Über die Graphen quadratischer Funktionen

Die Spezielle quadratische Funktion y = x² trägt den Namen Quadratfunktion. Die Graphen zu quadratischen Funktionen nennen wir Parabeln. Die Parabel zu  y = x²  heißt Normalparabel.  In Abb. 1 sind die Graphen zu verschiedenen quadratischen Funktionen dargestellt.

Abb. 1

Nach Eingabe einer „17“und „START“ können diese Graphen mit Mathe-Physik entwickelt werden.

  

An  Abb. 1 ist zu erkennen:

1.)  y = x² + 3   beschreibt eine um  3   nach  oben  verschobene Normalparabel.

2.)  y = (x - 4)²    beschreibt eine um  4 nach rechts verschobene Normalparabel.

Zur Erklärung dieses Sachverhalts muss darauf hingewiesen werden, dass y = (x - 4)² für  z.B.  x =  4 +0,1,  x = 4+ 0,2 ,   x = 4 + 0,3  die gleichen Werte annimmt  wie  y = x² für   x = 0,1,   x =   0,2,   x  =  0,3.  

→   Der Graph zu y = (x-4)² entwickelt sich um x = 4 genauso wie der Graph von y = x² um x = 0.

3.)  Der Graph zu   y = (x-4)² +5 ist eine um 4 nach rechts und um 5 nach oben  verschobene Normalparabel.

 

Schlussfolgerung:   Ein Graph zu f(x) = (x-d)² + e ist eine verschobene Normalparabel.

d: Verschiebung  parallel zur x-Achse.

e: Verschiebung parallel zur y-Achse.

 

Ist d bzw. e positiv, dann hat man eine Verschiebung in Achsenrichtung,  andernfalls eine Verschiebung gegen die Achsenrichtung. P = P(e; d) ist der Scheitelpunkt der Parabel (der tiefste oder höchste Punkt).

 

Aufgabe:

Es soll der Scheitelpunkt zu einer Parabel mit der Zuordnungsvorschrift y = x² + b·x + c bestimmt werden. y =  x² + b·x + c  muss zu diesem Zweck in die Form y = (x - d)² + e gebracht werden. Dies geschieht mit Hilfe der quadratischen Ergänzung (b/2)².

y =  x² + b·x +(b/2)² + c - (b/2)²

y = (x + b/2)2 + c – b2/4      →     d = - b/2 ;    e = c – b2/4

 

Es ist zu sehen, dass jede quadratische Funktion der Form y = x² + b·x + c  durch eine verschobene Normalparabel dargestellt wird.

 

Über die Bedeutung von a in y = a·x² + b·x + c    

Es soll nun noch untersucht werden, wie sich der Faktor a vor  x²  auf  den  Graphen auswirkt. In Abb. 2  sind    Graphen zu den Funktionen y = x²,  y = 2·x²    und y = 1/3· x²   zu sehen.

 

Abb. 2

Nach Eingabe einer „18“und „START“ können diese Graphen mit Mathe-Physik_2 entwickelt werden.

 

Wir erkennen anhand der  Abb. 2:

1.) Der Graph zu y = 2·x² ist das Bild der  Normalparabel  bezüglich   einer zentrischen Streckung an Z = Z(0|0) mit m = ½.

2.) Der Graph zu y = 1/3·x² ist  da Bild einer Normalparabel bezüglich einer zentrischen Streckung an Z = Z(0|0) mit m = 3.

Der Graph   zu   y = a·x²  ist  demnach das  Bild   einer  Normalparabel   bezüglich einer zentrischen Streckung an Z = Z(0|0) mit m = 1/a.

Eine zentrische Streckung mit negativem m ( a < 0) führt zu einer Umkehrung der Parabel (siehe Abb. 3).

 

Abb. 3

 

Nach Eingabe einer „19“und „START“ können die  Graphen in Abb. 3  mit Mathe-Physik entwickelt werden.

 

y = a·x² + b·x + c    kann mit einer quadratischen Ergänzung umgeformt werden in y = a·(x-d)² + e.

Der Graph jeder quadratischen Funktion kann als zentrisch gestreckte und verschobene Normalparabel aufgefasst werden.

 

Beweis:

y = a · x2 + b· x + c     ↔    y = a · [ x2 + (b/a) · x + c/a ]    ↔     y = a · [ x2 + (b/a) · x  + (½ · b/a)2 + c/a - (½ · b/a)2  ]

 ↓

y = a · [ (x + ½ · b/a)2 + c/a – b2/ (4· a2)]   ↔     y = a ·(x + ½ · b/a)2  + c – b2/ (4· a)

 ↓

d =   -  ½ · b/a;       e = c – b2/ (4· a)

 

Abb. 4 : Menneken Pis, eine bekannte Brunnenfigur in Brüssel



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