# 1.7 Nullstellen eines Polynoms

# An einem Polynom P(x) sind oft die Nullstellen von Interesse, die x-Werte, mit denen ein Polynom den Wert 0 annimmt.

# y = x3 - 2·x2 - x + 2 hat die Nullstellen 1; -1 und +2.

# Die Nullstellen kann man mit „Mathe.-Physik“ unter „Mathe._Gleichungen n. Grades“ bestimmen. Ein Iterationsverfahren, welches dem zur Berechnung einer n. Wurzel ähnelt, dient zur Ermittlung der Nullstellen.

# Es gilt: Wenn ein Polynom eine Nullstelle x0 hat, dann kann es als ein Produkt aus (x - x0) und einem Polynom geringeren Grades dargestellt werden.

# Beispiel: x3 - 2·x2 - x + 2 = (x - 1) · (x2 - x - 2)

# Beweis:

# y = a0 + a1· x + a2 · x2 + a3· x3 ……………+ an-1 · x n-1 + an · xn

# x0 sei eine Nullstelle.

# 0 = a0 + a1· x0 + a2 · x02 + a3· x03 ……………+ an-1 · x0n-1 + an · x0n

# Durch Subtraktion der beiden letzten Gleichungen erhält man:

# y = a1 · (x – x0 ) + a2 · ( x2 – x02 ) + a3 · (x3 – x03 ) + …………….an · (xn – x0n)

# Aus einem Term der Form xn – x0n kann immer x – x0 ausgeklammert werden.

# x2 – x02 = (x – x0) · ( x + x0)

# x3 - x03 = (x – x0) · (x2 + x · x0 + x02 )

# xn – x0n = (x – x0 ) · (xn-1 + xn-2 · x0 + xn-3 · x02 .................+ x0n-1)

# Die letzte Gleichung kann leicht durch Ausmultiplizieren bewiesen werden.

# (x – x0 ) · (xn-1 + xn-2 · x0 + xn-3 · x02 .................+ x0n-1) =

# xn + xn-1 · x0 + xn-2 · x0 + x n-3 · x02 …………+ x · x0n-1

# - xn-1 · x0 - xn-2 · x0 - x n-3 · x02 …………- x · x0n-1 – x0n = xn – x0n

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# Hat ein Polynom n. Grades n Nullstellen, dann kann es in ein Produkt an · (x – x01) · (x- x02) .........· (x-x0n) umgeformt werden. Mit dieser Darstellung wird deutlich, dass ein Polynom n. Grades nicht mehr als n Nullstellen haben kann.

# Wenn der Grad des Polynoms größer als 2 ist, dann kann im Schulunterricht eine solche Nullstelle nur durch Probieren gefunden werden. Ist eine Nullstelle x0 gefunden, dann wird (x-x0) ausgeklammert. Das Restpolynom ( Faktor neben x – x0 ) wird auf weitere Nullstellen hin untersucht. Zur Auffindung des Restpolynoms teilt man das Polynom durch (x-x0).

# Polynomendivision (anklicken !)

# Bestimmung von P(x)/(x-x0) nach dem Horner-Schema (anklicken !)

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