8. Der Strahlensatz

Aufgabe:

Es soll die Höhe eines Turms bestimmt werden.

Zu diesem Zweck wird vor dem Turm eine Latte der Länge a so aufgestellt, dass ein Beobachter von P aus das obere Ende der Latte auf der Turmspitze sieht (siehe Abb. 1).

Abb. 1

Damit anhand von a auf die Turmhöhe d geschlossen werden kann, muss zunächst untersucht werden, in welcher Weise sich a mit wachsendem b ändert.

Nach Anklicken dieser Zeile ist eine Gerade zu sehen, die sich ohne Richtungsänderung über eine Geradenkreuzung bewegt.

Man gewinnt den Eindruck, dass a/b konstant bleibt. Dies bedeutet, wenn b verdoppelt wird, dann wird auch a verdoppelt usw.. a verändert sich im gleichen Verhältnis wie b. Man sagt, a sei b proportional. Die Kurzform für diese Aussage ist: a ~ b.

In Bezug auf die Abb. 1 können wir den Schluss ziehen: a/b = d/c → d = a/b · c

Vor einem Beweis der Behauptung a/b = konstant sollen zunächst noch weitere Folgerungen aus dieser Behauptung gezogen werden (siehe Abb. 2).

Abb. 2

a/b = c/d → a ·d = b ·c Beide Seiten der Verhältnisgleichung wurden mit b · d multipliziert.

Beide Seiten von a ·d = b ·c werden durch b · a geteilt.

→ d /b = c /a

In Worten heißt dies:

Wenn eine Geradenkreuzung zwei Strecken mit den Längen a und c aus parallelen Geraden ausschneidet, dann verhalten sich die ausgeschnittenen Strecken zueinander wie die Abstände ihrer entsprechenden Endpunkte vom Kreuzungspunkt (Teil I des Strahlensatzes).

Was für b und d gilt, muss auch für e und f zutreffen.

f/e = c/a

d /b = c /a; f/e = c/a → d /b = f/e

Die Abstände auf der einen Kreuzungsgeraden verhalten sich wie die entsprechenden Abstände auf der anderen Kreuzungsgeraden (Teil II des Strahlensatzes).

Beweis des Strahlensatzes (anklicken !)

Wird in einem Satz die Bedingung mit der Behauptung vertauscht, dann erhält man einen Kehrsatz.

Der Strahlensatz ist umkehrbar

Umkehrung des Strahlensatzes (anklicken !)

Nach dem Strahlensatz kann eine Strecke im Verhältnis zweier anderer Strecken geteilt werden.

Teilung einer Strecke (anklicken !)

Der Satz des Apollonius (anklicken !)