2.9  Additionstheoreme der Winkelfunktionen

Ein Punkt P werde nach einer Drehung um α noch einmal um einen Winkel β gedreht. Nach der ersten Drehung hat er die Koordinaten x; y , nach der zweiten Drehung die Koordinaten x* ; y*.

Es gilt:

x = x · cos α - y · sin α  

 y = x · sin α + y · cos α

x* = x · cos βy · sin β  

 y* = x · sin β + y · cos β

x* =  x · cos ( α + β) - y · sin ( α + β) 

y* = x · sin ( α + β) + y · cos ( α + β)


 Mit Hilfe dieser Gleichungen können sin( α + β) und  cos ( α +  β) durch sin α, sin β, cos α und cos β ausgedrückt werden. Die ganz links  stehenden Terme für x und y können in die Terme des zweiten Paares eingesetzt werden. 

x* = (x · cos α - y · sin α) · cos β(x · sin α + y · cos α) · sin β

y* = (x · cos α - y · sin α) · sin β + (x · sin α + y · cos α) · cos β

x* = x · (cos α · cos β - sin α · sin β) – y · (sin α · cos β + cos α · sinβ )

y* = x · ( cos α · sin β + sin α · cosβ ) + y · (cos α · cos β - sin α · sinβ )

 

im Vergleich mit

x* =  x · cos (α + β) - y · sin (α + β) 

y* = x · sin (α + β) + y · cos (α + β)

finden wir :

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

 

tan( α + β) =  sin (α + β) / cos (α + β)

tan( α + β) = (sin α · cos β + cos α · sin β) /( cos α · cos β - sin α · sin β)

Dieser Bruchterm wir mit cos α · cos β gekürzt.

tan( α + β) = ( sin α / cosα + sin β / cos β)/ [1 – (sin α/ cosα)  · (sin β / cos β)]

tan( α + β) = ( tan α + tan β) / ( 1 – tan α · tan β)





Berechnung von Sinus- und Kosinuswerten  mit Hilfe der Additionstheoreme

Mit Hilfe der Additionstheoreme  können die sin-  und  cos-Werte  für jeden beliebigen Winkel berechnet werden. Wenn z.B. diese Werte für 50° bestimmt werden sollen, dann  geht  man an diesen Winkel  in kleinen Schritten von beispielweise 0,1° vom Winkel 0,1° ausgehend heran. sin( 0,1°) kann gleich  dem zu   0,1° gehörenden Bogenmaß arc(0,1°)  und   cos(0,1°)  gleich 1 gesetzt werden.  arc(0,1°) = 0,0017453283..

  

1. Schritt: Berechnung von sin(0,2°) = sin(0,1°+0,1°) und   cos(0,2°)= cos(0,1°+0,1°)

sin (0,2°) = sin(0,1° + 0,1°) =  sin(0,1°)  · cos(0,1°) +  sin(0,1°) ·cos(0,1°)

cos(0,2°) = cos(0,1° + 0,1°) = cos(0,1°) · cos(0,1°) - sin(0,1°) · sin(0,1°)

 

sin (0,2°) = sin(0,1° + 0,1°) = sin(0,1°)  · 1 + 0,0017453283 · cos(0,1°)

cos(0,2°) = cos(0,1° + 0,1°)  =  cos(0,1°) ·1  -  0,0017453283 · sin(0,1°)

 

2. Schritt: Berechnung von sin(0,3°) = sin(0,2°+0,1°) u. cos(0,3°) = cos(0,2°+ 0,1°)

sin (0,3°) = sin(0,2° + 0,1°) = sin(0,2°)  · cos(0,1°) + sin(0,1°) ·cos(0,2°)

cos(0,3°) = cos(0,2° + 0,1°) = cos(0,2°) · cos(0,1°) - sin(0,2°) · sin(0,1°)

 

sin (0,3°) = sin(0,2° + 0,1°) =  sin(0,2°)  · 1 + 0,0017453283  ·cos(0,2°)

cos(0,3°) = cos(0,2° + 0,1°) = cos(0,2°) · 1 - sin(0,2°) · 0,0017453283

usw.



Programm zur Berechnung von sin - und cos -Werten


c: cos ;  s: sin ;   w: Winkel;   arc(0,1°) = 0,0017453283....

|c|s|w|n|=|1|0|50|0|: Anfangsbedingungen

 

wiederhole bis n = w

n=n+0.1

s = s+0.00174532836589831*c

c= c-s*0.00174532836589831

wenn n =w

?sin(

?w

?°)=

?s

?

?cos(

?w

?°)=

?c

ohnewenn

zurück


Das Fragezeichen in Verbindung mit einem anderen Zeichen ist ein Druckbefehl (Ausgabe im Rechenfenster). Wenn hinter dem Fragezeichen mehr als ein Zeichen z.B. °)=  steht, dann werden diese Zeichen angezeigt. Steht nur ein Buchstabe hinter „? “, dann wird dieser Buchstabe als Variable angesehen und es wird die zugeordnete Zahl ausgedruckt. Das Fragezeichen allein ist ein Befehl zum Zeilenwechsel.  Im obigen Programm stehen die Druckbefehle zwischen „wenn“ und „ohnewenn“. Sie werden nur dann ausgeführt, wenn die hinter wenn angegebene Bedingung  „n = w“ zutrifft.

Nach Eingabe von „54“ und „START“ kann dieses Programm ausgeführt werden.