1.8 Der Logarithmus

Aufgabe:

Es soll die Lösung zu y = bx (y = 5; b = 2) gefunden werden.

Die Aufgabe wird durch Intervallschachtelung gelöst.

Wir bestimmen ein Intervall [a|e], in dem x liegt. Als ein solches Intervall kommt z.B. [-1| 10] in Frage.

2-1 < 5 < 210 , 5 = 2x → -1 < x < 10

Das Intervall um x soll nun schrittweise verkleinert werden.

Es wird der Mittelwert c = (a+e)/2 von a und e bestimmt. Ist 2c > 5 (c ist zu groß), dann wird c als rechte Intervallgrenze genommen. Ist 2c < 5 (c ist zu klein), dann wird c als linke Intervallgrenze a bestimmt. Dieser Vorgang wird solange wiederholt bis das Intervall [a|e] einen Bereich < 0,0000001 umfasst.

Die Intervallschachtelung nach dem folgenden Programm liefert den Wert x = 2.32192808762193 (linke Intervallgrenze) .

|y|b|a|e|f|=|5|2|-1|10|1|: Anfangsbedingungen mit Doppelklick festlegen !

wiederhole bis f<0.0000001

c =(a+e)/2

d = b^c

f=abs(e-a)

wenn f<0.0000001

?x =

?c

ohnewenn

wenn d>= y

e=c

ohnewenn

wenn d<= y

a=c

ohnewenn

zurück

Nach Eingabe von „41“ und „START“ kann das Programm ausgeführt werden.

x nennt man den Logarithmus von 5 zur Basis 2. Hierfür schreibt man: x =log2 (5)

Definition des Logarithmus:

Unter logb (y) versteht man die Zahl, mit der b potenziert werden muss, wenn man y erhalten will.

Beispiele:

log2 (8) = 3 → 23 = 8

log10 (100) = 2 → 102 = 100

log2 (64) = 6 → 26 = 64

Für log10 (y) schreibt man lg(y) und für loge(y) , den Logarithmus zur Basis e, nimmt man als Kurzform ln(y). ln(y) wird natürlicher Logarithmus von y genannt.

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