1.3 Die Zahl e

Herleitung des Wachstumsgesetzes einer Bakterienkultur

Bakterienwachstum wird durch das folgende Programm beschrieben ( siehe Kapitel 1.1):

|n|k|h|t|=|100|0.2|0.01|0|: h steht für Δt

Wiederhole bis n>1000

_t;n

n = n + k*n*h

t = t + h

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Die mit diesem Programm entwickelte Wachstumskurve gleicht dem Grafen zu

nt = f(t) = 100 · 2 t/T ( T = Verdopplungszeit). Die Verdopplungszeit T hängt vom Wachstumsfaktor k ab.

k = Δn / (n · Δt)

Je größer k ist, desto kleiner ist T. Möglicherweise ist das Produkt k · T eine Konstante. An Wachstumskurven zu verschiedenen k werden Verdopplungszeiten abgelesen. Die Vermutung, dass k · T eine Konstante ist ( T ~ 1/k ), erfährt eine Bestätigung. Für das genannte Produkt findet man in allen Fällen:

k · T = 0,692 → T = 0,692/k

↓

nt =100 · 2t /T = 100 · 2 k·t / 0,692

1 /0,692 = 1,445

↓

nt = 100 · 21,445·k·t = 100 · (21,445)k·t

Zur Vereinfachung dieses Terms nehmen wir 21,445 als Basis und geben dem Wert 21,445 = 2,72 den Namen e. So können wir schreiben :

nt = f(t) = n0 · e k·t ; n0 = 100

e als Grenzwert von (1+ b)b

Der oben angegebene Gleichung für das Bakterienwachstum soll nun hergeleitet werden. Für den Zuwachs Δn von n Bakterien in einem kleinen Zeitabschnitt Δt gilt:

Δn = n · k · Δt

Diese Gleichung ist mit einem kleinen Fehler behaftet, denn n ist nicht konstant in Δt, sondern ändert sich innerhalb dieses kleinen Zeitabschnitts. Der Fehler ist jedoch nicht nennenswert, wenn Δt sehr klein gewählt ist.

Wenn wir die Bakterienzahl am Anfang und Ende von Δt (Δt1) mit n0 und n1 bezeichnen, dann gilt:

n1 = n0 + n0 · k · Δt = n0 · (1+ Δt · k)

Hieraus folgt für den nächsten Abschnitt Δt:

n2 = n1 + n1 · k · Δt = n1 · (1+ Δt ·k)

Unter Berücksichtigung von n1 = n0 · (1+ Δt · k) folgt hieraus: n2 = n0 · (1+ Δt ·k)2

Die Zahl nj am Ende eines aus j Zeitabschnitten gebildeten Zeitraums der Dauer t kann somit errechnet werden nach:

nj = n0·(1+ Δt ·k)j

nj = n0 · (1+ Δt · k)j ; j = t /Δt → nj = n0 · (1+ Δt · k)t/Δt

Um einen Vergleich mit f(t) = n0 · e k·t zu ermöglichen, wird der Exponent mit k erweitert.

↓

nt = n0·(1+ Δt·k)k · t / (k · Δt) → nt = n0· [(1+ Δt·k)1/ ( k · Δt ) ]k · t

1/( k · Δt) = b

↓

nt = n0· [(1+ 1/b)b ]k · t

Oben wurde gesagt, dass Δn = n · k · Δt umso besser gilt je kleiner Δt ist. Folglich geht der durch die Dauer von Δt bedingte Fehler in nt = n0 · [(1+ 1/b)b]k · t gegen 0, wenn b gegen strebt . Beim Vergleich von nt = n0· [(1+ 1/b)b ]k · t mit nt=n0·ek·t wird der Schluss nahegelegt, dass der Term (1+1/b)b mit größer werdendem b bzw. kleiner werdendem Δt gegen e strebt. Die Überprüfung dieser Vermutung erfolgt im Tabellenfenster von „Mathe.-Physik“ in 3 Schritten.

1. Es wird eine Tabellenspalte mit den Zahlen von 1 - 10 angelegt (Tabelle bearbeiten ! ).

2. Es wird mit 3^a ausgewertet; es entsteht die zweite Spalte mit Werten 3^a.

3. Nun erfolgt eine Auswertung mit (1+1/b)^b; es entsteht die 3. Spal

a | b = 3^a | (1+1/b) ^b
1 | 3 | 2.37037037037035
2 | 9 | 2.58117479171317
3 | 27 | 2.66959397781279
4 | 81 | 2.70168999138437
5 | 243 | 2.71270967249571
6 | 729 | 2.71641977890029
7 | 2187 | 2.71766062523216
8 | 6561 | 2.71807470293284
9 | 19683 | 2.71821278041676
10 | 59049 | 2.71825881191174

An der dritten Spalte ist zu erkennen, dass die ausgesprochene Vermutung zutrifft. (1+1/b)b strebt mit wachsendem b gegen einen Wert um 2.7182.. , der sich von dem ursprünglich für e festgelegten Wert 2,72 nur geringfügig unterscheidet. Die Folge der Werte (1+1/b) ^b verhält sich ähnlich wie die Zahlenfolge 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; 0,99999............. Auch die Glieder dieser Zahlenfolge nähern sich nach und nach immer mehr einer als Grenzwert bezeichneten Zahl. Der Grenzwert der Folge 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; 0,99999............. ist 1.

Nach Eingabe einer „32“ und „START“ kann die hier geschilderte Untersuchung ausgeführt werden.

Angesichts dieser Tatsache ist es sinnvoll, e als Grenzwert von (1+1/b)b zu definieren.

Nach Eingabe von „29“ und „START“ kann gezeigt werden, dass n = n · ek·t das Wachstum einer Bakterienkultur beschreibt.

Zunächst wird mit dem Wachstumsprogramm die Wachstumskurve geschrieben. Anschließend wird die unter dem Progamm stehende Gleichung f(t) = 100*exp(k*t) doppelt angeklickt. exp(k*t) steht für ek*t.