12. Funktion und Umkehrfunktion

Die nachfolgende Tabelle beschreibt eine Quadratfunktion f(x) = x2. Die erste Spalte enthält die Elemente der Definitionsmenge, in der zweiten Spalte sind die Elemente der Wertemenge.

x y

| 1 | 1 |

| 2 | 4 |

| 3 | 9 |

| 4 | 16 |

| 5 | 25 |

Die nächste Tabelle unterscheidet sich von der 1. Tabelle durch die Reihenfolge der Zahlensäulen. Sie beschreibt eine Funktion y = f*(x), die als Umkehrfunktion der Quadratfunktion bezeichnet wird.

x y

| 1 | 1 |

| 4 | 2 |

| 9 | 3 |

| 16 | 4 |

| 25 | 5 |

y = x² ist die Zuordnungsvorschrift zur 1. und y = die zur 2. Tabelle. Die Wurzelfunktion y = ist somit die Umkehrfunktion der Quadratfunktion y = x². In Abb. 1 sind beide Funktionen graphisch dargestellt.

Den Graphen einer Umkehrfunktion erhält man durch Achsenspiegelung des zur ursprünglichen Funktion gehörenden Graphen an der Geraden y = x.

Abb. 1

Nach Eingabe von „21“ und „START“ kann die graphische Darstellung ausgeführt werden.

Vertauschung von x und y in der Zuordnungsvorschrift einer Funktion führt zur Zuordnungsvorschrift der Umkehrfunktion.

Beispiel:

# Funktion: y = x²; Definitionsmenge D = Menge der reellen Zahlen

Umkehrfunktion: x = y² → √(x) = |y| → y = ± √(x)

Es ist bekannt, dass von einer Funktion nur dann gesprochen werden kann, wenn y eindeutig durch x bestimmt ist.

Deshalb kommen nur y = + √(x) und y = - √(x) als Funktionen in Frage.

y = +√(x) ist die Umkehrfunktion von y = x² ( x ≥ 0).

y = - √(x) ist die Umkehrfunktion von y = x² ( x ≤ 0).

In Abb. 2 sind die Quadratfunktionen y = x² ( x ≥ 0); y = x² (x ≤ 0) sowie deren Umkehrfunktionen graphisch dargestellt.

Abb. 2

Folgendes ist zu sehen:

Durch Umkehrung einer Funktion y = f(x) erhält man nur dann wieder eine Funktion, wenn y = f(x) einen streng monoton steigenden bzw. streng monoton fallenden Verlauf hat, nur dann ist sie umkehrbar.

Trifft dies nicht zu, dann hat y = f(x) zu verschiedenen x - Werten gleiche y-Werte. Nach seiner Umkehrung finden wir verschiedene Wertepaare (x; y), die im x-Wert übereinstimmen.

Streng mononoton steigend heißt: Einem größeren x-Wert wird immer ein größerer y-Wert zugeordnet.

Streng monoton fallend heißt: Einem größeren x-Wert wird immer ein kleinerer y - Wert zugeordnet.