Durchführung einer Fourieranalyse

Zunächst wird nach Anklicken von „Mathe_Fourieranalyse“ eine Periode aus einem Diagramm mit einem Rechteck eingegrenzt. Es ist darauf zu achten, dass im markierten Bereich keine Punkte über dem Diagramm liegen. Ist dieser Vorgang mit einem Linksklick abgeschlossen, dann sucht der Rechner vom oberen Rand des Rechtecks ausgehend die Punkte des Diagramms, ermittelt deren Koordinaten, bestimmt a 1 · sin(ω · t + φ 1) , a 2 · sin(2 · ω · t + φ 2 ) ...und zeichnet den Graphen zu y = a 1 · sin( ω · t + φ 1). a 1· sin( ω · t + φ 1):Grundschwingung a 2· sin(2 · ω · t + φ 2) : 1. Oberschwingung a 3· sin(3 · ω · t + φ 3) : 2. Oberschwingung Abb. 1 Nach Anklicken von „ Es werden mehr als 0 Oberschwingungen gewählt “ (siehe Abb. 1) erscheint zunächst der Graphen zu y = a 1· sin(ω · t + φ 1) + a 2· sin(2 · ω · t + φ 2, dann mit dem nächsten Anklicken der zu y = a 1· sin( ω · t + φ 1) + a 2· sin(2 · ω · t + φ 2) + a 3· sin(3 · ω · t + φ 3) usw. . Das Verfahren wird dann abgebrochen, wenn der Graph von y = a 1· sin( ω · t + φ 1) + a 2· sin(2 · ω · t + φ 2) + a 3· sin(3 · ω · t + φ 3).... nur noch wenig von der ursprünglichen Kurve abweicht. Hiernach werden die einzelnen Amplituden a1, a2, a3, a4 .... in einem Säulendiagramm angezeigt. Nach Wahl von „Funktionsterm _Summe der Schwingungsterme" unter „Mathe.“ ist die zum Graphen gehörende Funktionsgleichung im Rechenfenster zu sehen. Nach Eingabe von „58“ und „START“ kann eine solche Analyse durchgeführt werden. Es erscheint ein Ausschnitt aus dem Diagramm in Abb. 6 (letztes Kapitel) mit einem Menü für mathematische Aufgaben ( siehe Abb. 2). Um die mit roten Strecken eingefasste Periode wird nach Anklicken von „Fourieranalyse“ bei gedrückter Linkstaste (Maus) ein Rechteck gezogen (siehe Abb. 3).
Abb. 2 | Abb. 3
Abb. 4 | Abb.5
In Abb. 4 ist das mit einem Mikrofon ( und CASSY-E) aufgenommene Schwingungsdiagramm zum Vokal a zu sehen. Es handelt sich um ein elektrisches Signal (Spannungs-Zeit-Diagramm), welches die durch den Vokal a verursachten Schwingungen der Mikrofonmembrane beschreibt. Nach Eingabe von „59“ und „START“ kann auch an diesem Diagramm eine Fourieranalyse vorgenommen werden. Die Säulen in Abb. 5 zeigen mit ihrer Höhe die Werte der Amplituden a1, a2, a3 ..... an. Die Grundschwingung ist durch 142 Schwingungen/ Sekunde ausgezeichnet. Die Zahl der Schwingungen in einer Zeiteinheit nennen wir Frequenz f. Ist die Zeiteinheit eine Sekunde, dann heißt die Einheit der Frequenz ein Hertz (Abkürzung: Hz). Die Frequenz f ist gleich dem Kehrwert der Periodendauer (Schwingungszeit) T. Beweis: Die Zahl der Schwingungen in einer Zeit t sei n. → t = n · T f = n / t = n / (n· T ) = 1/T Hier sei noch folgendes zu den Begriffen „Ton“ und „Klang“ angemerkt: Wenn ein periodisches, akustisches Signal durch den Graphen einer Sinusfunktion beschreibbar ist, dann spricht man von einem Ton, andernfalls von einem Klang. Jedem Klang kann eine Funktion y = a 1· sin(ω · t + φ 1) + a 2· sin(2 · ω · t + φ 2) + a 3· sin(3 · ω · t + φ 3).... zugeordnet werden. Den zu a 1· sin( ω · t + φ 1) gehörenden Anteil nennt man Grundton, den zu a 2· sin(2 · ω · t + φ 2) gehörenden Teil den 1. Oberton usw.. Die Obertöne bilden die sogenannte Klangfarbe.