2.9 Additionstheoreme der Winkelfunktionen

Ein Punkt P werde nach einer Drehung um α noch einmal um einen Winkel β gedreht. Nach der ersten Drehung hat er die Koordinaten x; y , nach der zweiten Drehung die Koordinaten x* ; y*.

Es gilt:

x = x · cos α - y · sin α y = x · sin α + y · cos α | x* = x · cos β – y · sin β y* = x · sin β + y · cos β | x* = x · cos ( α + β) - y · sin ( α + β) y* = x · sin ( α + β) + y · cos ( α + β)

Mit Hilfe dieser Gleichungen können sin( α + β) und cos ( α + β) durch sin α, sin β, cos α und cos β ausgedrückt werden. Die ganz links stehenden Terme für x und y können in die Terme des zweiten Paares eingesetzt werden.

x* = (x · cos α - y · sin α) · cos β – (x · sin α + y · cos α) · sin β

y* = (x · cos α - y · sin α) · sin β + (x · sin α + y · cos α) · cos β

↓

x* = x · (cos α · cos β - sin α · sin β) – y · (sin α · cos β + cos α · sinβ )

y* = x · ( cos α · sin β + sin α · cosβ ) + y · (cos α · cos β - sin α · sinβ )

im Vergleich mit

x* = x · cos (α + β) - y · sin (α + β)

y* = x · sin (α + β) + y · cos (α + β)

finden wir :

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

tan( α + β) = sin (α + β) / cos (α + β)

tan( α + β) = (sin α · cos β + cos α · sin β) /( cos α · cos β - sin α · sin β)

Dieser Bruchterm wir mit cos α · cos β gekürzt.

tan( α + β) = ( sin α / cosα + sin β / cos β)/ [1 – (sin α/ cosα) · (sin β / cos β)]

↓

tan( α + β) = ( tan α + tan β) / ( 1 – tan α · tan β)

Berechnung von Sinus- und Kosinuswerten mit Hilfe der Additionstheoreme

Mit Hilfe der Additionstheoreme können die sin- und cos-Werte für jeden beliebigen Winkel berechnet werden. Wenn z.B. diese Werte für 50° bestimmt werden sollen, dann geht man an diesen Winkel in kleinen Schritten von beispielweise 0,1° vom Winkel 0,1° ausgehend heran. sin( 0,1°) kann gleich dem zu 0,1° gehörenden Bogenmaß arc(0,1°) und cos(0,1°) gleich 1 gesetzt werden. arc(0,1°) = 0,0017453283..

1. Schritt: Berechnung von sin(0,2°) = sin(0,1°+0,1°) und cos(0,2°)= cos(0,1°+0,1°)

sin (0,2°) = sin(0,1° + 0,1°) = sin(0,1°) · cos(0,1°) + sin(0,1°) ·cos(0,1°)

cos(0,2°) = cos(0,1° + 0,1°) = cos(0,1°) · cos(0,1°) - sin(0,1°) · sin(0,1°)

sin (0,2°) = sin(0,1° + 0,1°) = sin(0,1°) · 1 + 0,0017453283 · cos(0,1°)

cos(0,2°) = cos(0,1° + 0,1°) = cos(0,1°) ·1 - 0,0017453283 · sin(0,1°)

2. Schritt: Berechnung von sin(0,3°) = sin(0,2°+0,1°) u. cos(0,3°) = cos(0,2°+ 0,1°)

sin (0,3°) = sin(0,2° + 0,1°) = sin(0,2°) · cos(0,1°) + sin(0,1°) ·cos(0,2°)

cos(0,3°) = cos(0,2° + 0,1°) = cos(0,2°) · cos(0,1°) - sin(0,2°) · sin(0,1°)

sin (0,3°) = sin(0,2° + 0,1°) = sin(0,2°) · 1 + 0,0017453283 ·cos(0,2°)

cos(0,3°) = cos(0,2° + 0,1°) = cos(0,2°) · 1 - sin(0,2°) · 0,0017453283

usw.

Programm zur Berechnung von sin - und cos -Werten

c: cos ; s: sin ; w: Winkel; arc(0,1°) = 0,0017453283....

|c|s|w|n|=|1|0|50|0|: Anfangsbedingungen

wiederhole bis n = w

n=n+0.1

s = s+0.00174532836589831*c

c= c-s*0.00174532836589831

wenn n =w

?sin(

?w

?°)=

?s

?

?cos(

?w

?°)=

?c

ohnewenn

zurück

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