1.6 Näherungsweise Beschreibung einer Exponentialfunktion durch ein Polynom

Potenzen mit nicht ganzzahligen Exponenten sind nur schwer zu berechnen (Iteration). Deshalb wird eine leicht berechenbare Funktion gewünscht, die zur näherungsweisen Beschreibung einer Exponentialfunktion geeignet ist.

Polynomfunktionen kommen in Frage. Unter einem Polynom versteht man einen Term der Form: a0 + a1 · x + a2 · x2 + a3 · x3 + ........................ Unter Berücksichtigung von a0 = a0 · x0 kann man sagen, ein Polynom P(x) ist eine Summe aus Produkten an · xn.

Beispiele: P(x) = 2 + 0 · x + x2 ; P(x) = 1 + 4 · x + 2 · x2 + 3 · x3

Der höchste Exponent in den Podukten an · xn ( an ≠ 0 ) heißt Grad des Polynoms.

Es gilt:

Zu n Punkten mit verschiedenen x-Werten, die nicht alle auf der gleichen Höhe liegen, kann man immer ein und nur ein Polynom (n-1). Grades bestimmen, dessen Graph durch diese n Punkte hindurchläuft. Wählt man die Punkte auf dem Graph einer Exponentialfunktion aus, dann erhält man ein Polynom, dessen Graph sich gut dem Graphen der Exponentialfunktion anpasst.

Zur Überprüfung dieser Behauptung wird nach der Eingabe von „36“ die Taste „START“ angeklickt.

Es erscheint das Rechenfenster von Mathe.-Physik mit dem Funktionsterm f(x) = 2^x ( 2x ) . Nach Darstellung des zu f(x) = 2^x gehörenden Graphen wird unter „Mathe.(Hauptmenü)“ der Menüpunkt „Polynome“ ausgewählt. Daraufhin sind 6 Punkte, auf dem Graphen (siehe Abb. 1) anzuklicken. Die Auswahl der Punkte wird mit einem Rechtsklick abgeschlossen. Nach Vorgabe eines Zeichenintervalls wird der Graph zu einem Polynom 5. Grades durch die ausgewählten 6 Punkte gezeichnet. Zur Festlegung des Zeichenintervalls dient eine bewegliche senkrechte Strecke, die man zunächst zur linken und dann zur rechten Intervallgrenze führt, wobei die Intervallgrenze jeweils mit einem Linksklick dem Rechner mitgeteilt wird.

Der zugehörende Term erscheint im Rechenfenster, wenn man unter „Mathe.“ der Menüpunkt

„Funktionsterm - 3. Term zum Polynom“ anklickt.

In Abb. 1 ist der Graph von f(x) = 2x (schwarz) zusammen mit dem Graphen eines Polynoms 5. Grades (rot) zu sehen. Für den Polynomgraph wurden die mit kleinen Kreisscheiben markierten Punkte ausgewählt. Der Polynomgraph weicht erst bei x-Werten < - 2 von dem Graphen der Exponentialfunktion sichtbar ab.

Abb. 1

Polynom 5. Grades: P(x) = 1.00878+0.67916*x^1+0.24029*x^2+0.05532*x^3+0.00955*x^4+0.00205*x^5 ≈ 2x

Wie kann das Poynom 5. Grades berechnet werden ?

y = a0 + a1· x + a2 · x2 + a3 · x3 + a4 · x4 + a5 · x5

Der Graph dieses Polynoms soll durch die folgenden Punkte auf dem Graph zu y = 2x laufen:

P(-2;1/4), P(-1;1/2), P(0;1), P(1;2), P(2;4), P(3; 8)

Es gilt:

0,25 = a0 + a1· (-2) + a2 · 4 + a3 · (-8) + a4 · 16 + a5 · (-32) 0,5 = a0 + a1· (-1) + a2 · 1 + a3 · (-1) + a4 · 1 + a5 · (-1) 1 = a0 + a1· 0 + a2 · 0 + a3 · 0 + a4 · 0 + a5 · 0 2 = a0 + a1· 1 + a2 · 1 + a3 · 1 + a4 · 1 + a5 · 1 4 = a0 + a1· 2 + a2 · 4 + a3 · 8 + a4 · 16 + a5 · 32 8 = a0 + a1· 3 + a2 · 9 + a3 · 27 + a4 · 81 + a5 · 243

Es handelt sich um 6 Gleichungen mit den 6 Unbekannten a0 – a5.

1· a0 1· a0 1· a0 1· a0 1· a0 1· a0 | + (-2)· a1 + (-1)· a1 + 0 · a1 + 1 · a1 + 2 · a1 + 3 · a1 | + 4 ·a2 + 1 · a2 + 0 · a2 + 1 · a2 + 4 · a2 + 9 · a2 | + (-8) · a3 + (-1) · a3 + 0 · a3 + 1· a3 + 8 ·a3 + 27 ·a3 | + 16 · a4 + 1 ·a4 + 0 · a4 + 1 · a4 + 16 · a4 + 81 · a4 | + (-32) · a5 + (-1) ·a5 + 0 · a5 + 1 · a5 + 32 ·a5 + 243 · a5 | + (-0,25) | = 0
+ (-0,5) | = 0
+ (-1) | = 0
+ (-2) | = 0
+ (-4) | = 0
+ (-8) | = 0

Wir schreiben für a0 , a1 ... die Variablen x (1); x(2)...

x(1) = a0; x(2) = a1; x(3) = a2; x(4) = a3; x(5) = a4; x(6) = a5

Zur Berechnung von x(1) – x(6) wird in „Mathe.-Physik“ der Menüpunkt „Mathe.- Lineare Gleichungen“ ausgewählt. Nach dem Eintrag der zu x(1) – x(5) gehörenden Faktoren und der Summanden vor dem Gleichheitszeichen wird „Start“ angeklickt. Die Lösungen werden im Rechenfenster angezeigt

x(1) = 1; x(2) = 0,69583; x(3) = 0,23958; x(4) = 0,05208; x(5) = 0,01041; x(6) = 0,00208

Nach Eingabe von „36“ und „START“ kann geprüft werden, wie gut ein Polynom mit den für a o bis a 5 errechneten Werten die Exponentialfunktion beschreibt.

Im Rechenfenster steht „f(x) =1 + 0,69583*x +0,23958*x^2 + 0,05208*x^3 +0,01041*x^4 + 0,00208*x^5“ unter „f(x) = 2^x“.

Wie bestimmt der Rechner die Lösungen eines Systems aus linearen Gleichungen ?“

Das Lösungsverfahren soll nun an einen System aus drei Gleichungen erläutert werden.

2 · x -1 · x 4 · x | + 3 ·y + 1·y -1 · y | + 4 · z + 2 · z -3 · z | -2 -3 +1 | = 0 = 0 = 0

Die 1. Zeile wird nach Multiplikation mit –1/2 von der 2. Zeile und dann nach Multiplikation mit 4/2 von der 3. Zeile subtrahiert.

2 · x 0 0 | + 3 ·y + 2,5 ·y -7 · y | + 4 · z + 4 · z -11 · z | -2 -4 +5 | = 0 = 0 = 0

Die 2. Zeile wird nach Multiplikation mit 3/2,5 von der 1. Zeile und dann nach Multiplikation mit –7/2,5 von der 3. Zeile subtrahiert.

2 · x 0 0 | + 0 + 2,5 ·y + 0 | - 0,8 · z + 4 · z + 0,2 · z | +2,8 -4 -6,2 | = 0 = 0 = 0

Die 3. Zeile wird nach Multiplikation mit –0,8/0,2 von der 1. Zeile und dann nach Multiplikation mit 4/0,2 von der 2. Zeile subtrahiert.

2 · x 0 0 | + 0 + 2,5 ·y + 0 | + 0 + 0 + 0,2 · z | -22 +120 -6,2 | = 0 = 0 = 0 | → → → | x = 11 y = -48 z = 31

Das Gleichungssystem kann mit dem hier beschriebenen Verfahren im Tabellenfenster von „Mathe.-Physik“ gelöst werden. Wie hierbei vorzugehen ist, erfährt man nach Anklicken von: Lösung eines Systems linearer Gleichungen.

Nach Eingabe von „38“ und „START“ kann die Arbeit mit dem Gleichungssystem im Tabellenfenster beginnen.

Herleitung eines Näherungspolynoms

Als Voraussetzung zur Herleitung eines für eine Exponentialfunktion passenden Näherungspolynoms kann die für eine Exponentialfunktion gültige Regel bx · bx = b(x + x) dienen. Wir gehen davon aus, dass b so gewählt werden kann, dass in dem zu bx gehörenden Näherungspolynom x1 = x den Beiwert 1 hat, und dass eine beliebig gute Annäherung an bx durch Anhängen weiterer Glieder a4 · x4 + a5 · x5 + ... erreicht werden kann.

bx = 1 + x + a2 · x2 + a3 · x3 .....

Die Koeffizienten des Polynoms sind durch die oben genannte Bedingung festgelegt.

bx · bx = (1 + x + a2 · x2 + a3 · x3 ....) · (1 + x + a2 · x2 + a3 · x3 ....) =

1 + x + x + a2 · x2 + x2 + a2 · x2 + a2· x3 + a2 · x3 + a3 · x3 + a3 · x3 ...... =

1 + (x + x) + (2·a2 + 1)/4 · (x + x)2 + (2·a3+2·a2)/8 · (x + x)3 ................

bx · bx = b(x + x) = 1 + (x + x) + (2·a2 + 1)/4 · (x + x)2 + (2·a3+2·a2)/8 · (x + x)3 ................

Nach den Voraussetzungen kann für b(x + x) auch geschrieben werden :

b(x + x) = 1 + (x + x) + a2 · (x + x)2 + a3 · (x + x)3 .........

Ein Koeffizientenvergleich liefert:

(2 · a2 + 1)/4 = a2 → a2 = ½

(2 · a3 + 2 · a2)/8 = (2 · a3 + 1)/8 = a3 → a3 = 1/6

Bei einer Fortsetzung dieses Verfahrens findet man: a4 = 1/24, a5 = 1/120 ......

Hierbei fällt auf : an = 1/n! ; n! = 1 · 2 · 3 · 4 ........... · n (Sprechweise: n Fakultät)

Beispiele: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24; 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120

f(1) = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! ................+1/n! strebt mit wachsendem n gegen die Zahl e = 2,718....

Unter Berücksichtigung von f(1) ≈ b1 = b kann der Schluss gezogen werden:

f(x) = 1 + x + 1/2! · x2 + 1/3! · x3 ... beschreibt die Exponentialfunktion y = ex.

Nach Eingabe von „39“ und „START“ kann dies geprüft werden.