#### Der Satz von Vieta

Aufgabe:

Es soll eine quadratische Gleichung mit den Lösungen x1 = 2 und x2 = - 6 bestimmt werden. Lineare Gleichungen mit diesen Lösungen sind leicht zu finden, z.B.: x - 2 = 0 und x + 6 = 0

Diese Beispiele veranlassen zur Aufstellung der folgenden Gleichung: (x-2)· (x+6) =0. Es handelt sich hierbei um eine quadratische Gleichung mit den angegebenen Lösungen.

Statt (x-2)·(x+6) = 0 kann auch geschrieben werden a · (x-2) · (x+6) = 0.

a · (x - 2) · (x + 6) = 0 → a · x 2 + 4· a · x - 12 = 0

Zu zwei gewünschten Lösungen x1 und x2 kann sofort eine passende quadratische Gleichung in der Form a·(x - x1) · (x - x2) = 0 angegeben werden.

a·(x - x 1) ·(x - x 2) = 0 ↔ a·x 2 - a·x·x 2 - a·x·x 1 + a · x 1· x 2 = 0 ↔ a·x 2 +a·(-x 1-x 2)·x + a·x 1·x 2 = 0

Beim Vergleich mit der Normalform einer quadratischen Gleichung a·x² + b·x + c = 0 fällt auf:

b = a·(-x 1-x 2); c = a·x 1·x 2 → b/a = -(x 1+x 2); c/a = x 1·x 2

Wir erkennen:

b/a Ist gleich dem Gegenwert aus der Summe der beiden Lösungen und c/a gleicht dem Produkt der beiden Lösungen.

Dieser von Vieta aufgestellte Satz ermöglicht hin und wieder das Erraten von Lösungen.

1. Beispiel: x2 - 7 ·x + 12 = 0

4·3 = 12; 4 + 3 = 7 → x 1 = 4; x 2 = 3

2. Beispiel: x2 - x - 12 = 0

4 · (-3) = -12; -3 + 4 = 1 → x 1 = 4; x 2 = -3