# 6. Die Heronsche Dreiecksformel

Da ein Dreieck nach dem sss- Satz durch seine drei Seiten a, b und c eindeutig bestimmt ist, so muss auch sein Flächeninhalt mit a, b und c berechenbar sein. Wir wollen zunächst versuchen, eine passende Berechnungsformel zu erraten. Hierbei sollte man ein gegebenes Dreieck ändern, damit zu sehen ist, wie sich die Seitenlängen auf den Flächeninhalt auswirken. Es fällt auf, dass der Flächeninhalt gegen 0 strebt, wenn sich die Länge einer Seite ( hier die Seite c) dem halben Dreiecksumfang s = (a + b+ c)/2 nähert ( siehe Abb. 1).

Abb. 1

Das Dreieck hat demnach den Flächeninhalt 0, wenn s-c oder s-a oder s-b gleich 0 ist. Ein Term für den Flächeninhalt muss demnach den Wert 0 liefern wenn s-c oder s-a oder s-b gleich 0 ist. Da der Flächeninhalt auch Für s = 0 den Wert 0 annimmt, vermuten wir, dass in der Formel für den Flächeninhalt A das Produkt s · (s-a) · (s-b) · (s-c) enthalten ist. A = s · (s-a) · (s-b) · (s-c) kommt nicht in Frage, da in diesem Fall A die Einheit cm4 hätte.

Wir vermuten:

#### Heronsche Dreiecksformel

Beweis:

Abb. 2

Wir drücken b, a und c durch die Variablen h, d und e aus und zeigen, dass s · (s-a) · (s-b) · (s-c) den gleichen Wert liefert wie die für A2 gültige Gleichung A2 = h2 · (d+e)2 / 4 .

### A = h · (d+e) / 2 !

s · (s-a) · (s-b) · (s-c) = (a+b+c)/2 · (b + c – a)/2 · (a + c – b)/2 · (a + b – c)/2

s = (a+b+c)/2 !

→ s · (s-a) · (s-b) · (s-c) = 1/16 · [(a+b+c) · (b + c – a)] · [(a + c – b) · (a + b – c)]

→ s · (s-a) · (s-b) · (s-c) = 1/16 · (b2 + c2 + 2 · b· c – a2) · (a2 – b2 – c2 + 2 ·b · c)

b2 = d2 + h2 ; a2 = h2 + e2 ; c2 = (d + e)2 = d2 + 2 · d · e + e2

→ s · (s-a) · (s-b) · (s-c) = 1/16 · (2 · d2 + 2 · d · e + 2 · b· c) · (- 2 · d2 – 2 · d · e + 2 · b · c)

→ s · (s-a) · (s-b) · (s-c) = ¼ · [ d · (d + e) + b· c ] · [b · c – d · (d + e)]

→ s · (s-a) · (s-b) · (s-c) = ¼ · [ d · c + b· c ] · [b · c – d · c]

→ s · (s-a) · (s-b) · (s-c) = ¼ · c 2 ( b + d ) · (b – d ) = ¼ · c 2 (b 2 – d 2) = ¼ · c2 · h2 = A2 q.e.d.