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# 2.5 Einführung von Sinus, Kosinus und Tangens

# Nach Anklicken dieser Zeile sehen wir: Einem an einer Spiralfeder auf und ab schwingenden Gegenstand G kann ein gleichförmig kreisender Zeiger zugeordnet werden, dessen Spitze sich immer auf der Höhe von G befindet.

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# Abb. 1

# Diese Tatsache ermöglicht die Bestimmung des Körperstandortes zu bestimmten Zeitpunkten. Wenn z.B. ein Körper mit der Schwingungsweite A = 10 cm und der Schwingungszeit T (Dauer einer Schwingung) zum Zeitpunkt t = 0 nach oben durch die Ruhelage ( x-Achse) schwingt, dann kann der Standort 1/10 T später auf folgende Weise bestimmt werden (siehe Abb. 1): Ein Zeiger Z der Länge A wird so in das Koordinatensystem eingezeichnet, dass er mit der x-Achse einen 36°-Winkel bildet ( 36° = 360°/10). Mit dem y-Wert y z der Zeigerspitze erhält man die Auslenkung des schwingenden Körpers.

# Zunächst kann die Auslenkung yz nur anhand einer Zeichnung bestimmt werden. Eine Berechnungsmethode erscheint wünschenswert. Die Abhängigkeit der Auslenkung yz vom Radius r und dem Winkel α soll deshalb untersucht werden. Nach dem Strahlensatz gilt bei konstantem Winkel: yz ~ r → yz /r = Konstante k. yz /r ist ausschließlich vom Winkel α abhängig.

# Dies nur von α abhängige Verhältnis y z / r nennen wir sin α (sprich Sinus von α ).

# y z /r = sin α

# Nach Anklicken dieser Zeile wird die Abhängigkeit des Terms sin(α) von α graphisch dargestellt.

# Der für diese Darstellung gewählte Zeiger ist eine Längeneinheit lang.

# Somit gilt in diesem Fall: sin(α) = y z / r = y z / 1 = y z

# yz ist der y-Wert der Zeigerspitze.

# Für den ebenfalls durch α festgelegten Quotienten x z /r schreiben wir cos α (sprich Kosinus von α).

# xz /r = cos α

# Nach Anklicken dieser Zeile wird die Abhängigkeit des Terms cos(α) von α graphisch dargestellt.

# Der für diese Darstellung gewählte Zeiger ist eine Längeneinheit lang.

# Somit gilt in diesem Fall: cos(α) = x z / r = x z / 1 = x z

# xz ist der x-Wert der Zeigerspitze.

# Die der Kreisbewegung zugeordnete x-Achse ist bei dieser Vorführung nach oben gerichtet.

# Beim Vergleich der Darstellungen zu sin α und cos α fällt auf: cos(α-90°) = sin(α) → cos(α) = sin(α+90°)

# Der Quotient y z / x z trägt den Namen tan α ( sprich Tangens von α )

# y z /x z = tan α

# y z /r = sin α; x z /r = cos α → sin α / cos α = tan α

# In Abb. 2 ist erkennbar, wie am Einheitskreis ( Kreis mit dem Radius eine Längeneinheit) tan α zu einem Winkel α bestimmt werden kann.

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# Abb. 2

# Nach Anklicken dieser Zeile wird tan(α) in Abhängigkeit von α graphisch dargestellt.

# Berechnung von sin- cos- und tan- Werten

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