180°, 210° , - 30°, -45° usw.. # Die negativen Winkel – 30° und –45° beschreiben Drehungen um 30° bzw. 45° im Uhrzeigersinn ( siehe Abb.7). # # sin(-30°) = sin(330°); sin(-45°) = sin (315°) usw.. #

In diesem Zusammenhang ist anzumerken, dass zur Berechnung von sin(α) und cos(α) nur deren Werte im Intervall [0°; 90°] genau erfasst werden müssen, denn zur jeder Drehung α eines Zeigers kann immer eine Zeigerstellung mit α’ε [0°; 90°] angeben werden, so dass gilt:

|sin(α)| = |sin(α’)|, |cos(α)| = |cos(α’)|

Beispiele: sin(740°) = sin(20°), sin(190°) = -sin(10°), sin(220°) = - sin(40°), sin(330°) = - sin(30°)

# Ist der Sinus oder der Kosinus eines Winkels bekannt, dann kann immer der Kosinus bzw. der Sinus berechnet werden. In der Abb. 6 ist zu sehen, dass sin(α) und cos(α) durch Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse 1 dargestellt werden können.

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# Abb. 6

# [cos(α)]2 + [sin(α)]2 = 1

# Für [cos(α)]2 und [sin(α)]2 schreiben wir auch cos2(α) und sin2(α).

# In der nachfolgenden Tabelle sind die errechneten Werte in einer Tabelle zusammengestellt.

# α Gradmaß | # α Bogenmaß | # sin α | # cos α | # tanα
# 0° | # 0 | # 0 | # 1 | # 0
# 30° | # π/6 | # 0,5 | # 0,5 · | # 1/
# 45° | # π/4 | # 0,5 · | # 0,5 · | # 1
# 60° | # 2/6· π | # 0,5 · | # 0,5 | #
# 90° | # π/2 | # 1 | # 0 | # Nicht def.
# 120° | # 2/3 · π | # 0,5 · | # - 0,5 | #
# 135° | # ¾ · π | # 0,5 · | # -0,5 · | # -1
# 150° | # 5/6 · π | # 0,5 | # - 0,5 · | # - 1/
# 180° | # π | # 0 | # -1 | # 0
# 210° | # 7/6 · π | # - 0,5 | # -0,5 · | # 1/
# 225° | # 5/ 4 · π | # -0,5 · | # - 0,5 · | # 1
# 240° | # 4/3 · π | # - 0,5 · | # - 0,5 | #
# 270° | # 3/2 · π | # -1 | # 0 | # Nicht def.
# 300° | # 5/3 · π | # -0,5 · | # 0,5 | #
# 315° | # 7/4 · π | # -0,5 · | # 0,5 · | # -1
# 330° | # 11/6 · π | # -0,5 | # 0,5 · | # - 1/
# 360° | # 2· π | # 0 | # 1 | # 0
# -30° | # - 1/6 · π | # -0,5 | # 0,5 · | # - 1/
# -45° | # -1/4 · π | # -0,5 · | # 0,5 · | # -1
# -60° | # - 1/3 · π | # -0,5 · | # 0,5 | #
# - 90° | # - π/2 | # -1 | # 0 | # Nicht def

# Nach Eingabe von „49“ und „START“ erscheint im Tabellenfenster von „Mathe.-Physik“ eine Tabelle mit gleichen Werten zur graphischen Darstellung (siehe Abb. 7).

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# Abb. 7

# In Abb. 6 sind sin α und cos α in Abhängigkeit von α (Gradmaß) dargestellt. y steht hier für Sin – und Kosinuswerte und x für Winkel im Gradmaß. Die Graphen beschreiben die Funktionen mit den Zuordnungsvorschriften y = sin(x) und y = cos(x).

# Wie sollen die Sin- und Kosinuswerte berechnet werden, die zwischen den in der Tabelle angegebenen Werten liegen ?

# Zur Ermittlung dieser Zwischenwerte eignen sich Polynome.

# Berechnung von sin(x) und cos(x) mit Hilfe von Polynomen (anklicken !)