### Über die Graphen quadratischer Funktionen

Die Spezielle quadratische Funktion y = x² trägt den Namen Quadratfunktion. Die Graphen zu quadratischen Funktionen nennen wir Parabeln. Die Parabel zu y = x² heißt Normalparabel. In Abb. 1 sind die Graphen zu verschiedenen quadratischen Funktionen dargestellt.

Abb. 1

Nach Eingabe einer „17“und „START“ können diese Graphen mit Mathe-Physik entwickelt werden.

An Abb. 1 ist zu erkennen:

1.) y = x² + 3 beschreibt eine um 3 nach oben verschobene Normalparabel.

2.) y = (x - 4)² beschreibt eine um 4 nach rechts verschobene Normalparabel.

Zur Erklärung dieses Sachverhalts muss darauf hingewiesen werden, dass y = (x - 4)² für z.B. x = 4 +0,1, x = 4+ 0,2 , x = 4 + 0,3 die gleichen Werte annimmt wie y = x² für x = 0,1, x = 0,2, x = 0,3.

→ Der Graph zu y = (x-4)² entwickelt sich um x = 4 genauso wie der Graph von y = x² um x = 0.

3.) Der Graph zu y = (x-4)² +5 ist eine um 4 nach rechts und um 5 nach oben verschobene Normalparabel.

Schlussfolgerung: Ein Graph zu f(x) = (x-d)² + e ist eine verschobene Normalparabel.

d: Verschiebung parallel zur x-Achse.

e: Verschiebung parallel zur y-Achse.

Ist d bzw. e positiv, dann hat man eine Verschiebung in Achsenrichtung, andernfalls eine Verschiebung gegen die Achsenrichtung. P = P(e; d) ist der Scheitelpunkt der Parabel (der tiefste oder höchste Punkt).

Aufgabe:

Es soll der Scheitelpunkt zu einer Parabel mit der Zuordnungsvorschrift y = x² + b·x + c bestimmt werden. y = x² + b·x + c muss zu diesem Zweck in die Form y = (x - d)² + e gebracht werden. Dies geschieht mit Hilfe der quadratischen Ergänzung (b/2)².

y = x² + b·x +(b/2)² + c - (b/2)²

y = (x + b/2)2 + c – b2/4 → d = - b/2 ; e = c – b2/4

Es ist zu sehen, dass jede quadratische Funktion der Form y = x² + b·x + c durch eine verschobene Normalparabel dargestellt wird.

Über die Bedeutung von a in y = a·x² + b·x + c

Es soll nun noch untersucht werden, wie sich der Faktor a vor x² auf den Graphen auswirkt. In Abb. 2 sind Graphen zu den Funktionen y = x², y = 2·x² und y = 1/3· x² zu sehen.

Abb. 2

Nach Eingabe einer „18“und „START“ können diese Graphen mit Mathe-Physik_2 entwickelt werden.

Wir erkennen anhand der Abb. 2:

1.) Der Graph zu y = 2·x² ist das Bild der Normalparabel bezüglich einer zentrischen Streckung an Z = Z(0|0) mit m = ½.

2.) Der Graph zu y = 1/3·x² ist da Bild einer Normalparabel bezüglich einer zentrischen Streckung an Z = Z(0|0) mit m = 3.

Der Graph zu y = a·x² ist demnach das Bild einer Normalparabel bezüglich einer zentrischen Streckung an Z = Z(0|0) mit m = 1/a.

Eine zentrische Streckung mit negativem m ( a < 0) führt zu einer Umkehrung der Parabel (siehe Abb. 3).

Abb. 3

Nach Eingabe einer „19“und „START“ können die Graphen in Abb. 3 mit Mathe-Physik entwickelt werden.

y = a·x² + b·x + c kann mit einer quadratischen Ergänzung umgeformt werden in y = a·(x-d)² + e.

↓

Der Graph jeder quadratischen Funktion kann als zentrisch gestreckte und verschobene Normalparabel aufgefasst werden.

Beweis:

y = a · x2 + b· x + c ↔ y = a · [ x2 + (b/a) · x + c/a ] ↔ y = a · [ x2 + (b/a) · x + (½ · b/a)2 + c/a - (½ · b/a)2 ]

↓

y = a · [ (x + ½ · b/a)2 + c/a – b2/ (4· a2)] ↔ y = a ·(x + ½ · b/a)2 + c – b2/ (4· a)

↓

d = - ½ · b/a; e = c – b2/ (4· a)

Abb. 4 : Menneken Pis, eine bekannte Brunnenfigur in Brüssel

Aufgaben zum Kapitel „Quadratische Funktionen“ (anklicken !)