10. Quadratische Funktionen

 

Abb. 1

Wir lassen eine  Kugel    auf    einer   schiefen    Ebene  mit  geringer  Neigung    abwärts    rollen und  klicken  im Tabellenfenster von „Mathe.-Physik“ den Knopf  „Zeit  in  Tab.  I“   immer  dann  an,  wenn   sie   eine  der   angedeuteten Markierungen    passiert   ( siehe Abb. 1).   Anschließend  werden den eingetragenen Zeiten die zugehörenden  Wege angefügt ( siehe nachfolgende Tabelle). Links   stehen  die Zeiten in Sekunden und rechts die Wege in cm.

| 0.0000 |   0 |

| 1.7580 |   5 |

| 2.5260 | 10 |

| 3.5830 | 20 |

| 4.4030 | 30 |

| 5.6510 | 50 |

| 6.7310 | 70 |

| 7.6740 | 90 |

Den Zeit-Weg-Paaren wird ein Variablenpaar x; y zugeordnet ( x: Zeit; y: Weg).

x; y = 1,7580 | 5 ;  x; y = 2,5260 | 10  usw.

In dem hier vorliegenden Fall kann man nach der Angabe des x-Werts anhand der Tabelle  sofort den y-Wert nennen, da es keine unterschiedlichen Paare mit gleichen x-Werten gibt. Dies wäre dann nicht der Fall, wenn es z.B. neben dem Paar 2,5260 | 10 ......  noch das Paar  2,5260 | 15 ......    gäbe. Ist der Wert einer Variablen y eindeutig durch den Wert einer Variablen x festgelegt, dann sagt man y sei eine Funktion von x.

Die Kurzform für diese Aussage ist:  y = f(x)

Die Werte der Variablen x bilden die Definitionsmenge, die der Variablen y die Wertemenge der Funktion.

In dem hier vorliegenden Fall kann x auch als eine Funktion von y aufgefasst werden; die Funktion ist umkehrbar. Bei einer Paarmenge x; y steht y in der Regel für die Funktion. Die Abhängigkeit des zweiten  Wertes y vom  ersten Wert x kommt in einer graphischen Darstellung ( siehe Abb. 2)  besser zum   Ausdruck als in einer Tabelle. Wir ordnen jedem Zahlenpaar einen Punkt P(x; y) im Koordinatensystem zu.

 

Abb. 2

 

Zur Darstellung dieser Funktion muss nach der Eingabe von „15“ der Knopf „START“ angeklickt werden.

Im Tabellenfenster von Mathe.-Physik sind den Werten der aufeinander folgenden Spalten die Variablen a, b, c... zugeordnet.

  

Zu Funktionen  können  oft   Zuordnungsvorschriften  gegeben werden, nach denen y  anhand von x berechnet werden kann. Auch in dem hier vorliegenden Fall kann eine solche Zuordnungsvorschrift gefunden werden.

Möglicherweise  besteht  eine  Proportionalítät zwischen y und x.

Nach Auswertung der Tabelle mit b/a (entspricht y/x) erscheint eine dritte Spalte mit ansteigenden Werten c = b/a. Eine Proportionalität zwischen y und x liegt demnach nicht vor, denn im Falle der Proportionalität müsste y/x konstant sein. Die Werte y/x sind mittlere Geschwindigkeiten. Unter einer mittleren Geschwindigkeit v verstehen wir das  Verhältnis aus einem Weg y und  der  zugehörenden  Zeit x. Für die Definition von v ist es ohne Bedeutung ob der bewegte Gegenstand in dieser Zeit unterschiedlich schnell ist.

b/a

| 1.7580 |   5 |  2.84414106939704 |

| 2.5260 | 10 |  3.95882818685669 |

| 3.5830 | 20 |  5.58191459670667 |

| 4.4030 | 30 |  6.81353622530093 |

| 5.6510 | 50 |  8.84799150592815 |

| 6.7310 | 70 |  10.3996434407963 |

| 7.6740 | 90 |  11.7279124315872 |

Es ist denkbar, dass die mittlere Geschwindigkeit v = y/x der Zeit x proportional ist.

 Eine Auswertung der dreispaltigen Tabelle mit c/a (c ist die Variable zur 3. Spalte) zeigt an, dass   v~ x   zutrifft. Die geringen Abweichungen unter den Werten der 4. Spalte sind auf Ungenauigkeiten bei der Messung zurückzuführen.

c/a

| 1.7580 |   5 |  2.84414106939704 |  1.61782768452619 |

| 2.5260 | 10 |  3.95882818685669 |    1.5672320613051 |

| 3.5830 | 20 |  5.58191459670667 |  1.55788852824635 |

| 4.4030 | 30 |  6.81353622530093 |  1.54747586311627 |

| 5.6510 | 50 |  8.84799150592815 |  1.56573907377953 |

| 6.7310 | 70 |  10.3996434407963 |  1.54503690993854 |

| 7.6740 | 90 |  11.7279124315872 |  1.52826588892197 |

Nach Eingabe einer „16“ und „START“ kann die hier beschriebene Auswertung der Tabelle vorgenommen werden.

/ x = (y/x)/x    →     v / x  = y/x

v  / x  →   k (Konstante) ≈ 1,55      →     y/x2 = k       →     y = k · x2

Die hier vorliegende Funktion wird  wegen der Zuordnungsvorschrift  y = k · x2 als quadratische Funktion bezeichnet.

Quadratische Funktionen  heißen solche mit der  Zuordnungsvorschrift     y = a·x² + b·x + c .

Für  y= 1,55·x²  können wir schreiben y = 1,55·x² + 0·x + 0 (a =1,54; b = 0; c = 0).

 

 

Über die Graphen quadratischer Funktionen (anklicken !)