Bestimmung von (a0 + a1· x + a2 · x2 + a3· x3 ……………+ an-1 · x n-1 + an · xn ) : (x-x0) nach dem Horner-Schema

Als man noch nicht über elektronische Rechenhilfen verfügte, war zu schnellen Berechnung eines Polynoms P(x) die folgende Umformung angebracht:

P(x) = a0 + a1· x + a2 · x2 + a3· x3 + a4 · x4

P(x) = {[(a4 · x+ a3) · x + a2 ] · x + a1 } · x + a0

Zur Ermittlung seines Wertes für ein gegebenes x wird zunächst a4 · x+ a3 = A3 , dann A3 · x + a2 = A2 , dann A2 · x + a1 = A1 und schließlich A1 · x + a0 = A0 berechnet. A0 ist das Ergebnis.

Dieses Berechnungsverfahren kann schematisiert werden.

a4 | a3 | a2 | a1 | a0
| +a4 · x | +A3 · x | + A2 · x | +A1· x
a4 | A3 | A2 | A1 | A0

Wenn x eine Nullstelle x0 ist, dann sind a4, A3, A2 und A1 die Faktoren ( Koeffizienten) von P(x) / (x-x0 ).

P(x) / (x-x0 ) = a4 · x3 + A3 · x2 + A2 · x + A1 ; A0 = 0

Beispiele:

1. Beispiel:

P(x) = x3 - 2·x2 - x + 2; x0 = 1

1 | -2 | -1 | 2
| +1 | + (-1) | + (-2)
1 | -1 | -2 | 0

P(x) / (x – 1) = x2 – 1 · x – 2

2. Beispiel:

P(x) = x4 – 1 = x4 + 0· x3 + 0 · x2 + 0 · x – 1; x0 = 1

1 | 0 | 0 | 0 | -1
| 1 | 1 | 1 | +1
1 | 1 | 1 | 1 | 0

P(x) / (x-1) = x3 + x2 + x + 1

Beweis zur Behauptung: P(x) / (x-1) = an· xn-1 + An-1 · xn-2 + .......+ A1

an · xn + an-1· xn-1 + an-2 · xn-2 +.....+ a1 · x + a0 = P(x); x0 sei eine Nullstelle

P(x) = an · (xn – x0n) + an-1· (xn-1 – x0n-1)+……. + a2 · (x2 - x02) + a1 · (x – x0)

Beachte :

(xn – x0n) = (x – x0 ) · (xn-1 + xn-2 · x0 + xn-3 · x02 .................+ x0n-1)

(xn-1 – x0n-1) = (x – x0 ) · (xn-2 + xn-3 · x0 + xn-4 · x02 .................+ x0n-2)

↓

a n·(xn – x0n) : (x – x0 ) = a n·xn-1 + a n·xn-2 · x0 + a n·xn-3 · x02 .................+ a n·x0n-1

Wenn x0 ist eine Nullstelle ist, dann gilt: P(x) = an·(xn –x0n)+ an-1·(xn-1– x0n-1)+an-2·(xn-2–x0n-2).…. + a2·(x2-x02) + a1·(x–x0) P(x) / (x-x0) =
an·(xn –x0n)+ | an-1·(xn-1– x0n-1)+ | an-2·(xn-2–x0n-2)+ | .…. + a2·(x2-x02) + | a1·(x–x0) |
: (x-x0) || | : (x-x0) || | : (x-x0) || | : (x-x0) || | : (x-x0) || |
an · xn-1 |  |  |  |  | = an · xn-1
+ an · xn-2 ·x0 | + an-1· xn-2 |  |  |  | = An-1 · xn-2
+ an · xn-3 · x02 | + an-1· xn-3 · x0 | + an-2· xn-3 |  |  | = An-2 · xn-3
+ an · xn-4 · x03 | + an-1· xn-4 · x02 | + an-2· xn-4 · x0 + ...... |  |  | = An-3 · xn-4
+ .......... | + .......... | + .......... |  |  | ............
+ an ·x ·x0n-2 | + an-1 ·x ·x0n-3 | + an-2 ·x ·x0n-4. | …... + a2 · x |  | =A2
+ an · x0n-1 | + an-1 · x0n-2 | + an-2 · x0n-3 | …..+ a2 · x0 | + a1 | = A1

Im Tabellenfenster von „Mathe-Physik“ kann P(x) : (x – x0) leicht nach dem Horner-Schema bestimmt werden.

Geg.: P(x) = 2 · x3 - 8 · x2 + 2 · x + 12 · x0 ; Nullstelle x0 = -1

Die Koeffizienten 2, - 8, 2, und 12 werden in der ersten Spalte angeordnet. Anschließend wird die Tabelle nach Festlegung der Anfangsbedingungen mit a+S*x ausgewertet ( x = x0). S mit dem Anfangswert 0 ist jeweils das Ergebnis der letzten Rechnung ! Es entsteht eine zweite Spalte mit den Koeffizienten des Polynoms P(x) / ( x- x0) = 2·x2 -10·x +12.

a+S*x

| 2 | 2 |

| -8 | -10 |

| 2 | 12 |

| 12 | 0 |

Nach der Eingabe von „40“ und „START“ kann die Rechnung ausgeführt werden